（精品講義）1.4生活中的優(yōu)化問題舉例-DOC

18/1817/18/eq\a\vs4\al(生活中的優(yōu)化問題舉例)幾何中的最值問題[典例]有一塊邊長為a的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器．為使其容積最大，截下的小正方形邊長應(yīng)為多少？[解]設(shè)截下的小正方形邊長為x，容器容積為V(x)，則做成的長方體形無蓋容器底面邊長為a－2x，高為x，V(x)＝(a－2x)2x,0<x<eq\f(a,2).即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<eq\f(a,2).實際問題歸結(jié)為求V(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上的最大值點．為此，先求V(x)的極值點．在開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝eq\f(1,6)a，x2＝eq\f(1,2)a(舍去)．x1＝eq\f(1,6)a在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，x1可能是極值點．且當0<x<x1時，V′(x)>0；當x1<x<eq\f(a,2)時，V′(x)<0.因此x1是極大值點，且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，x1是唯一的極值點，所以x＝eq\f(1,6)a是V(x)的最大值點．即當截下的小正方形邊長為eq\f(1,6)a時，容積最大．1．利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，找出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點的函數(shù)值大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)把所得數(shù)學結(jié)論回歸到數(shù)學問題中，看是否符合實際情況并下結(jié)論．2．幾何中最值問題的求解思路面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實際幾何問題，求解時先設(shè)出恰當?shù)淖兞?，將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗．[活學活用]1．已知圓柱的表面積為定值S，當圓柱的容積V最大時，圓柱的高h的值為________．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則S圓柱底＝2πr2，S圓柱側(cè)＝2πrh，∴圓柱的表面積S＝2πr2＋2πrh.∴h＝eq\f(S－2πr2,2πr)，又圓柱的體積V＝πr2h＝eq\f(r,2)(S－2πr2)＝eq\f(rS－2πr3,2)，V′(r)＝eq\f(S－6πr2,2)，令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因為V′(r)只有一個極值點，故當h＝2r時圓柱的容積量大．又r＝eq\r(\f(S,6π))，∴h＝2eq\r(\f(S,6π))＝eq\f(\r(6πS),3π).即當圓柱的容積V最大時，圓柱的高h為eq\f(\r(6πS),3π).答案：eq\f(\r(6πS),3π)2．將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問如何截可使正方形與圓面積之和最??？解：設(shè)彎成圓的一段長為x(0＜x＜100)，另一段長為100－x，記正方形與圓的面積之和為S，則S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2π)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－x,4)))2(0＜x＜100)，則S′＝eq\f(x,2π)－eq\f(1,8)(100－x)．令S′＝0，則x＝eq\f(100π,π＋4).由于在(0,100)內(nèi)函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為零的點，問題中面積之和最小值顯然存在，故當x＝eq\f(100π,π＋4)cm時，面積之和最小．故當截得彎成圓的一段長為eq\f(100π,π＋4)cm時，兩種圖形面積之和最小．用料、費用最少問題[典例]某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋eq\r(x))x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？[解](1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.當0<x<64時，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當64<x<640時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝64處取得最小值．此時n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9個橋墩才能使y最?。M用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達式，準確求導(dǎo)，結(jié)合實際做答．[活學活用]某工廠要圍建一個面積為128m2的矩形堆料場，一邊可以用原有的墻壁，其它三邊要砌新的墻壁，要使砌墻所用的材料最省，則堆料場的長、寬應(yīng)分別是多少？解：設(shè)場地寬為xm，則長為eq\f(128,x)m，因此新墻總長度為y＝2x＋eq\f(128,x)(x＞0)，y′＝2－eq\f(128,x2)，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.因為當0＜x＜8時，y′＜0；當x＞8時，y′＞0，所以當x＝8時，y取最小值，此時寬為8m，長為16m.即當堆料場的長為16m，寬為8m時，可使砌墻所用材料最省.利潤最大問題[典例]某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．[解](1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10?x－6?2))＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3＜x＜6.從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增↗極大值42單調(diào)遞減↘由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點．所以當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．1．經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢，以產(chǎn)量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動．2．關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系(1)利潤＝收入－成本．(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)．[活學活用]工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p與日產(chǎn)量x(萬件)間的關(guān)系為p＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,6－x)，0<x≤c，,\f(2,3)，x>c，))(c為常數(shù)，且0<c<6)．已知每生產(chǎn)1件合格產(chǎn)品盈利3元，每出現(xiàn)1件次品虧損1.5元．(1)將日盈利額y(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)；(2)為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬件？(注：次品率＝eq\f(次品數(shù),產(chǎn)品總數(shù))×100%)解：(1)當x>c時，p＝eq\f(2,3)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))·x·3－eq\f(2,3)·x·eq\f(3,2)＝0；當0<x≤c時，p＝eq\f(1,6－x)，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6－x)))·x·3－eq\f(1,6－x)·x·eq\f(3,2)＝eq\f(3?9x－2x2?,2?6－x?).∴日盈利額y(萬元)與日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3?9x－2x2?,2?6－x?)，0<x≤c，,0，x>c，))(c為常數(shù)，且0<c<6)．(2)由(1)知，當x>c時，日盈利額為0.當0<x≤c時，∵y＝eq\f(3?9x－2x2?,2?6－x?)，∴y′＝eq\f(3,2)·eq\f(?9－4x??6－x?