2023年河南省重點高中高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

I.已知不入是橢圓C：方的左、右焦點，過尼的直線交橢圓于P，。兩點?若

IQE1,1尸鳥1,1尸耳1,1。不依次構(gòu)成等差數(shù)列，且|PQI=|尸用，則橢圓。的離心率為

23V151、鬧

AA.-B.—C?---D.---

34515

2.設(shè)直線/的方程為x—2y+m=0（meR）,圓的方程為（x-l>+（y-l）2=25,若直線/被圓所截得的弦長為2石，則

實數(shù)〃?的取值為

A.-9或11B.-7或11C.-7D.-9

3.函數(shù)y=sinx（3sinx+4cosx）（xe/?）的最大值為"，最小正周期為T,則有序數(shù)對（加,7）為（）

A.（5,））B.（4,乃）C.（一1,2%）D.（4,2萬）

4.方程2（x-l）sin乃x+l=0在區(qū)間［-2,4］內(nèi)的所有解之和等于（）

A.4B.6C.8D.10

5.復(fù)數(shù)的z=-1-2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.設(shè)左>1,則關(guān)于蒼丁的方程（1一人）》2+丁2=公一］所表示的曲線是（）

A.長軸在y軸上的橢圓B.長軸在X軸上的橢圓

c.實軸在y軸上的雙曲線D.實軸在x軸上的雙曲線

丫2v27T

7.已知雙曲線C:，-2=1（“>0力>0）的右焦點為尸，若雙曲線。的一條漸近線的傾斜角為且點尸到該漸近線

ab~3

的距離為6,則雙曲線C的實軸的長為

A.1B.2

C.4D.成

5

8.已知曲線f=4y,動點P在直線y=-3上，過點P作曲線的兩條切線4,切點分別為A,6,則直線AB截圓

J+y2_6y+5=0所得弦長為（）

A.y/3B.2C.4D.2百

9.已知集合4=*|-2<x<4},集合3={X|X2-5X-6>0},則=

A.{x|3<x<4}B.{x|x<4或x>6}

C.{x|-2<x<-l}D.{x|-l<x<4}

njr

10.將函數(shù)/（x）=2sin（3x+0）（0<（p〈兀）圖象向右平移g個單位長度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=彳對稱，

83

7171

則函數(shù)/（X）在-7,7上的值域是（）

_OO_

A.[-1,2]B.[-73,2]C.一與1D.[-72,2]

11.已知斜率為A的直線/與拋物線。：尸=4無交于A,B兩點，線段AB的中點為加）（機>0）,則斜率m的取

值范圍是（）

A.（F,l）B.（F,l]C.（l,+oo）D.[1,-HX>）

12.某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為（）

tci>wMi￡inm

?HIV

A.1B.2C.3D.0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（x+l）（x—2）6展開式中/的系數(shù)為.

14.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“憋腌”意指四個面都

是直角三角形的三棱錐.某“憋腌”的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1）如圖所示，已知幾何體高為2及，

則該幾何體外接球的表面積為.

J2

15.已知雙曲線§l(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,則該雙曲線的離心率為.

16.戊戌年結(jié)束，己亥年伊始，小康，小梁，小譚，小楊，小劉，小林六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組

各1人，分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講，則不同的分配方案有種(用數(shù)字作答)，

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知/(x)=|x+l|+k+3|.

(1)解不等式〃x)<6

(2)若a*,c均為正數(shù)，且/(a)+/(0)+c=10,求力+/的最小值.

一一2

18.(12分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是b,c,bsinA=3csinB,a=3,cosB=1.

(I)求〃的值；

(ED求COS(25-B)的值.

6

19.(12分)如圖在棱錐尸一ABC。中，ABC。為矩形，PD±^ABCD,PB=2,NBPC=45°,NPBD=30：

(1)在上是否存在一點E,使PC,面若存在確定E點位置,若不存在，請說明理由;

(2)當(dāng)E為心中點時，求二面角P—AE—。的余弦值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=x2-2xlnx,函數(shù)g(x)=x+@—(Inx)2,其中ae/?,/是g(x)的一個極值點，且

X

g(%)=2.

(1)討論/(x)的單調(diào)性

(2)求實數(shù)與和。的值

〃II

(3)證明Z^^^＞小11(2〃+1)(〃eN")

MA/4&2_]2

x=1+cos（p

21.（12分）在直角坐標(biāo)系x。），中，圓C的參數(shù)方程,"（。為參數(shù)），以。為極點，x軸的非負(fù)半軸為極

y=sine

軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；

（2）直線/的極坐標(biāo)方程是2。sin,+。）=36，射線。加：。=（與圓C的交點為。、P,與直線，的交點為Q,

求線段PQ的長.

