材料力學(xué)彎曲應(yīng)力

材料力學(xué)彎曲應(yīng)力1第一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日§1彎曲正應(yīng)力§2

正應(yīng)力強(qiáng)度條件§3彎曲剪應(yīng)力§4剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的合理截面§5非對(duì)稱截面梁彎曲彎曲中心§6考慮塑性的極限彎矩第七章彎曲應(yīng)力2第二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日概述CD段：只有彎矩沒(méi)有剪力－AC和BD段：既有彎矩又有剪力－Q＋－F－MFa純彎曲剪切彎曲3第三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日剪力FS正應(yīng)力s先分析純彎梁橫截面的正應(yīng)力s

，再將結(jié)果推廣用于剪切彎曲情況目錄切應(yīng)力τ彎矩M4第四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日1.實(shí)驗(yàn)觀察

橫向線仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；一、表面變形與平面假設(shè)bdacMM縱向線彎為曲線，且部分伸（下)部分縮（上）縱向③

橫向線與縱向線變形后仍正交abcd橫向§1彎曲正應(yīng)力(NormalStressesonCrossSectionofBeam)5第五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日2.推論與假設(shè)橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)

(凹入一側(cè)縮短)(凸出一側(cè)伸長(zhǎng))中性軸中性層與橫截面的交線——中性軸橫截面上只有正應(yīng)力，無(wú)切應(yīng)力

平面假設(shè)：（由表及里，由線到面）(不受拉壓應(yīng)力)

內(nèi)必有一層既無(wú)伸長(zhǎng)也無(wú)縮短，一層長(zhǎng)度不變此層稱中性層.中性層6第六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日二.彎曲正應(yīng)力公式應(yīng)力分布不知,須考慮——變形幾何關(guān)系應(yīng)變－應(yīng)力關(guān)系靜力關(guān)系（變形分布規(guī)律）（應(yīng)力分布規(guī)律）（應(yīng)力－彎矩關(guān)系）7第七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日（幾何方程）橫截面各點(diǎn)線應(yīng)變與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比.1.變形幾何：應(yīng)變分布規(guī)律：r(中性層無(wú)伸縮)yz中性軸y微段dx(1)中性軸處為零.距中性軸愈遠(yuǎn)應(yīng)變愈大;以中性軸為界，兩側(cè)分為伸縮應(yīng)變.曲率中心CABOO1dq8第八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日2.物理關(guān)系：應(yīng)力分布規(guī)律：yz(中性軸)(中性軸兩側(cè)平行而反向形成合力偶——彎矩M)代入Hooke定律：(2)中性軸處σ為零.距中性軸愈遠(yuǎn)應(yīng)力愈大;(大小)(方向)（物理方程）橫截面各點(diǎn)正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比.(1)以中性軸為界,兩側(cè)分為拉壓應(yīng)力.

σ9第九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日M3.靜力關(guān)系：截面對(duì)稱自動(dòng)滿足dA中性軸z過(guò)形心曲率(3)Myxyz(中性軸)空間平行力系10第十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日(4)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式

z=sMyINote:（1）

y原點(diǎn)在中性軸（過(guò)形心）（2）＋－號(hào)可直觀判斷代回或根據(jù)M圖（較難判時(shí)）yz(中性軸)（形心）dAyx11第十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日適用于:三.公式適用說(shuō)明1.材料線彈性但更進(jìn)一步精細(xì)分析（彈性力學(xué)、光彈實(shí)驗(yàn)）表明，當(dāng)跨度與截面高度之比L/h>5（細(xì)長(zhǎng)梁）時(shí)，此影響可略去不計(jì).純彎曲公式對(duì)于剪切彎曲近似成立。3.可推廣用于剪切彎曲.2.外力沿主軸(如:對(duì)稱軸)——對(duì)稱彎曲平面假設(shè)不再成立—剪力翹曲對(duì)正應(yīng)力有影響。F（否則條件

無(wú)法滿足）12第十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日正應(yīng)力公式推導(dǎo):變形幾何關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系靜力關(guān)系為曲率13第十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日hb按伽利略彎曲假設(shè)(截面分為拉壓兩區(qū)域,均勻分布)計(jì)算彎曲正應(yīng)力,誤差為多少?解：yz1.按伽利略均勻分布假設(shè)2.按沿梁高線性分布:(相差三分之一)[例1]:dA*14第十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日15KN6KN909060120BM36kNm解：1m1mK求B截面K點(diǎn)應(yīng)力(拉?壓應(yīng)力?)[例2]:(拉應(yīng)力)z=sMyI15第十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日(5)截面上下邊緣:maxyIWz=抗彎截面模量yz(中性軸)§2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件一.最大正應(yīng)力zbhbBhH箱形(StrengthConditionforNormalStress)16第十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日常見截面的Iz

