函數(shù)基本概念

函數(shù)

§1.1集合

1.集合(Set)

一般地，具有某種特點(diǎn)的一類對(duì)象的全體就稱為一個(gè)集合.集合中的每個(gè)對(duì)象稱為這個(gè)

集合的元素。

下面是一些常用的數(shù)集及其記法。

自然數(shù)集，記作N.

非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作N*或N+

全體整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱整數(shù)集，記作Z；

全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集，記作Q;

全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集，記作R。

集合的元素常用小寫的拉丁字母表示，如果。是集合A的元素，就說(shuō)。屬于集合A,

記作awA；如果。不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A,記作。任A。

集合的表示方法，常用的有列舉法和描述法。

列舉法是把集合中的元素一一列舉出來(lái)的方法。

例如｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝。此集合含有元素10個(gè)。一般地，含有有限個(gè)元素

的集合叫做有限集。

描述法是用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。

例如，函數(shù)/(x)=lg(x-2)的定義域可以表示為｛xeR|x〉2｝。

集合｛xlx>2｝的元素有無(wú)限個(gè)。一般地，含有無(wú)限多個(gè)元素地集合叫做無(wú)限集。

再看個(gè)例子，方程》2+1=0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，可以表示為

｛xwR:x?+1=()｝

這個(gè)集合是沒有元素的。一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作①。

2.子集、交集、并集、補(bǔ)集

I.子集

集合與集合之間，存在著“包含”與“相等”的關(guān)系。

先看集合與集合之間的“包含”關(guān)系。

沒4=｛1,2,3｝,8=｛1,2,3,4,5｝,集合A是集合B的一部分,我們就說(shuō)集合B包含集

合A。

我們規(guī)定：空集是任何集合的子集。

集合A與集合B的元素是相同的，我們就說(shuō)集合A等于集合B。是集合B的元素，同時(shí)

集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B,記作A=B。

我們還常常涉及“真子集”的問(wèn)題。

集合A是集合B的真子集(properset),記作Au6(或.

顯然，空集是任何非空集合的子集。

II.全集與補(bǔ)集

一般地，設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，

叫做S中子集A的補(bǔ)集(complementaryset)(或余集)，記作A',A'=eS,且x史A｝。

例如，如果S={0,1,2,3,456,7,8,9},A={I,3,5,7,9},那么A'={0,2,4,6,8}?

III.交集、并集

一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集

(intersection),記作ACl8(讀"A交B"),即Ar)8={xlxEA,且xE8}。

而由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A與B的并集(union),

記作AUB(讀“A并B”)，即AU6={xlxEA,或xE6}。

例1設(shè)人={3卜>2},B={xlx<3},o

解：AC\B={xlx>2}A{xlx<3}={xl2<Cx<3}o

例2設(shè)人={工及是等腰三角形},B={xlx是直角三角形},求4n8。

解：

An8={xlx是等腰三角形}n{xlx是直角三角形}={xlx是等腰直角三角形}。

例3A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},。

解：AUB={4,5,6,8}U{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}。

集合中的元素是沒有重復(fù)現(xiàn)象的，兩個(gè)集合的并集中，原兩個(gè)集合的公共元素只能出現(xiàn)

一次，不可寫郵U8={3,4,5,5,6,7,8,8}。

例4設(shè)人={6是銳角三角形},B={xlx是鈍角三角形},求4U8。

解：AU6={xlx是銳角三角形}U{xlx是鈍角三角形}={xlr是斜三角形}。

例5A={A:I-1<x<2},B-{xll<x<3},求AU8。

解：Ai)B={xI-1<x<2}U{xll<3}={xl-1<x<3}?

形如2〃(“eZ)整數(shù)叫做偶數(shù)，形如2〃+l(〃wZ)的整數(shù)叫做奇數(shù)。全體奇數(shù)的集合

簡(jiǎn)稱奇數(shù)集(thesetofalloddnumbers),全體偶數(shù)的集合簡(jiǎn)稱偶數(shù)集(thesetofalleven

numbers)o

習(xí)題1.1

1.下列各小題中，分別指出了一個(gè)集合的所有元素，用適當(dāng)?shù)姆椒ò堰@個(gè)集合表示出來(lái)，

然后指出它是有限集還是無(wú)限集。

(1)世界上最高的山峰；

(2)由1,2,3這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復(fù))組成的一切自然數(shù)；

(3)平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)。的距離等于定長(zhǎng)/(/>0)的所有的點(diǎn)P。

2.寫出集合{a,b,c}所有的子集，并指出其中那些是它的真子集。

3.(1)解方程x+3=±-5并把結(jié)果用集合表示出來(lái)；

2

(2)解不等式3x+2〈4x-l,并把結(jié)果用集合表示出來(lái)。

4.(1)設(shè)A={xlx〈5},6={xlx20},求AClB；

⑵設(shè)71={xk是銳角三角形},8={xlx是鈍角三角形},求APB；

(3)設(shè)4={》心2},8="辰3}208；

(4)郵={xlx是平行四邊形},5={xlx是矩形}，求AU8。

1.2函數(shù)

