全國各地2014年中考數(shù)學真題分類解析匯編31圓的有關性質

圓的有關性則∠AOD等于（ 圓定理；垂徑定理． 答：∴=，故選 此題主要考查了圓定理以及垂徑定理等知識，得出∠BOD的度數(shù)是解題關鍵．（2014?廣西賀州，第11題3分）如圖，以AB為直徑的⊙O與弦CD相交于點E，且 ，CE=1．則弧BD的長是（ 連接OC，先根據(jù)勾股定理判斷出△ACE的形狀，再由垂徑定理得出CE=DE，故 解：連接答：∵△ACE中，AC=2，AE=∴△ACE是直角三角形，即∵sinA=∴=sin∠COE，即=，解得OC= B． 3（2014?溫州，第8題4分）如圖，已知A，B，C在⊙O上，為優(yōu)弧，下列選項中∠AOB相等的是 圓定理． 答：故選A． 此題考查了圓定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．4.（2014?53）下列敘述正確的是（考點 解答 解：A、方差越大，越不穩(wěn)定，故選項錯誤C、正確C． 5.（2014?畢節(jié)地區(qū)63分）如圖，已知⊙O的半徑為13AB24，OAB的距離是（A． C． D．考點 OC即可．解答 解：過O作OC⊥AB于∵OC∴AC=BC=點評 本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，關鍵是求出OC的長半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，則AC的長為（）A． B．C． 考點 圓定理；解直角三角分析 由以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=BC=4，即可求得答解答 解：∵AB為直徑∵cos∠ACD=∴cos∠B=∴tan∠B=∴tan∠B===D． 此題考查了圓定理以及三角函數(shù)的性質．此題難度適中，PA，PBC，D．若⊙Or，△PCD3rtan∠APB的值是（）B． 考點 分析 （1）連接OA、OB、OP，延長BO交PA的延長線于點F．利用切線求CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可． 解：連接OA、OB、OP，延長BO交PA的延長線于點F．∵PA，PB切⊙OA、B兩點，CD切⊙O于點∵△PCD的周長∴PA=PB=Rt△BFPRt△OAF中， =∴AF=Rt△FBP中解得BF=r， 點評 8（2014·于D點．若∠B＝74°，∠C＝46°，則的度數(shù)為何？( 解：∵有一圓通過△ABC的三個頂點，且的中垂線與相交于D點1∴＝29（2014·與AB相交于兩點，則關于△ABC三邊長的大小關系，下列何者正確？( 解：∵G為△ABC的重心D．10（2014?浙江湖州，第43分）如圖，已知AB是△ABC外接圓的直徑，∠A=35°，∠B的度數(shù)是 B． C． D．分析：由AB是△ABC外接圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓是直角，可求解：∵AB是△ABC外接圓的直徑，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故選 11.（2014?孝感，第10題3分）如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，D是優(yōu)弧上一點，且∠D=30°，下列四個結論 ；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形． A． B． C． D． 垂徑定理；菱形的判定；圓定理；解直角三角形． 析：即可． ∴OA⊥BC，故①正∵點A是點A是劣弧的中點∴BE=AB?cos30°=6× ∴BC=2BE=6cm，故B正確∵點A是劣弧的中點 評：一道好題．12.（2014?呼和浩特，第63分）已知⊙O的面積為2π，則其內接正三角形的面積 OB、OCOOD⊥BC∵⊙O的面∴⊙O的半∵△ABC為正三角∴∠BOC==120°，∠BOD= =∴BC=2BD= ×．∴△BOC的面積=?BC?OD= ×．∴△ABC的面積 評：答此題的關鍵．二.填空1（2014?點D段AB上運動，點E與點D關于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點點F恰好落在上，則AD=2；⑤當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積 ．其中正確結論的序號是①③⑤ （1）由點E與點D關于AC對稱可得CE=CD，再根據(jù)DF⊥DE即可（2）CD⊥ABCDEF=2CD，求CDEF的最小值．可求出∠ACD，進而可求出∠ECO=90°EF與半圓相切．利用相似三角形的判定與性質可△DBF是等邊三角形，只需求出BF就可求DBAD長．EF掃過的面積． 解：①連接CD，如圖1所示EDAC∴結論“CE=CF”正②當CD⊥AB時2所示∵AB是半圓的直徑∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4 點D段AB上運動時，CD的最小值為2∴線段EF的最小值為4∴結論“線段EF的最小值為2”錯誤（3）當AD=2時OC3∴△OAC是等邊三角形∵點E與點D關于AC對稱∵EF經(jīng)過OC的外端，且∴EF與半圓相切∴結論“EF與半圓相切”正④當點F恰好落在上時，連接FB、AF，如圖4所示∵點E與點D關于AC對稱∴=∵AB是半圓的直徑∴結論“AD=2”錯誤DFBC對稱，∴當點DA運動到點B時F的運動路徑NBAB關于BC對稱∴EF掃過的圖形就是圖5影部分∴S陰影∴EF掃過的面積為16∴結論“EF掃過的面積為 ”正確 評：性質、切線的判定、軸對稱的性質、含30°角的直角三角形、垂線段最短等知識2.（2014?福建，第17題4分）如圖，有一直徑是米的圓形鐵皮，現(xiàn)從中剪出一個圓是90°的最大扇形ABC，則：AB的長為1米； 米 析：三角形的性質得AB=1； （1）∵∠BAC=90°，答：∴BC為⊙O的直徑，即BC=∴AB=解得r=． 