＋9x－2x2,?6－x?2)＝eq\f(3?x－3??x－9?,?6－x?2)，令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)，∴①當0<c<3時，y′>0，∴y在區(qū)間(0，c]上單調(diào)遞增，∴y最大值＝f(c)＝eq\f(3?9c－2c2?,2?6－c?).②當3≤c<6時，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上，y′<0，∴y在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3，c)上單調(diào)遞減．∴y最大值＝f(3)＝eq\f(9,2).綜上，若0<c<3，則當日產(chǎn)量為c萬件時，日盈利額最大；若3≤c<6，則當日產(chǎn)量為3萬件時，日盈利額最大．層級一學業(yè)水平達標1．福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是()B.eq B.eq\f(20,3)C．－1 D．－8解析：選C瞬時變化率即為f′(x)＝x2－2x為二次函數(shù)，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1時，f′(x)min＝－1.2．把一段長為12cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()A.eq\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：選D設(shè)一段為x，則另一段為12－x(0＜x＜12)，則S(x)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2,9)－\f(8x,3)＋16))，∴S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3))).令S′(x)＝0，得x＝6，當x∈(0,6)時，S′(x)＜0，當x∈(6,12)時，S′(x)＞0，∴當x＝6時，S(x)最小．∴S＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,9)×62－\f(8,3)×6＋16))＝2eq\r(3)(cm2)．3．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2?0≤x≤400?，,80000?x>400?，))則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A．100 B．150C．200 D．300解析：選D由題意，總成本為：C＝20000＋100x，所以總利潤為P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400，))令P′＝0，當0≤x≤400時，得x＝300；當x>400時，P′<0恒成立，易知當x＝300時，總利潤最大．4．設(shè)正三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()A.eq\r(4V) B．2eq\r(3,V)C.eq\r(3,4V)D.eqD.q\f(1,2)V解析：選C設(shè)底面邊長為x，則高為h＝eq\f(4V,\r(3)x2)，∴S表＝3×eq\f(4V,\r(3)x2)×x＋2×eq\f(\r(3),4)x2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，∴S表′＝－eq\f(4\r(3)V,x2)＋eq\r(3)x，令S表′＝0，得x＝eq\r(3,4V).經(jīng)檢驗知，當x＝eq\r(3,4V)時，S表取得最小值．5．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()A．R B．2RC.eq\f(4,3)RD.eqD.q\f(3,4)R解析：選C設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.當0<h<eq\f(4R,3)時，V′>0；當eq\f(4R,3)<h<2R時，V′<0.因此當h＝eq\f(4,3)R時，圓錐體積最大．故應(yīng)選C.6．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為________萬元．解析：設(shè)甲地銷售x輛，則乙地銷售(15－x)輛．總利潤L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.∴當x＝10時，L有最大值45.6.答案：45.67．如圖，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是________．解析：設(shè)CD＝x，則點C坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點B坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\f(x2,4)))，∴矩形ABCD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2,\r(3))(舍)，x2＝eq\f(2,\r(3))，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,\r(3))))時，f′(x)＞0，f(x)是遞增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))，2))時，f′(x)＜0，f(x)是遞減的，當x＝eq\f(2,\r(3))時，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)8．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，又產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價為50元，總利潤最大時，產(chǎn)量應(yīng)定為__________件．解析：設(shè)產(chǎn)品單價為a元，又產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2x＝k，由題知a＝eq\f(500,\r(x)).總利潤y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)時，y′>0，x∈(25，＋∞)時，y′<0，所以x＝25時，y取最大值．答案：259．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．解：(1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,?3x＋5?2)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,?3x＋5?2)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當0<x<5時，f′(x)<0，當5<x<10時，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元．10．某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N*)．(1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關(guān)系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解：(1)由題意可知次品率p＝日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1－p)．因為次品率p＝eq\f(3x,4x＋32)，當每天生產(chǎn)x件時，有x·eq\f(3x,4x＋32)件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N*)．(2)T′＝－25·eq\f(?x＋32?·?x－16?,?x＋8?2)，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．當0<x≤16時，T′≥0；當x≥16時，T′≤0；所以當x＝16時，T最大．即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大日盈利．層級二應(yīng)試能力達標1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件解析：選Cy′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，當0＜x＜9時，y′＞0；當x＞9時，y′＜0.所以當x＝9時，y取得最大值．2．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側(cè)面積的最大值為()A．2πr2 B．πr2C．4πr2D.eqD.q\f(1,2)πr2解析：選A設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S＝2πr1t＝2πr12eq\r(r2－r\o\al(2,1))＝4πr1eq\r(r2－r\o\al(2,1)).∴S＝4πeq\r(r2r\o\al(2,1)－r\o\al(4,1)).