1.函數(shù)

定義：設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與

它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)(function),x叫做自變量。

記作)=Ax),xQD。

其中，x叫做自變量(argument),x的取值范圍D叫做函數(shù)的定義域(domain)；與x對(duì)應(yīng)的

y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x)lx三。}叫做函數(shù)的值域(range)。

一次函匆(x)=ax+b(aW0)的定義域是R。值域也是R。對(duì)于R中的任意一個(gè)數(shù)x,在R

中都有一個(gè)數(shù)y=ax+b(aW0)和它對(duì)應(yīng)。

函數(shù)除用/(X)表示外，還常用g(x),F(x),G(x)等符號(hào)表示。而且研究函數(shù)常常用到區(qū)

間(interval)的概念，如(a,b),[a,b],(a,b),(-8,+8),[4,+8]等。

例1求下列函數(shù)的定義域：

(1)/(x)=j3x+2；

(2)/(x)=Jx+1+—5—。

2-x

分析：函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)x的集合。

解：(1)因?yàn)?x+220,即xN-2時(shí)，根式才有意義，所以，這個(gè)函數(shù)的定義域是1-2,+81。

3L3)

(2使根式■有意義的實(shí)數(shù)尤的集合是{xlx?-1),使分式

」一的實(shí)數(shù)x的集合是{xlxW2},所以，這個(gè)函數(shù)的定義域是[T,2]U(2,+8)。

2-x

例2已知函數(shù)/(x)=3x2-5x+2求〃3),/(-V2),/⑷，人”+1)。

解：/(3)=3x3-5x3+2=14；

/(-V2)=3x(-V2)2-5x(-V2)+2=8+572；

/(a)=3x1-5xa+2；

/(a+l)=3x(a+l)2-5x(a+1)+2=3a?+a

習(xí)題1.2

1.畫圖表示集合A到集合B的對(duì)應(yīng)(集合A,B各取4個(gè)元素)，

已知：

(1)A=[1,2,3,4}-B={2,4,6,8},對(duì)應(yīng)關(guān)系是“乘2”；

(2)A={xlx>0},B=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系是“求算術(shù)平方根”；

(3)A={xNW0},B=R,對(duì)應(yīng)關(guān)系是“求倒數(shù)”；

(4)A={ZOfl00<Za<90°},B={x\x<l},對(duì)應(yīng)關(guān)系是“求余弦”。

2.已知函數(shù)/a)=3x+5,xSR,求A-3),人-2),/(0),

/(I),/(2)以及函數(shù)的值域。

3.選擇題：

下列四組中的函數(shù)f(x),g(x),表示同一個(gè)函數(shù)的是()

2

(A)g(x)=x2-,(B)/(x)=x-l,g(x)=--1；

X

(C)/(x)=x2,g(x)=(Vx)4,(D)/(x)=x3,g(x)=Vx^

4.畫出下列函數(shù)的圖象，并說(shuō)出定義域、值域：

Q

(1)正比例函數(shù)y二3%；(2)反比例函數(shù)y=—

x

(3)一次函數(shù)y二一以+5；(4)二次函數(shù)y=x?—6x+7.

5.求下列函數(shù)的定義域:

(1)⑵"x)F

W4-8

/(x)(4)f(x)=<3x-1+Jl-2x+4；

j3x+2

(5)<(x)=J-9；(6)f(x)=74_J

x-\

1.3函數(shù)的單調(diào)性(monotone)

為了研究函數(shù)的性質(zhì)，按照列表、描點(diǎn)、連線等步驟分別畫函

數(shù)y=》2和y=/的圖象。

函數(shù)＞=/的圖象如圖1T,函數(shù))，=/的圖象如圖「2

圖1.1圖1.2

現(xiàn)在研究函數(shù)的單調(diào)性。

從函數(shù)y=x2的圖象(圖1.1)出發(fā)看到：

圖象在y軸的右側(cè)部分是上升的，也就是說(shuō)，當(dāng)X在區(qū)間

[0,+OO)上取值時(shí)，隨著X的增大，相應(yīng)的y值也隨著增大，即如果取X1,》2e[0,+8)，

得到％=f(x]),y2=/02)那么當(dāng)王＜》2時(shí)，有X＜乃，這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)＞=/在

[0,+OO)上是增函數(shù).