評：面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了圓定理．3.（2014?，第14題4分）如圖，在⊙O中，已知半徑為5，弦AB的長為8，那么OAB的距離為3．OC即可．解答：解：作OC⊥ABC，連結OA，如圖∴AC=BC=AB=Rt△AOC中∴OC==4（2014?置，⊙OBCC，⊙OACECE的長為3cm． 切線的性質；垂徑定理；圓定理；弦切角定理 連接OC，并過點O作OF⊥CE于F，根據(jù)等邊三角形的性質，等邊三角形的高等于析：邊高的倍．題目中一個邊長為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，說明⊙O的半 ，即OC= CE的長． 答：且△ABC為等邊三角形，邊長為4，故高為2，即OC=Rt△OFCFC=， 評：不是太難，屬于基礎性題目．（2014?株洲，第11題，3分）如圖，點A、B、C都在圓O上，如∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是28°． 圓定理． 析：出結果． 答：∴3∠ACB=84° 評：論．E，連接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，則⊙O的半徑為 定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根據(jù)垂徑定理得到BE=，且△BOE為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質求解解答：連結OB，如 ，△BOE為等腰直角三角形，∴OB= BE=2（cm為2． ?。部疾榱说妊苯侨切蔚男再|和圓定理．（2014?泰州，第15題，3分）如圖，A、B、C、D依次為一直線上4個點△BCE為等邊三角形，⊙OA、D、E3點，且∠AOD=120°．設AB=x，CD=y，則yx的函數(shù)關系式為y=（x＞0）． 相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；圓定理． 連接AE，DE，根據(jù)同弧所對的圓等于圓心角的一半，求得∠AED=120°，然后析：得△ABE∽△ECD．xy的關系， ∵△BCE為等邊三角形∴y=（x＞0 評：運用能力．8（2014?交AB于點D，交AC于點E，則 的度數(shù)為50°．考點 解：連接CD，∴的度數(shù)為50°． 理、圓心角與弧的關系，關鍵是做出輔助線求出∠BCD的度數(shù)．9（2014山東泰安，第234）如圖，AB是半圓的直徑O為圓心，OA=5，AC=8，OD⊥AC，垂足為E，交⊙O于D，連接BE．設∠BEC=α，則sinα的值 分析：連結BC，根據(jù)圓定理由AB是半 的直徑∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理計算出BC=6，再根據(jù)垂徑定理由OD⊥AC到AE=CE=AC=4，然后在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理計算出BE=2 解：連結BC，如圖，∵AB是半圓的直在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC=∵OD⊥AC，∴AE=CE=在Rt△BCE中，BE==2∴sinα===．故答案為 ?。部疾榱斯垂啥ɡ砗蛨A定理．三.解答（2014?福建，第26題14分）如圖，直線y=﹣x+3與x，y軸分別交于點A，B，P（2，1PC⊥yC，點A關于y軸的對稱①求△A′BC的周sin∠BA′C=． 點：質；垂徑定理；直線與圓的位置關系；銳角三角函數(shù)的定義 （1）設反比例函數(shù)的關系式y(tǒng)=，然后把點P的坐標（2，1）代入即可（2）①先求出直線y=﹣x+3與x、y軸交點坐標，然后運用勾股定理即可求sin∠BA′C的值．②由于BC=2，sin∠BMC=，因此點M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上，因而點M應是⊙E與x軸的交點．然后對⊙E與x軸的位置關系進行討論，只需運用矩形的與性質、勾股定理等知識就可求出滿足要求的點M的坐標 （1）P（2，1）y∴反比例函數(shù)的關系式y(tǒng)=（2）①過點CCD⊥AB，垂足為D1．x=0y=0+3=3，（0，3．OB=3．當y=0時，0=﹣x+3，解得x=3，則點A的坐標為（3，0，OA=3．∵點A關于y軸的對稱點為∵PC⊥yP（2，1∴A′B=3，A′C=∴△A′BC的周長為3+∵S△ABC=BC?A′O=∴CD=∴sin∠BA′C===∴△A′BC的周長為 +2，sin∠BA′C的值為②當1＜m＜2時作經(jīng)過點B、C且半mEEG⊥OBG，過點EEH⊥x軸，垂足為H，如圖2①所示∵CP是⊙E的直徑∴sin∠BPC===∵sin∠BMC=∴點M在⊙E上∵點Mx軸∴點M是⊙Ex軸的交點∴四邊形OGEH是矩∴⊙Ex軸相離∴x軸上不存在點M，使得sin∠BMC=②當m=2∴⊙Ex軸相切Ⅰ．切點在x軸的正半軸上時，如圖2②所示∴點M與點H重合∴EG==∴OM=OH=EG=∴點M的坐標為（，0Ⅱ．x軸的負半軸上時，同理可得：點M的坐標為（﹣③當m＞2∴⊙E與x軸相交．x軸的正半軸上時，設交點為M、M′，連接EM，如圖2③所示∴MH===∴M′H═∴EG===∴OH=EG=∴OM=OH﹣MH=﹣∴OM′=OH+HM′=+，0x軸的負半軸上時，，01＜m＜2M不存在；當m=2時，滿足要求的點M的坐標為 當m＞2時，滿足要求的點M的坐標為（﹣，0（ 評：形的判定與性質、直線與圓的位置關系、垂徑定理等知識，考查了用面積法求三BC=2，sin∠BMC=聯(lián)想到點MBC為弦，半m的⊙E上是解決本題的關鍵2（⊙O的半CD考點：垂徑定理；勾股定理；圓定理；相似三角形的判定與性質．