和WDd=a各種型鋼的Iz、Wz

可從型鋼表中查出zDdzD環(huán)形17第十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日目錄為使受彎構(gòu)件安全工作:——強(qiáng)度條件（許用應(yīng)力）二.強(qiáng)度條件（抗拉許用應(yīng)力）（抗壓許用應(yīng)力）抗拉壓不等的材料：18第十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日1803030180120180輕型起重機(jī),吊臂兩種設(shè)計(jì),比較兩者強(qiáng)度.截面積相同:A1=A2

解：據(jù)強(qiáng)度條件:W越大，強(qiáng)度越高.W比即為強(qiáng)度之比.[例1]:19第十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日分析思考：1.強(qiáng)度差異巨大的緣由?應(yīng)力分布不同——2.實(shí)際工程意義

提高抗彎強(qiáng)度,減輕自重——舉例——W愈大，抗彎強(qiáng)度愈高（麥桿抗倒伏……，電線桿……,橋梁箱形截面……，宜家公司…，鳥巢）z(中性軸)ydx材料分布離中性軸愈遠(yuǎn)，抗彎強(qiáng)度愈高zz20第二十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日風(fēng)電塔筒彎曲內(nèi)力目錄21第二十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日三一重工泵車22第二十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日虎門大橋

23第二十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日y1y2截面上下不對(duì)稱:（上下斜率同）拉壓應(yīng)力各有其最大值(不相同).中性軸z過(guò)形心

截面上下對(duì)稱:發(fā)生在所在截面.兩最大值也不一定都發(fā)生在所在截面.(情況較復(fù)雜)24第二十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日解：彎矩圖危險(xiǎn)面、點(diǎn)8kN1m1m1m6kN/mABD試校核強(qiáng)度.并說(shuō)明合理放置？T

形截面鑄鐵梁

Iz=291cm4

[t]=40MPa

[c]=100MPa,z形心356530563667x2.53MkNm[例2]:25第二十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日校核強(qiáng)度不安全當(dāng)構(gòu)件截面上下不對(duì)稱(如T字形)且材料抗壓抗拉[t]、[c]不等危險(xiǎn)截面可能兩個(gè)Mtmax材料抗壓能力遠(yuǎn)高于抗拉時(shí),使危險(xiǎn)（最大彎矩）截面受壓區(qū)高——合理Mcmax26第二十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日y§3彎曲切應(yīng)力一.矩形截面梁1、兩點(diǎn)假設(shè)：切應(yīng)力τ沿截面寬度

大小方向注:中間點(diǎn)——對(duì)稱性;取微段dxzybhxMdxx——兩截面內(nèi)力分離部分2、公式推導(dǎo)：yQ——平衡分析……M+dM均勻分布與側(cè)邊平行周邊——互等定理

(SheariogStressesonCrossSectionofBeam

)27第二十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日兩截面M不等——

左側(cè)面右側(cè)面頂平面(∵切應(yīng)力互等)（Sz為該點(diǎn)一側(cè)面積對(duì)中性軸之靜矩)*dA1bdx頂面有

存在.不等,tFS28第二十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日zyybh(隨而變)τ分布規(guī)律:

(沿截面高度)呈二次拋物線狀,中性處最大.上下邊緣為零.29第二十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日二.其它形式截面梁分析方法zy(切力流)(二次拋物線)2.圓截面:豎向切應(yīng)力分量仍可由上式算出.

b

——

腹板厚

t——面積應(yīng)包括翼緣.

腹板任一點(diǎn)由上式算出.

①

翼緣部分——情況較復(fù)雜:主要為水平分量,此外有豎向分量（極微小而不計(jì)）.②目錄即使水平分量最大值也小于腹板部分,通常不考慮.1.工字形截面:豎向切應(yīng)力計(jì)算公式：t與矩形截面相同;

30第三十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日2.校核切應(yīng)力的幾種情況：§4彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件1.切應(yīng)力強(qiáng)度條件：為防止橫彎曲構(gòu)件出現(xiàn)剪切破壞:(許用切應(yīng)力)順紋抗剪能力較差的材料，各向異性材料（如木材）.