圖象在y軸的左側(cè)部分是下降的，也就是說(shuō)，當(dāng)尤在區(qū)間(-8,0)上取值時(shí)，隨著X的增

大，相應(yīng)的y值也隨著增大，即如果取網(wǎng),》2e(—8,0),得到y(tǒng)=/(/),乃=/*2)，那

么當(dāng)西＜》2時(shí)，有月〉力，這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)y=》2在(-8,0)上是減函數(shù)。

從函數(shù)y=d的圖象(圖1.2)看到這個(gè)函數(shù)在R上是增函數(shù)。如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值X1,X2當(dāng)王<々忖，都有/(再)</(》2)，那么就用(X)

在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)(increasingfunction)”勺1-：3(1))；

(1)(2)

圖1-3

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值玉,x2，當(dāng)?shù)?lt;々時(shí)，都

有/(X])>/(x，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)(decreasingfunction)(圖1-3(2))。

函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增

函數(shù)，而在另外一些區(qū)間上不是增函數(shù)。

例如函數(shù)y=x?,當(dāng)尤三[0,+8)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)xR(-8,0)時(shí)是減函數(shù)。

如果函數(shù)尸/(X)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)戶/(x)在這一區(qū)間

具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性(monotone),

這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間(monotoneinterval)。在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升

的，減函數(shù)的圖象是下降的。

例1.下圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù))，=/(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出y=/(x)的

單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，y=/(X)是增函數(shù)還是減函數(shù)。

圖

解：函數(shù)產(chǎn)/(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中尸/(x)在區(qū)

間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間[3,5]上是增函數(shù)。

要了解函數(shù)在某一區(qū)間是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀察是一種常用而又較為粗糙的

方法。嚴(yán)格地說(shuō)，它需要根據(jù)單調(diào)函數(shù)地定義進(jìn)行證明，下面舉例說(shuō)明。

例2證明函數(shù)/'(x)=3x+2在R上是增函數(shù)。

證明：設(shè)匹,％2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且項(xiàng)<X2,則

/(X])-/(々)=(3玉+2)—(3》2+2)=3(X1—X?)由X]<了2，得》1一》2<0,于是

/(西)一/(々)<0即/(/)</(馬)。所以，/(x)=3x+2在R上是增函數(shù)。

例3.證明函數(shù)

/。)=,在(0,+°°)上是減函數(shù)。

x

證明：設(shè)X”X2是xe(0,+OO)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且王</，則

11X-X

/(Xl)-/(X2)=------=21

x,x2x,x2

由X],》2e(0,+8)，得尤|》2>0，

又由X1<X2,得X]—<0,

于是/(七(一/(%2)〉0,aiJ/(x,)>/(x2).

所以，

/(x)=L在(0,+8)上是減函數(shù)。

X

總結(jié)：證明單調(diào)性的步驟

(1)設(shè)西川2屬于給定區(qū)間；

(2)作差/(/)=/(馬)并判斷符號(hào)；

(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義肯定此命題成立。

習(xí)題1.3

1.分下列情況說(shuō)明函數(shù)尸機(jī)x+b在(-8,+8)上是否具有單調(diào)性；如果有，是增函數(shù)還是

減函數(shù)？

(1)>0；(2)w<0

2.畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象說(shuō)明y=/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上，函

數(shù)支/(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)。

(1)y=x2-5x+6；(2)y-9-x2<>

3.判斷函數(shù)/。)=-1+1在(-8,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷：如果x

e(0,+oo),函豺(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？(提示：可利用公式

a3—by-(a—h)(a2+ab+b2)')。

4.證明：

(1)函數(shù)/(x)=x2+l在(-8,0)上是減函數(shù)；

(2)函數(shù)

"x)=1—l在(-oo,0)上是增函數(shù)。

X

5.證明二次函數(shù)/(x)=a—+/jx+c(a<0)在區(qū)間(一8=-(上是增函數(shù)。

1.4函數(shù)奇偶性

1.函數(shù)奇偶性的概念

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域A

(1)VxeA,有了(-x)=^(x)恒成立，貝獷(x)就叫做奇函數(shù)

(oddfunction)；

(2)VxSA,有了(一x)弓1(x)恒成立，貝,(x)就叫做偶函數(shù)

(evenfuction)。

注：對(duì)奇偶函數(shù)定義的說(shuō)明

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；

(2)奇偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即

若f(X)為奇函數(shù)，則/'(-X)=-f(x)成立；

茍■(X)為偶函數(shù)，則/'(-X)=/,(%)成立。

(3)如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說(shuō)f(x)具有奇偶性。

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性

1

(1)/(X)=2x+(X-1)2-+3：(2)/(X)=X3+X3;

(3)/(x)=0：(4)/(x)=x+1o

解：⑴xER,f(x)=4

所以/'(-x)=/(x)=4,即/(》)=2%+(》—1)2-1+3是偶函數(shù)。

(2)定義域xW0

1_\_

/(-X)=(-X3)+(—X)3=-(工3+X3)=_/(x),

1

所以/(x)=/+x有是奇函數(shù).

(3)定義域?yàn)镽,X/(—x)=/(x)=0,/(—x)=^(x)=0,所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

(4)*.*f(—x)=-X+1,—/(x)—~x—1

???/(—x)k—/(x)W(—x)w/(X)。所以f(x)為非奇非偶函數(shù)。

例2判斷函數(shù)

J—?