專題：計算題．分析：由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根據(jù)圓定理由OC為小圓的直徑得∠OFC=90°，則可證明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可計算出⊙O的半徑OC=9；接著在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理可計算出C=3，由于OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．解答：∵OC為小圓的直徑∴OE：OF=OF：OC，即∴⊙ORt△OCF中∴CF==3∴CD=2CF=6點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?．(2014年市，第21題10分)已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上∠CAB的平分線交⊙O于點如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長考點：圓定理；等邊三角形的判定與性質；勾股定理分析：（Ⅰ）利用圓定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD=CD=5；（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓定理、角平分線的性質以及等邊三角形的判定推△OBD是等邊三角形，則（Ⅰ）∵在直角△CAB中∴由勾股定理得到：AC==∵AD平分在直角△BDC中∴易求BD=CD=5∵AD平分∠CAB∴∠DAB=∴△OBD是等邊三角形∵⊙O的直10點評：本題綜合考查了圓定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質．此題利用60OBD是等邊三角形．4（2014?，第21題10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點F，C是⊙O上兩點，且=，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為求證：CD是⊙O的切線若 ，求⊙O的半徑 （1）連結OC，由=，根據(jù)圓 ∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根據(jù)切線的判定理得到CD是⊙O的切線（2）連結BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O4． （1）證明：連結OC，如圖答：∵=∴CD是⊙O的切線（2）解：連結BC，如圖∵AB為直∴∠BOC=在Rt△ADC中，CD=2∴AC=2CD=4在Rt△ACB中，BC=AC= ∴⊙O的半 評：線．也考查了圓 定理和含30度的直角三角形三邊的關系．5（2014云南省239分）已知如圖平面直角坐標系中，點O是坐標原點，矩ABCD是頂點坐標分A（3，0、B（3，4、C（0，4．點Dy軸上，且點D的坐標（0，﹣5PAC上的一動當點P運動到AC的中點時，求直線DP的解析式（關系式否存在使△DOM與△ABCMM的坐標；若不存在，請說明理當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、R（R＞0）為半徑長畫圓．得到的圓稱為圓P．若設動圓P的半徑長為，過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E考點：圓的綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；垂線段最短；勾股定理；切線長定專題：綜合題；存在型；分類討論．分析：（1）ACPDP的解析OMM的坐標． 易證S =2S=DE．由∠DEP=90°得 ．根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得：當DP⊥AC時，DP最短，此時DE也最短DEPF面積的最小值．（1）∵點PAC中點∴CP=∴HP=OA，CH=∵A（3，0C（0，4∴HP=∴點P的坐標為（設直線DP的解析∵D（0，﹣5，P（，2）在直線DP上∴∴∴直線DP的解析式為y=①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示∵點B坐標為（3，4，點D的坐標為（0．﹣5∴OM=∵點Mx軸的正半軸上∴點M的坐標為（②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示∴OM=∵點Mx軸的正半軸上∴點M的坐標為（綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點M的坐標為（，0）或（∴PE=PF=AC=∵DE、DF都與⊙P相切∴S四邊形=DP2﹣DP⊥AC時，DP最短，此時DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最小∴DP=∴DE=∴SDEPF=∴∴四邊形DEPF面積的最小值．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、用待定系數(shù)法求直線的解析式、切線長定DE的最小值轉化為求DP3DOM與△ABC相似”與的⊙OABDD作⊙OBCE．求證EBC的中點當以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，求證：△ABC是等腰直角三角形（2）證明（1）如圖OD．∵DE為切∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC為直∴EB=ECEBC的中點（2）∵AC為直徑，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∴△ABC∽△CDB，∴（3）當四邊形ODEC為正方形時，∠OCD=45°；∵AC為直徑∴Rt△ABC為等腰直角三角7.