鉚接或焊接的組合截面，腹板狹長(zhǎng)時(shí)(厚度與高度比

小于型鋼相應(yīng)比值).梁M

較小而FS較大時(shí)，(跨度較短深梁);(StrengthConditionforShearing

Stress)31第三十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日

懸臂梁三塊木板粘接而成.膠合面許可切應(yīng)力0.34MPa，木材:〔σ〕=10

MPa，[τ]=1MPa，求許可載荷1.正應(yīng)力強(qiáng)度條件剪力/彎矩圖解：2.切應(yīng)力強(qiáng)度條件[例1]:32第三十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日3.膠合面強(qiáng)度條件許可載荷:(0.34MPa)33第三十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日選構(gòu)件工字鋼型號(hào)解：F=200KN2501000查型鋼表,

選22b2.再校核

：1.先由σ

選:50(kNm)200(kN)50[例2]不可34第三十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日3.重選查型鋼表選用25b目錄——25b35第三十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日§5

抗彎強(qiáng)度的影響因素一、受力合理靠近支座，減小跨度0.6L0.2L0.2Lq1/40LqL/3P/2P/2梁抗彎強(qiáng)度主要取決于彎曲正應(yīng)力：截面合理龍門吊合理布置支座受力合理

處處相同——變截面截面合理maxMP=qLL/2L/21/41/61/8(RationalDesignofBeam)36第三十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日二、截面合理截面積已定－W盡可能大,同樣面積：50b工字鋼與矩形截面（）相比

之比為6.7——如：木梁合理高寬比(英)T.Young1807年《自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義》:矩形木梁高寬比為σ分布規(guī)律表明:舉例：Rbh北宋李誡1100年著?營(yíng)造法式》:矩形木梁的合理高寬比

h/b

=1.5

對(duì)大型工程構(gòu)件應(yīng)考慮采用:抗彎強(qiáng)度6.7倍材料分布離中性軸較遠(yuǎn)更能提高抗彎強(qiáng)度,

37第三十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日三、變截面梁在橫力彎曲下,等截面梁大多數(shù)截面未能充分發(fā)揮其強(qiáng)度.舉例：?jiǎn)伪叟偕毂邸@床的搖臂、建筑中挑梁、工程機(jī)械起重吊臂……M從強(qiáng)度角度看,可使橫截面大小隨彎矩而變——38第三十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日閩烏龍江橋T型剛構(gòu)，中間設(shè)掛梁，最后成為連續(xù)結(jié)構(gòu)

（一個(gè)單元）每單元在立面上呈T型雙懸臂39第三十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日成昆線舊莊河一號(hào)橋中國(guó)鐵路上首次采用懸臂拼裝法施工的預(yù)應(yīng)力混凝土橋，主跨為24+48+24(m)鉸接懸臂梁。

（一個(gè)單元）40第四十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日廠房大梁、車輛疊板簧、閘門主梁魚腹式吊車梁、橋階梯軸……龍門刨橫梁41第四十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日若使受彎構(gòu)件每一橫截面的最大正應(yīng)力均相等或：挖掘機(jī)－手臂等強(qiáng)度條件：——等強(qiáng)度梁42第四十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日本章結(jié)束Thanks!43第四十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日3056解：畫彎矩圖T形截面鑄鐵梁

Iz=291cm4

[L]=40MPa

[y]=100MPa,4危險(xiǎn)面、點(diǎn)1m1m1mC形心2.53MkNm8kN6kN/mABD例3z試校核強(qiáng)度.并說(shuō)明更合理放置？35653667xy1y2A3A444第四十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類截面，并使中性軸偏于受拉一方2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀sGzA3A1A2A4y1y2GA445第四十五頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日（二）采用變截面梁，如下圖：最好是等強(qiáng)度梁，即若為等強(qiáng)度矩形截面，則高為同時(shí)Px46第四十六頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日§7-5非對(duì)稱截面梁平面彎曲?開口薄壁截面的彎曲中心幾何方程與物理方程不變PxyzO47第四十七頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日依此確定正應(yīng)力計(jì)算公式。剪應(yīng)力研究方法與公式形式不變。彎曲中心(剪力中心)：使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點(diǎn)

（如前述坐標(biāo)原點(diǎn)O）PxyzO48第四十八頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日槽鋼：非對(duì)稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內(nèi)，中性軸為形心主軸，若是橫向力，還必須過(guò)彎曲中心exyzPPsMQe49第四十九頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日彎曲中心的確定:(1)雙對(duì)稱軸截面，彎心與形心重合(2)反對(duì)稱截面，彎心與反對(duì)稱中心重合(3)若截面由兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形組成，彎心與兩矩形長(zhǎng)中線交點(diǎn)重合(4)求彎心的普遍方法：CCQyeCC50第五十頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日ssss§7-6考慮材料塑性的極限彎矩（一）物理關(guān)系：全面屈服后,平面假設(shè)不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設(shè)sessss理想彈塑性材料s-e圖ssss彈性極限分布圖塑性極限分布圖51第五十一頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日（二）靜力學(xué)關(guān)系：（一）物理關(guān)系：yzxssMjx橫截面圖正應(yīng)力分布圖52第五十二頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日yzxssMjx橫截面圖正應(yīng)力分布圖53第五十三頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日例4試求矩形截面梁的彈性極限彎矩M

max與塑性極限彎矩Mjx之比解：54第五十四頁(yè)，共六十頁(yè)，2022年，8月28日求曲率半徑q=6