22.（10分）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）

ak~\Pk

已知矩陣A=（厚0）的一個特征向量為a=,

A的逆矩陣Ai對應(yīng)的變換將點（3,1）變?yōu)辄c（1,1）.求實數(shù)a,k的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

如圖所示，設(shè)IQK示可1,1助1,1。不依次構(gòu)成等差數(shù)列{4},其公差為/.

q+(4+d)+(q+2d)+(q+3d)=4a2

根據(jù)橢圓定義得4+/+4+%=4“，又4+%=%，貝上K+(q+d)=4+2d‘解得"丁’

q所以IQ6l=ga,|P耳|=4a,\PF2l=^?>IPQ\=^a.

+(ga)2-(2c)2(|cz)2+(|^)2-

在和△尸耳Q中，由余弦定理得cosNf；P8,整理解得

c66

2?一〃—a

5555

仁=曙?故選D.

2.A

【解析】

Irn—1I

圓（x-lf+U-4=25的圓心坐標(biāo)為（1,1）,該圓心到直線/的距離4=一^,結(jié)合弦長公式得

2卜5-（券^）2=2行，解得機=-9或〃2=11,故選A.

V75

3.B

【解析】

■,3353

函數(shù)y=sinx(3sinx+4cosx)=3sin?x+4sinxcosx=2sin2x——cos2x+—=—sin(2x-6)+—(夕為輔助角)

2222

27r

...函數(shù)的最大值為〃=4,最小正周期為7=m=萬

故選B

4.C

【解析】

畫出函數(shù)丁=sin也和/=的圖像，y=sin心和丫=一空不均關(guān)于點（1,0）中心對稱，計算得到答案.

Z（X—1）2（x—1）

【詳解】

2(x—l)sin%x+l=0,驗證知x=l不成立，

2(x-l)

畫出函數(shù)y=sinm和y=-的圖像,

2（九一1）

易知：y=sinu和丁=-彳占可均關(guān)于點（1,0）中心對稱，圖像共有8個交點,

故所有解之和等于4x2=8.

故選：C.

本題考查了方程解的問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力，確定函數(shù)關(guān)于點（1,0）中心對稱是解題的關(guān)鍵.

5.C

【解析】

所對應(yīng)的點為（-1,-2）位于第三象限.

【考點定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.

6.C

【解析】

..22

根據(jù)條件，方程（1-左）/+；/=公一1.即/-----J=l,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.

【詳解】

解：?:k>l,*2-1>0,

22

方程。一攵）/+^=3一］,即舌.一上.=1,表示實軸在y軸上的雙曲線，

故選C.

【點睛】

22

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為/.....-=1是關(guān)鍵.

F-lZ+1

7.B

【解析】

雙曲線C的漸近線方程為丁=±2X，由題可知2=tan'=百.

設(shè)點廠(c,0),則點F到直線y=顯的距離為小肅h+，解得c=2,

所以c2=〃2+斤="+弘2=4/=4,解得“=1,所以雙曲線C的實軸的長為2a=2,故選B.

8.C

【解析】

設(shè)A七,｝，Bx2,^-，尸?,-3),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，進而得到切線方程，將2點坐標(biāo)代入切線

方程，抽象出直線AB方程，且過定點為已知圓的圓心，即可求解.

【詳解】

圓x2+y2_6y+5=0可化為f+dP=4.

/2\(2\

X

設(shè)AP-Tx2,-j-,尸(/,-3),

\47\47

則《4的斜率分別為匕吟,k2書,

所以4，/2的方程為/1：,=土(》一為)+且，即.丫=+*—X，

242

，2：y=￡(x_%)+學(xué)，即

-3=爭一y

由于4,4都過點「。,一3),所以1,

-3=/必

即4(%方),3(々,%)都在直線_3='_'上，

Y

所以直線的方程為一3=5/一》，恒過定點(0,3),

即直線AB過圓心(0,3),

則直線AB截圓f+/一6y+5=0所得弦長為4.

故選:C.

【點睛】

本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系，拋物線兩切點所在直線求解是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

9.C

【解析】

由》2一5X一6>0可得(x-6)(x+l)>。，解得x<—l或x>6,所以8=或x>6),

又A={x[—2<x<4},所以Ac8={x[-2<x<-l},故選C.

10.D

【解析】

由題意利用函數(shù)丫=4$畝(妙+⑼的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，求得結(jié)果.

【詳解】

1T

解：把函數(shù)/(x)=2sin(3x+。)(0<。(萬)圖象向右平移g個單位長度后,

8

可得y=20皿［3》_1+夕］的圖象；

TT

再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=1?對稱,

C713乃.71、r

3X-------卜(p=K.7TH—,kGZ,

382

7〃7兀、

?.(p函數(shù)/(x)=2sin3x4-

TTJ

兀汽、~7萬n57r

在—上，3x+—G—,―sin3X--\G

88J8124I8JF'i'

故/(x)=2sin[3x-*卜[-V2,2],即f(x)的值域是[-忘,2],

故選：D.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin(s+e)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題.