/(X)=J\［的奇偶性

|x+2|-2

解：

1-x2>0-1<%<1

..=>V=>-l<x<l,x^O；

,+2|-2/0x聲0,x#—4

...定義域?yàn)閇T,0)U(0,1];

V1-X2_V1-X2

?e*/(%)=

(x+2)—2x

J1-(-x)2Jl-(-x)2

V

???/(-x)=V=-=-/(x)，

-XX

所以，/(X)為奇函數(shù)。

說(shuō)明：用定義判斷奇偶性的步驟

(1)先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(2)再判斷f(-X)=~f(x)或/'(-x)于(x)是否恒成立：

2.奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)

(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)

函數(shù)為奇函數(shù)；

(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)

函數(shù)為偶函數(shù)。

注：奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于：

①簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的畫法；

②判斷函數(shù)的奇偶性。

例3已知函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如圖，畫出y=/(x)在

y軸左邊的圖象。

解：阿法略

圖

習(xí)題1.4

1.判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)f(x)=-2x；(2)/(x)=|x|-2；

22

(3)f(x)=y/l-x；(4)f(x)=-x(xG[-3,1])；

(5)/(x)--\/4—x2+(x-2)；(6)f(x)=2x-l.

2.判斷

x2(x-l)(x>0)

/(x)=<l(x=0)的奇偶性.

-x2(x+l)(x<0)

3.已知函豺(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，求謝(x)=0.

4.證明

=］上「上匚1是奇函數(shù)。(提示：利用/'(x)+/(-x)=0,即

J1+廠+X+1

=—1證明)。

/(-X)

1.5反函數(shù)

1.反函數(shù)的概念

在函數(shù)y=2x+6(xSR)中，x是自變量，y是x的函數(shù)，由y=2x+6可以得到式子

x=1-3(ywR),這樣，對(duì)于y在R中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子

x=1-3,x在R中都由唯一的值和它對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)，可以把y作為自變量(ySR),%

作為y的函數(shù)，這時(shí)我們就說(shuō)x=1-3(yeR)是函數(shù)y=2x+6(x?R)的反函數(shù)。

一般地，函數(shù)y=/(x)(xEA)中，設(shè)它的值域?yàn)镃,我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系,

用y把%表示出來(lái)，得到x=e(y),x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=°(y)就表示

y是自變量，x是自變量y的函數(shù)。這樣的函數(shù)x=e(y)()；三。)叫做函數(shù)y=/(x)(x?A)

的反函數(shù)(inversefunction),記作x=7"(y)。

在函數(shù)x=/T(y)中，y表示自變量，x表示函數(shù)，但在習(xí)慣匕我們一般用x表示自變

量，用y表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=/T(y)的字母x,y，把它改寫成x=/T(y)

例如函數(shù)y=2x的反函數(shù)為

y=gx(xeR)等。

從反函數(shù)的概念可知，如果函數(shù)y=/(x)由反函數(shù)x=/T(y),那么函數(shù)y=/T(x)

的反函數(shù)就是y=/(x),這就是說(shuō)，函數(shù))>=/(x)與y=/T(x)互為反函數(shù)。

從映射的概念可知，函數(shù)y=/(x)是定義域集合A到值域C的映射，而它的反函數(shù)

y=y'(x)是集合C到集合A的映射。

函數(shù)y=/(x)的定義域，正好是它的反函數(shù)y=/T(x).的值域：函數(shù)y=/(x)的值域,

正好是它的反函數(shù)y=/T(X)的定義域。

例1求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(1)尸31(xRR)；

(2)y=d+i(xeR)；

(3)y=Vx+1(X0)；

(4)

2x+3_

y=---(zxGR,且nxw11X)。

x-1

解：(1)山y(tǒng)=3廠1,得x=中，所以，函數(shù)y=3x-1(x^R)的反函數(shù)是y=拶(xeR)；

(2)由函數(shù)y=/+i(xeR),得尤=狂萬(wàn)，所以，函數(shù)y=+l(xeR)的反函數(shù)是

y=Jx-l(xeR)；

(3)由函數(shù)y=?+l,得x=(y—1>，所以，函數(shù)

y=?+l(x20)的反函數(shù)是y=(x—1產(chǎn)(xN1)；

(4)由函數(shù)

y=23，得x=3,所以，函數(shù)y=23(xWR,fixWl)的反函數(shù)是

x-iy-2x-1

x+3

(x?i<axW2)。

x—2

2.互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系

一般地，函數(shù)y=/(x)的圖象和它的反函數(shù)y=/T(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

可以表述為如下性質(zhì)：若、=/T(X)是函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)則有

f(a)=bo『(b)=a

例2函數(shù)y=2-V4x-x2-3(14x42)的反函數(shù)是y=f(x),

財(cái)⑵=.

解：設(shè)/'(2)=x,則由性質(zhì)知/T(X)=2,即

2-V4x-x2-3=2(1<x<2),化簡(jiǎn)得——4x+3=0,解得x=l,所以/(2)=1.

