課程數(shù)值分析第1章緒論

任課教師：楊超電子郵箱:計算方法與程序設計2第1章緒論計算方法的主要內(nèi)容誤差的基本概念構(gòu)造算法和編程設計中應注意的問題主要內(nèi)容：3第1章第1節(jié)

計算方法的主要內(nèi)容本課程只介紹常用數(shù)學模型的最基本的計算方法（數(shù)值分析、數(shù)值計算方法）。計算方法是研究并解決數(shù)學問題近似解的方法。計算方法的重要性，使得科學計算與科學理論和科學實驗并列成為當今世界科學活動的第三種手段。實際問題物理模型數(shù)學模型計算方法計算機求結(jié)果4第1章第1節(jié)

計算方法的主要內(nèi)容求解線性方程組：AX=B函數(shù)插值和數(shù)據(jù)擬合非線性方程和非線性方程組求根x-cos(x)=0數(shù)值積分矩陣特征值問題常微分方程初值問題的數(shù)值解法偏微分方程初值問題的數(shù)值解法最優(yōu)化方法5第1章第1節(jié)

計算方法的主要內(nèi)容學習計算方法聯(lián)系編程實踐非常重要：根據(jù)數(shù)學模型，提出合適的算法，編寫出計算機程序，調(diào)試、運行，得到所需結(jié)果。算法：由基本運算和運算順序的規(guī)定所組成的整個解題方案和步驟。建立和選擇合適的算法是整個數(shù)值計算中非常重要的一環(huán)。6第1章第1節(jié)

計算方法的主要內(nèi)容算法的優(yōu)劣直接影響到計算的速度和效率，還影響計算精度（或計算誤差），甚至直接影響計算的成敗。好的算法：穩(wěn)定性好、精度高、速度快、效率高、內(nèi)存占用小。不良的算法會導致計算的徹底失??！計算下式的值7第1章第1節(jié)

計算方法的主要內(nèi)容取試試看。8第1章第1節(jié)

計算方法的主要內(nèi)容近似值和算法的選擇對計算結(jié)果的精度影響很大?！`差問題在研究算法的同時，必須正確掌握誤差的基本概念、誤差在數(shù)值計算中的傳播規(guī)律、誤差分析和算法的穩(wěn)定性等。9第1章第2節(jié)

誤差的基本概念2.1誤差的來源（1）模型誤差：模型只是對實際問題的近似（2）初值誤差（觀測誤差）（3）截斷誤差（4）舍入誤差：四舍五入、只舍不入（5）過失誤差10第1章第2節(jié)

誤差的基本概念2.2絕對誤差和相對誤差

絕對誤差：=真值-近似值。

絕對誤差限：

越小，表明近似值x*越接近真值。

相對誤差：絕對誤差/真值

相對誤差限：11第1章第2節(jié)

誤差的基本概念2.3算術(shù)運算的相對誤差（1）乘法和除法的情況12第1章第2節(jié)

誤差的基本概念（2）加法和減法的情況13第1章第2節(jié)

誤差的基本概念（2）加法和減法的情況14第1章第2節(jié)

誤差的基本概念（3）有效數(shù)字若近似值x*的誤差限不超過某一位的半個單位，該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱x*有n位有效數(shù)字。

5位有效數(shù)字

10位有效數(shù)字a1取1~9,a2,a3,…,an取0~9。有效位數(shù)越大，絕對誤差限、相對誤差限越小。15第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設計中應注意的問題

衡量算法的標準一般有算法的穩(wěn)定性、運算復雜性、數(shù)值結(jié)果的精度等。每一步計算都可能產(chǎn)生誤差，如何控制誤差的傳播呢？（1）簡化計算步驟，減少運算次數(shù)16第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設計中應注意的問題（2）避免相接近的兩個數(shù)相減相接近的兩個數(shù)相減時，若計算機對它們截斷后再計算，可能帶來很大誤差——相減抵消。

解決辦法：改變計算公式；增加有效數(shù)字位數(shù)。17第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設計中應注意的問題（3）防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)參加計算的兩個數(shù)數(shù)量級相差很大，而計算機位數(shù)有限，如果不注意運算次序就可能發(fā)生大數(shù)吃掉小數(shù)的現(xiàn)象，影響計算結(jié)果。

解決辦法：先計算小數(shù)，再與大數(shù)計算。（4）避免用絕對值過小的數(shù)作除數(shù)18第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設計中應注意的問題（5）應注意控制誤差的積累使用遞推公式計算時，遞推的過程可能造成誤差的積累。19第1章第3節(jié)

構(gòu)造算法和編程設計中應注意的問題解決辦法：避免采用小數(shù)與大數(shù)相乘的遞推公式。一種算法的計算結(jié)果受舍入誤差的影響越小，則該算法越穩(wěn)定。整數(shù)在計算機里的表示是準確的，浮點數(shù)在計算機里的表示是有誤差的。