11.C

【解析】

設(shè)A(x-%),B(X2,y2),設(shè)直線/的方程為：y=kx+b,與拋物線方程聯(lián)立，由A>0得姑<1,利用韋達定理結(jié)

合已知條件得人=2二-P匚，m=2~,代入上式即可求出攵的取值范圍.

kk

【詳解】

設(shè)直線/的方程為：y=kx+b,A*1,yj,B(x2,%),

v=+b

聯(lián)立方程!「，消去）'得：k2x2+（2kb-4）x+b2=0,

y=4x

AA=（2妨-4）2-4爐/＞（）,

:.kb＜\,

n4—2kbb2

Rxi+x2—,xtx2=—^,

4

M+%=%（X|+x）+2b=-,

2k

???線段A3的中點為M（l,加）（機＞。），

m>0,

:">0,

2

把〃=土2-人k代入幼<1,得2-二<1,

k

：.42>1,

故選：C

【點睛】

本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了韋達定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.C

【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

其中AABC,NBCD,AADC為直角三角形.

...該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.

故選：C.

【點睛】

本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.48

【解析】

變換(X+I)(x—2)6=x(x—2)6+(x—2)6,根據(jù)二項式定理計算得到答案.

【詳解】

(x—2)6的展開式的通項為：&|=。；產(chǎn)。(—2丫，(X+1)(X-2)6=%(X-2)6+(%-2)6,

取r=5和r=4,計算得到系數(shù)為：或.(一2)5+《.(一2?=48.

故答案為：48.

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

14.12TI

【解析】

三視圖還原如下圖：AB=2s/2,BD=CD=y/2,BC=2,由于每個面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點.所以

R=BS=4TR2=12萬,填12兀。

【點睛】三視圖還原，當(dāng)出現(xiàn)三個尖點在一個位置時，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等，而直

角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等，所以本題的球心為AC中點。

15-T

【解析】

根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可得一=二，即。=2瓦進而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，=后方=石，，由雙

a2

曲線的離心率公式計算可得答案.

【詳解】

r2v2I

根據(jù)題意，雙曲線1r—方=1（。>0,6>0）的漸近線方程為7=±：*,

又由該雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0,即

則有一=—9BPa=2b9

a2

貝！Ic=行行=取，

則該雙曲線的離心率e=±=叵=好；

a2b2

故答案為：逝.

2

【點睛】

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是分析“、5之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

16.1080

【解析】

按照先分組，再分配的分式,先將六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人有種，再分別

A；-A；

奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有A：種，然后用分步計數(shù)原理求解.

【詳解】

將六人分成四組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人有=45種,

6?凡

再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有用=24種，

則不同的分配方案有45x24=1080種.

故答案為：1080

【點睛】

本題主要考查分組分配問題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)(-5,1)；(2)—

【解析】

(1)利用零點分段討論法可求不等式的解.

(2)利用柯西不等式可求02+6+。2的最小值.

【詳解】

2x+4,x>-l

(1)=<2,-3<x<-l,

—2x—4,xW—3

x>-l—3<xv—1x?—3

由〃x)<6得，c4v或'.,或,

2x+4<62<6-2x-4<6'

解得xe(-5,1).

(2)f(a)+f(b)+c=(2a+4)+(2b+4)+c=10,

所以2a+2Z?+c=2,

由柯西不等式(a：+a；+a；)伍;+b^>(q仿+a2b2+ajb^得：

(a2+b2+e2)(22+22+l2)>(2?+2Z;+c)2

所以9(a2+o2+c2)2(2a+2b+c)2=4,

44

即/+〃+C2N—(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2c=—時取“=”).

99

4

所以的最小值為,.

【點睛】

本題考查絕對值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對值不等式的基本方法有零點分段討論法、圖象法、平

方法等，利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇，利用平方去掉絕對值符號時注意代數(shù)式的正負(fù)，而利用圖象

法求解時注意圖象的正確刻畫.利用柯西不等式求最值時注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式，本題屬于中檔題.

18.(I)b=#)(H)

18

【解析】

(I)根據(jù)正弦定理先求得邊c,然后由余弦定理可求得邊加

(ED結(jié)合二倍角公式及和差公式，即可求得本題答案.