例3設(shè)/(?=",函數(shù)y=8(尤)的圖象與曠=/一|(工+1)的圖象關(guān)于直線廠尤對(duì)稱，

x-1

求g(3)的值。

解:設(shè)g(3)=x,則gi(x)=3,

因?yàn)楹瘮?shù))，=g(x)的圖象與>=廣|。+1)的圖象關(guān)于直線>=x對(duì)稱，所以)，=g(x)與

y=/-'(x+l)互為反函數(shù)，因此有g(shù)T(x)=/t(x+1)=3,

97

由反函數(shù)的性質(zhì)得/'(3)=x+l,而/(3)=；求得,所以

習(xí)題1.5

1.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

3

(1)y=-4x+3(xeR)；(2)y=x+4(xe/?);

(3)y=x2(x<0)；

2

(4)y=1-----(XER,月."-3)；

x+3

?r-31

(5)y=-------(xGR且xw——)；

5x+l5

(6)y=:：(%ER,月x。1)；

⑺y=《2-+l(xe《)；

(8)y-J2x-4(x>2)o

2.已知函數(shù)y=j25—4x2（xe0,g）,求它的反函數(shù)。

3.已知函數(shù)尸2|x|。

（1）當(dāng)xe[0,+8）時(shí)，求它的反函數(shù)，并指出反函數(shù)的定義域；

（2）在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)尸2|x|（xe[0,+oo））及其反函數(shù)的圖象;

*4.已知函數(shù)y=：》+6與》=ax+3互為反函數(shù)，求常數(shù)a,b的值。

1—X

*5.求證函數(shù)），=——（XH-1）的反函數(shù)是改函數(shù)本身。

1+X

*6.舉例說(shuō)明，在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)：

（1）丁=/（幻與X=/-|（>）的圖象有什么關(guān)系？

（2）y=/。）與〉=/一|。）的圖象有什么關(guān)系？

1.6累函數(shù)

1.基函數(shù)的概念

我們己經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了這些函數(shù)，y=x,y=，,y=▲,），=/等，可以觀察一下，上述解析式

x

有什么特點(diǎn)。

?般地，我們稱形如y=x“的函數(shù)為幕函數(shù)（powerfunction）,其中x是自變量，戊是

常數(shù)（這里我們只討論出是有理數(shù)〃的情況）。

我們知道，當(dāng)〃=0時(shí)，x"=x°=1（x^0）,函數(shù)y=x°成為常數(shù)函數(shù)y=l（xW0）,

它的圖象是平行于x軸并在%軸上方1個(gè)單位的一條直線（除去點(diǎn)（0,1））。

當(dāng)”=1時(shí)，函數(shù)y=x"就是y=x,〃是其它正整數(shù)時(shí)，爐的意義是x"=x?x?3?x

（共有〃個(gè)相乘），函數(shù)的定義域就是實(shí)數(shù)集R。

當(dāng)〃是一個(gè)正分?jǐn)?shù)時(shí)，我們只研究〃是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)"（p,q是正整數(shù)，q>l）的情況,

q

P____p_____

這時(shí)，x"的意義是X,=VF,函數(shù)y=x"的定義域是使舊有意義的實(shí)數(shù)X的集合。

當(dāng)〃是一個(gè)負(fù)整數(shù)或負(fù)分?jǐn)?shù)時(shí)，例如〃=-p（p是正整數(shù)）或

〃=一"（p,q是互質(zhì)的正整數(shù)，4>1）時(shí)，尤"的意義分別是

q

1--111

x"=X-P=X'=3,函數(shù)的定義域是使「-或有意義的實(shí)數(shù)X的集合。

例1求下列函數(shù)的定義域：

11

3'5一2

y=x,y=x\y=xz,y=x,y=x

解：y=/的定義域是R；

1

y=x^=Vx的定義域是R；

1

y=;J=J7的定義域是［0,+oo)；

y=x-2=-V的定義域是(-8,0)U(0,+8)；

X

y=x~的定義域是(o,+OO)0

2.幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)(graphandpropertyofpowerfunction)

現(xiàn)在我們分〃〉0和〃〈0兩種情況來(lái)研究事函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

I：n>0

我們?cè)谕粋€(gè)直角坐標(biāo)下畫出y=x,y=x2,y=X5,y=以及y=x3的圖象(如圖1-4),

圖1-4

可以看出，當(dāng)〃>0時(shí)，幕函數(shù)y=x"有下列性質(zhì):

(D圖象都過(guò)(0,0),(1,1)；

(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大。

例2比較下列各題中兩個(gè)值的大小：

33

(1)1.55,1.7?：(2)0.7L5,0.6L5O

解：(1)題中的兩個(gè)值都是募運(yùn)算的結(jié)果，且指數(shù)相同，因此，可以利用幕函數(shù)的性質(zhì)來(lái)

判斷它們的大小。考察累函數(shù)

3

y=x"在第一象限內(nèi)，y的值版的增大而增大。

33

VI.5<1,7,?.1.5^<1.75

(2)考察金函數(shù)y=x",同理,

VO.7>0.6,AO.715>0.6'5?