（2014?畢節(jié)地區(qū)2614分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC為直徑⊙OABD考點 切線的判分析 （1）根據(jù)圓定理可得∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質可∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可（2）當MC=MD時DM與⊙O相切，連接DO，根據(jù)等等邊對等角可得 （1）證明：∵AC為直徑，DO，∴直線DM與⊙O 此題主要考查了切線的判定，以及圓定理，關鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過半 ，第22題8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點如圖（1），若點P是的中點，求PA的長如圖（2），若點P是的中點，求PA的長 關系；圓定理 （2）根據(jù)垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得△ACB∽△0NP，根據(jù)對應邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得解答 ∵AB是⊙O的直徑且P是的中點又∵在等腰三角形△ABC中有∴PA===（2）如圖（2）所示：連接BC．OPM點，作PN⊥AB于點∵P點為弧BC的中AB為直徑又∵AB=13AC=5OP=代入得ON=∴在RT△OPN中，有在RT△ANP中有PA==∴PA=3 本題考查了圓的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質，9.（2014?襄陽，第2510）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點∠APC=∠BPC=60°，過點A作⊙O的切線交BP的延長線于點試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結AD=2，PD=1，求線段BC的長 （1）首先作⊙O的直徑AE，連接PE，利用切線的性質以及圓定理得出析：∠PAD=∠PBA進而得出答案；首先段PC上截取PF=PB，連接BF，進而得出△BPA≌△BFC（AAS，即可PA+PB=PF+FC=PC；利用△ADP∽△BDA，得出==，求出BP的長，進而得△ADP∽△CAP，則=，則AP2=CP?PD求出AP的長，即可得出答案． （1）證明：作⊙O的直徑AE，連接PE，答：∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O證明：段PC上截取PF=PB，連接∴△PBF是等邊三角形在△BPA和△BFC中 ∴△BPA≌△BFC（AAS解得：AP=或AP=（舍去 評：定與性質等知識，熟練利用相似三角形的判定與性質得出是解題關鍵．10.（2014?孝感，第208）如圖Rt△ABC中；請你判斷（1）中AB與⊙O的位置關系，并證明你的結論 （2）OOD⊥ABABDDO=CO，再根據(jù)切線 （1）AB與⊙O相切證明：作OD⊥ABD，如圖∵BO平分∴AB與⊙O相切 評：關鍵．CDDCABPCE平分∠ACBABFBE．求證：AC求證：△PCF是等腰三角形若tan∠ABC= ，求線段PC的長 （1）由PD切⊙O于點C，AD與過點C的切線垂直，易證得OC∥AD，繼而證得AC析：分∠AD⊥PD，AB為⊙O的直徑，易證得CE平分∠ACB，繼而∴∠PFC=∠PCF，即可證得PC=PF，即△PCF是等腰三角形首先連接AE，易得AE=BE，即可求得AB的長，繼而可證得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7 （1）∵PD答：∴OC⊥PD．（1分）∠DAB（3又∵AB為⊙O的直∴∠CAO=∠PCB．…（4分∵CE平分∴∠PFC=∠PCF，…（5分∴△PCF是等腰三角形．…（6分∵CE平分 ∵AB為⊙O的直徑在Rt△ABE中， ∴△PAC∽△PCB（8又∵tan∠ABC=PC=4k，PB=3kRt△POC中∴k=6（k=0 （10 此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、垂徑定理、圓定理、勾股評：定理以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注12（2014C，D（如圖．若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，O到直線AB的距離為6，求AC的長分析：（1）過OOE⊥AB，根據(jù)垂徑定理AE=BE，CE=DE，從（2）由（1）可知，OE⊥ABOE⊥CD，連接OC，OA，再根據(jù)勾股定理CEAE的AC=AE﹣CE即可得出結論．解答：（1）∴BE﹣DE=AE﹣CE，即（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接∴CE== ，AE==∴AC=AE﹣CE=8﹣2a=4，設BF=m，四ADFE面積為S，求出Sm之間的函數(shù)關系，并探究當為何值時S取最大已知A、D、F、E四點共圓，已知tan∠EDF=，求此圓直徑 相似形綜合題；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質；圓定理；解直角三角形 析：（2）ADFES可以看成△ADF與△AEFm表示易知AF就是圓的直徑，利用圓定理將∠EDF轉化為∠EAF．在△AFC中，知tan∠EAF、∠C、AC，通過解直角三角形就可求出AF長 答：∴∠B