【詳解】

(I)因為)sinA=3csinB,

由正弦定理可得，ab=3bc,

又a=3,所以c=l,

所以根據(jù)余弦定理得，2=9上1二弦,

36

解得，b—;

(H)因為COSB=2,所以sinB=@,

33

COS2B=2COS2B-1=-^,sin2B=2sinBcosB=—,

99

f兀、g1.”8/1、1464x/5-V3

貝！jcos(2B——)=——cos23+—sin22=——x(一—)+—x-----=-------------.

622292918

【點睛】

本題主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，屬基礎(chǔ)題.

19.(1)見解析；(2)昱

3

【解析】

(1)要證明產(chǎn)仁1_面41也，由已知可得4O_LPC,只需滿足詼.定=0即可，從而得到點E為中點；(2)求出面AOE

的法向量，面R1E的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角P-AE-O的余弦值.

【詳解】

(1)法一：要證明PCJL面ADE,易知人口_1_面「口(：，即得AD_LPC,故只需力后.尹C=0即可，

所以由(而+屜)?斤=0=而?元+而?后=0=|庵|=1,即存在點E為PC中點.

法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-XYZ,由題意知PD=CD=L

CE=立,設(shè)隹=2冏，：.PE=APB=A(y[2,\,-\),PC=(O,l,-l),由

PCD￡1=PC-(DP+PE)=(0,l,-l)(V2A,2,l-2)=0,得4=

即存在點E為PC中點.

（近11）

（2）由⑴知0（0,0,0）,A（V2,0,0）,E—,P（0,0,l）

、222,

DA=（x/2,0,0）,DE=,PN=（"0,-1）,PE=當(dāng),;，一;

\J\

設(shè)面ADE的法向量為1=（西,加4）,面PAE的法向量為區(qū)=（X2，%Z2）

及X[=0

n.DA^Q

由的法向量為2_得，《缶+1+9=。麗=(°」T,

n,DE=0

同理求得后=(1，0，血)

n}-n}_百

所以COS。

同宿|3

故所求二面角P-AE-D的余弦值為無.

3

【點睛】

本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力.

20.(1)/(x)在區(qū)間(0,+a)單調(diào)遞增；⑵xQ=\,a=\i(3)證明見解析.

【解析】

⑴求出尸(x),在定義域內(nèi)，再次求導(dǎo)，可得在區(qū)間(0,+力)上/'(X)之()恒成立，從而可得結(jié)論；⑵由g'(x)=0,

可得片一2所111/一。=0,由g(x0)=2可得片—/(inx。)？一2%+a=0,聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；(3)由(1)知

/.(%)=%2—2月11彳在區(qū)間(0,+紇)單調(diào)遞增，可證明五一一%>lnx,取8=竺土LA6N*,可得

y1X2k—1

J2k+1_yl2k-]_>k+k_而博?一償三二-^二，利用裂項相消法，結(jié)合放縮法可得

721、2k-l\2k+l

結(jié)果.

【詳解】

(1)由己知可得函數(shù)/(x)的定義域為(0,+“)，且/'(x)=2x-21n尤-2,

令〃(x)=/'(x),則有/z'(x)=2("1),由"(x)=0,可得x=l,

X

可知當(dāng)X變化時，”(x),〃(x)的變化情況如下表：

X(0,1)1(1,+8)

“(X)-0+

人(力極小值/

???〃(%)N砌=0,EP/'(x)>0,可得/(x)在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增；

(2)由已知可得函數(shù)g(x)的定義域為(0,+力)，且g(x)=l-點一平,

由已知得g'(x)=0,即其一2xolnxo-a=。，①

由g(玉))=2可得，xj—蒞(inx。)-2x0+a=0,②

聯(lián)立①②，消去a,可得2%一(111%)2-2111%0-2=0,③

令t(x)=2x-(lnx)2-21nx-2,貝！J/(x)=2---------=-----------,

xxx

由(1)知，x-lnx-l>0,故f'(x"0,.”(%)在區(qū)間(0,+e)單調(diào)遞增,

注意到［1)=0,所以方程③有唯一解毛=1,代入①，可得a=l,

=1,6Z=1?

(3)證明：由⑴知/(x)=f-2xlnx在區(qū)間((),+8)單調(diào)遞增，

故當(dāng)X€(1,4W)時，/(%)>/(1)=1,g'(x)=El理二1=與二l〉o,

XX

可得g(x)在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞增,

、2

因此，當(dāng)X>1時，g(x)>g(l)=2,即x+g-(lnx)2>2,亦即1

>(Inx)2,

\[x

7

這時—y=>0,Inx>0,故可得—^=->Inx,取x=,一「N",

yjx2k—1

[2k+ll2k-l_2

—r/J=.2k+1y2,k~11/c7i,.、

可得J--------1>ln(2k+l)-ln(2左一1),而“21—、2/+廣42-i

\2k-lyj2k+l

nnfj

故Z/