II：n<0

同樣地，我們?cè)谕粋€(gè)直角坐標(biāo)系下畫出y=-x,y=x<以及y=x2的圖象(如

圖1-5):

可以看出，當(dāng)時(shí)，幕函數(shù)y=x有下列性質(zhì)：

(1)圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)；

(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨著x的增大而減??；

(3)在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無(wú)限地接近，向右與x軸無(wú)限地接近。

圖1-5

例3比較下列各題中兩個(gè)值的大小:

_2_2S二S_2

(1)2.2^,1.8^；(2)0.15「,0.17-巴(3)(_2_尸,(_2/。

1211

解：(1)考察某函數(shù)

_2

y=x《，在第一象限內(nèi)，y的值隨x的增大而減小。

_2_2

V2.2>1.8,2.2-3<1.8行；

(2)考察幕函數(shù)y=xT2,同理，

VO.15<0.17,0.15-'-2>0.17-12；

(3)可以將其先化以為第一象限的情形，便于使用性質(zhì)進(jìn)行判斷,

--555--5-￡

而y=x3在第一象限內(nèi)隨x的增大而減小，又二<己，因此(3)3〉(3)3,即

12111211

(5「15二

>(--)3

11

2.總結(jié)

我們可以對(duì)以上的情況作一個(gè)總結(jié)，具體參見下表:

圖

習(xí)題1.6

1.求下列函數(shù)的定義域：

!_2

(1)y=x"4；(2)y=x5\(3)y=x；

234

(4)y=x'；(5)y=；(6)y=x"

2.在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列各題中兩個(gè)函數(shù)的圖象，并加以比較：

(1)y=x3,y=x4；(2)y=x~3,y=x-4。

3.比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

3322

(1)1.34,1.54；(2)0.2p,0.27?o

4.比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

_5_51_

(1)3-5,3.1'(2)1.「5,0.9~5。

1.7指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)(exponent)

在以前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了指數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，即對(duì)于任意有理數(shù)

(1)ar-as—ar+5(r,；

(2)(ar)5=an(r,seQ)；

(3){ab\arbr(reg)

2.指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y＞0且。W1)叫做指數(shù)函數(shù)(exponent

function),其中X是自變量，函數(shù)的定義域是R。

3.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(graphandpropertyofexponentfunction)

為了研究指數(shù)函數(shù)y=/(。〉0且。牛1)的圖象和性質(zhì)，可以先觀察y=2、和(g),

的圖象(如圖1-6)：

圖1-6

通過(guò)圖1-6,我們可以總結(jié)出一些規(guī)律，一般地，指數(shù)函數(shù)＞=相在底數(shù)。＞1及0GV這兩

種情況下的圖象和性質(zhì)如F表所示：

圖

性質(zhì)：(1)定義域：R；

(2)值域：(0,+oo)；

(3)過(guò)點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=l；

(4)當(dāng)。＞1時(shí)，y=/在R上是增函數(shù)，反之，當(dāng)0＜。＜1時(shí)，y=外在R上是減

函數(shù)。

例1某種反射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)1年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%,畫出

這種物質(zhì)的剩留量隨時(shí)間變化的圖象，并從圖象上求出經(jīng)過(guò)多少年，剩留量是原來(lái)的一半(結(jié)

果保留一個(gè)有效數(shù)字)。

解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量為1,經(jīng)過(guò)X年，剩留量為yo

則y=0.84*

圖

從圖上看出，y=0.5只需x=4。

因此，約經(jīng)過(guò)4年，剩留量是原來(lái)的一半。

例2說(shuō)明下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)y=2''的圖象的關(guān)系，并畫出它們的示意圖：

(1)y=2x+,；(2)y=2X~2。

解：(1)比較函數(shù)y=2e與y=2*的關(guān)系：

y=與y=2與相等，y=2-2+l與y=2-1相等，

y=2?+i與y=23相等，....

由此可以知道，將指數(shù)函數(shù)y=2,的圖象向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y=2N

(如圖1-7)

圖1-7

(2)同理，可以看出，指數(shù)函數(shù)y=2、的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y=2'-2

-2的圖象(如圖1-7)。

例3比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

(1)1.725,1.73；(2)0.8如,0.84；(3)1.7嗎0.93」。

解：(1)考察指數(shù)函數(shù)y=1.7',由于底數(shù)1.7>1,所以指數(shù)函數(shù)y=1.7'在R上是增函數(shù),

V2.5<3,1.7〈IT。

(2)考察指數(shù)函數(shù)y=0.8’，由于0〈0.8〈1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.8'在R上是減函數(shù)，

V-0.1>-0,2,O.8-01<O.8-02?

(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知

1.703>1.7°=1,0.9”<0.9°=1,即

1.703>1=1,0.931<1...1.7°3>0,931o

由于1.7°3與OS*不能直接看成某一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)值，因此，(3)題無(wú)法用(1)、

(2)兩題的方法來(lái)進(jìn)行比較。本題在這兩個(gè)數(shù)值問(wèn)題間找到數(shù)值1,使這個(gè)兩個(gè)數(shù)值分別與

數(shù)值1進(jìn)行比較，進(jìn)而比較出1.7°3與0.9”的大小。

習(xí)題1.7

1.求下列函數(shù)的定義域：

(1)廣二(2)y=324t+1；(3)y=(g)"；(4)y=0.7J

2.比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

(1)3°8,3°，；(2)0.75-0',0.7501(3)1.0127,1.0135(4)0.9933,0.9945.

3.已知下面不等式，比較加，〃的大?。?/p>

⑴2Ht<2"；(2)0.2?<0.2"

(3)a'n<a"(0<a<l)(4)a'n>czn(a>1)?

*4.設(shè)％=/尹|,為=,其中q〉o,。Wl。確定x為何值時(shí)，有⑴/=為；

⑵%>力。

*5.設(shè)/(x)=3"，求證：

(I)/(x)-/(y)=fx+yY，(2)f(x)-=rf(y),

1.8對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念

?般地，如果。(?！?,。/1)的。次幕等于"，就是/'=N,那么數(shù)。叫做以。為底N的

對(duì)數(shù)(logarithm),記作log〃N=6,其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：

(1)負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)；

(2)log。1=0,logaa=1；

(3)對(duì)數(shù)恒等式a院=N；

(4)常用對(duì)數(shù)(commonlogarithm)logI0N=\gN；

(5)自然對(duì)數(shù)(naturallogarithm)log。N=lnN；

(6)底數(shù)a的取值范圍(0,1)U(1,+oo),真數(shù)N的取值范圍(0,+8)

對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：如果a〉0,aWl,M>0,N>0,那么

⑴log”(MN)=log.M+log“N；

⑵l°g〃獷=l°g"MT°g"N；

n

⑶log?M=nlog(,M(n&R).

證明略.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：

一般地函數(shù)y=log“x(a>0且aH1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithmicfunction),它是

指數(shù)函數(shù)y=a(。>0且aWl)的反函數(shù)。y=log“x(a〉0月.a=1)的定義域?yàn)?0,+

8),值域?yàn)?-8,+8)。

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象

由于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0.目一a豐1)與指數(shù)函數(shù)

y=a*(a>0月.aw1)互為反函數(shù)，所以y=log“x的圖象與

y=ax的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱。由于指數(shù)函數(shù)的圖象按a>1和

0<a<1分成兩種不同的類型，故對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象也應(yīng)以1為分

界線分成兩種情況，。>1和0<。<1。分別以y=log2X和

y=log,x為例畫圖(如圖1-8):

2

圖1-8

一般地，對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x在其底數(shù)?！?和〈1這兩種情況的圖象和性質(zhì)如下表

所示：

函數(shù)

y=log”x(a>0且。w1)

底數(shù)a>\0<^<1

圖像圖1圖2

定義域

(0,+oo)

值域

(-00,4-00)

定點(diǎn)(1,0)即x=l時(shí)，y=0

值分布當(dāng)x>l時(shí)，y>0;當(dāng)0<x<l時(shí),y<0當(dāng)x<l時(shí),y<0;當(dāng)0<x<l.時(shí),y>0

單調(diào)性

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

趨勢(shì)底數(shù)越大，圖像越靠近X軸底數(shù)越小，圖像越靠近X軸

例1求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=log?x2；(2)y=k)g“(4-x)；(3)y=log?(9-x2)?

解：(1)因?yàn)椋?gt;o,即xWO,所以函數(shù)y=log“/的定義域是｛xlxWO｝；

(2)因?yàn)?—x>0,B|Jx<0,所以函數(shù)y=log〃(4一x)的定義域是｛x|x<4｝；

(3)因?yàn)?一》2>0,即一3<x<3,所以函數(shù),=108〃(9一%)2的定義域是

｛x-3G<3｝o

例2比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。?/p>

(1)log23.4,log28.5；

⑵logoJ8,log032.7；

(3)log“5.1,log“5.9(a>0,aH1)。

解：(1)考察對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2X,因?yàn)樗牡讛?shù)2>1,所以它在(0,+8)上是增函數(shù)，

于是log?3.4<log28.5

圖

(2)考察對(duì)數(shù)函數(shù)y=logo.3X,因?yàn)樗牡讛?shù)為0.3,即0<0.3<1,所以它在(0,+8)上是減

函數(shù),于是logoJ8>logo.32.7

圖

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性決定于對(duì)數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1,而已知條件中并未明確指出底

數(shù)a與1哪個(gè)大，因此需要對(duì)底數(shù)。進(jìn)行討論：

當(dāng)時(shí),函數(shù)y=log“x在(0,+8)上是增函數(shù)，于是log”5.1<log”5.9；

當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)y=log,,x在(0,+oo)上是減函數(shù)，于是log“5.1>log〃5.9。

例3比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大?。?/p>

(1)log67,log76；(2)log3H,log,0.8.

解：(1)Vlog67>log66=1,log76<log77=1,

log67>log76。

(2),/log37i>log31=0log20.8<log21=0

...log3re>log20.8。

例4已知例x)=lg(a*-fex)(a>1>b>0)：

(1)求/、(尤)的定義域;

(2)判財(cái)(x)的單調(diào)性；

(3)此函數(shù)的圖象上不存在不同兩點(diǎn)，使過(guò)兩點(diǎn)直線平行于x軸；

圖？

(4)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，/(x)在區(qū)間［1,+8)上恒為正。

解：⑴由a、—勿>0得］n(鏟>1=(鏟

???。>1〉。>0,二x〉0,故/1(x)的定義域?yàn)?O.+oo);

(2)設(shè)0<X］<4<+00，則

x2xx

f(xl)-f(x2)=\g—~~—,,/a>1>/>>0,：.a'<a',b'>b-

ax'-bx'

0<a''-bx'<a'2-bt2,0<-.......................<0,

:./(再)</(七),蚓(》)在(0,毋)是增函數(shù)。

(3)設(shè)4(再，%),8(%2，%)，且須日七2,

：/(x)在(0,+8)是增函數(shù),

二當(dāng).<4時(shí),則必<>2，當(dāng).>時(shí)，則口>>2，

丁尸力，故過(guò)兩點(diǎn)的直線不平行于x軸；

(4)?；/(x)在(0,+8)是增函數(shù)，

A/(x)min=八1)=愴3-3，要使fG)在區(qū)間［1,+8)上恒為正,

只要使lg(a-b)>0就可以了，即。一6>1。

習(xí)題1.8

1.求下列函數(shù)的反函數(shù):

(1)y=4*(xeR)：(2)y=0.25'(xeR)；

(3)y=(1)v(xe/?)；(4)y=(V2)x(xe/?)；

(5)y=1gx(x>0)；(6)y=21og4x(x>0)；

(7)y=log。2x(。>0,且〃w1,x>0)；

2.求下列函數(shù)的定義域：

⑴y=#log2X；(2)y=Jk>go5(4x-3)。

3.已知下列不等式，比較正數(shù)加，〃的大?。?/p>

(1)log3m<log3n；(2)log03m>log03n；

(3)logflm<logrtn(0<a<\)；(4)logrtm>logt/n(a>1)4O

4.已知

f(x)=\g^,a,be(-1,1)，求證/(a)+f(b)="誓:)。

1+x\+ab

1.9對(duì)數(shù)的換底公式

1.對(duì)數(shù)換底公式

logN

log,N=3M(a>0,a*l)

log,”a

證明：設(shè)k)g“N=x，則謂=N，兩邊取以m為底的對(duì)數(shù):

x

log,,,a=log,,,Nnxl0gBia=log,,,N,從而得:

log^JVloSgn,N

loguN=

log,”alog,,,a

三個(gè)較為常用的推論:

1-log?b-log,,a=1

V]

2.log"6"=—108〃儀4力>0且均不為1)；

°m

3.logvy-logvz=logrz

證明：

TgbIga

1.log。blog,

Iga\gb

\gb"_nigb

2.logJ'log,/

1gammlgam

o1ii1嗚zi

3.log、y?logvz=logty---------=log、z

logry

例1計(jì)算

(1)log89-log2732；(2)log43-log.V32；

i

log,”a-log,"b

(3)ao

M1g321g3221g351g210

lg8lg2731g231g39

(2)原式=]log23?]log32+^log22=—+—；

log,”，

___2,?

(3)原式=。睢”"=a°8S=-,

b

例2已知log189=a,18"=5,求log3645(用〃力表示)

18

解：；log|89=aAlogl8y=l-log182=6z

??logi82=1-a

h

V18=5log185=Z>

.1o45=喻45=—+幽5=a+b_

"無(wú)6'-iog|836-l+log182-2—a

例3設(shè)3?=4V=6-f>l求證：---=—

zx2y

證明：v3J=4'=6Z=f>l,

.—=困v上]=圖

lg3’lg4'lg6’

...11_Jg6Ig3_jg2-lg4_1

zxIgzIgfIgf21g/2y

例4若logg3=p,log35=夕,求lg5。

解：,/log83=p,Iog23=3p=>lg3=3plg2=3p(l-lg5)

lg5

又,:>og5二q，Ig5=qlg3=3pq(l-lg5)

3愴3

：：(1+3pq)lg5=3pq2懸

例5計(jì)算：4

(log43+log83)(log32+log92)-log,V32

5

4

解：原式=(log223+log?、3)(log32+10g3.2)-logj^2

2

(g1叫3+；log,3)(log32+|log32)+|

5,c3,3555