令(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1))′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2)r.此時S＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)r))2)＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\f(\r(2),2)r＝2πr2.3．某商品一件的成本為30元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，要使利潤最大每件定價為()A．80元 B．85元C．90元 D．95元解析：選B設(shè)每件商品定價x元，依題意可得利潤為L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝eq\f(170,2)＝85.因為在(0,200)內(nèi)L只有一個極值，所以以每件85元出售時利潤最大．4．內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的寬和長分別為()A.eq\f(R,2)和eq\f(3,2)RB.eqB.q\f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)RC.eq\f(4,5)R和eq\f(7,5)R D．以上都不對解析：選B設(shè)矩形的寬為x，則長為2eq\r(R2－x2)，則l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0<x<R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x1＝eq\f(\r(5),5)R，x2＝－eq\f(\r(5),5)R(舍去)．當0<x<eq\f(\r(5),5)R時，l′>0，當eq\f(\r(5),5)R<x<R時，l′<0，所以當x＝eq\f(\r(5),5)R時，l取最大值，即周長最大的矩形的寬和長分別為eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.5．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸．解析：設(shè)該公司一年內(nèi)總共購買n次貨物，則n＝eq\f(400,x)，∴總運費與總存儲費之和f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x，令f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，x＝20是函數(shù)f(x)的最小值點，故當x＝20時，f(x)最?。鸢福?06.一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如圖所示)．當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為__________m時，帳篷的體積最大．解析：設(shè)OO1為xm，底面正六邊形的面積為Sm2，帳篷的體積為Vm3.則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為eq\r(32－?x－1?2)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，于是底面正六邊形的面積為S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．帳篷的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)＝eq\f(\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?x－1?＋3))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合題意，舍去)．當1＜x＜2時，V′＞0；當2＜x＜4時，V′＜0.所以當x＝2時，V最大．答案：27．某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費x百萬元，可增加的銷售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬元)．請設(shè)計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大．(收益＝銷售額－投入)解：(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴當t＝2時，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大．(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)，又設(shè)由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，則g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又當0≤x<2時，g′(x)>0；當2<x≤3時，g′(x)<0，∴當x＝2時，g(x)取得最大值，即將2百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．8．統(tǒng)計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)為y＝eq\f(1,)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x<120)．(1)當x＝64千米/小時時，行駛100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，則該型號汽車最多行駛多少千米？解：(1)當x＝64千米/小時時，要行駛100千米需要eq\f(100,64)＝eq\f(25,16)小時，要耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,)×643－\f(3,80)×64＋8))×eq\f(25,16)＝11.95(升)．(2)設(shè)22.5升油能使該型號汽車行駛a千米，由題意得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,)x3－\f(3,80)x＋8))×eq\f(a,x)＝22.5，∴a＝eq\f(22.5,\f(1,)x2＋\f(8,x)－\f(3,80))，設(shè)h(x)＝eq\f(1,)x2＋eq\f(8,x)－eq\f(3,80)，則當h(x)最小時，a取最大值，h′(x)＝eq\f(1,64000)x－eq\f(8,x2)＝eq\f(x3－803,64000x2)，令h′(x)＝0?x＝80，當x∈(0,80)時，h′(x)<0，當x∈(80,120)時，h′(x)>0，故當x∈(0,80)時，函數(shù)h(x)為減函數(shù)，當x∈(80,120)時，函數(shù)h(x)為增函數(shù)，∴當x＝80時，h(x)取得最小值，此時a取最大值為a＝eq\f(22.5,\f(1,)×802＋\f(8,80)－\f(3,80))＝200.故若油箱有22.5升油，則該型號汽車最多行駛200千米．(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．以正弦曲線y＝sinx上一點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))D.eqD.q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))解析：選Ay′＝cosx，∵cosx∈[－1,1]，∴切線的斜率范圍是[－1,1]，∴傾斜角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).2．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選A設(shè)極值點依次為x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，則f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上遞增，在(x1，x2)，(x3，b)上遞減，因此，x1，x3是極大值點，只有x2是極小值點．3．函數(shù)f(x)＝x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析：選A∵f′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－1,x)，當0＜x≤eq\f(\r(2),2)時，f′(x)≤0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).4．函數(shù)f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是()B.eqB.eq\f(1,2)C．0 D．－1解析：選Af′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，則x＝－eq\f(1,2)(舍去)或x＝eq\f(1,2)，f(0)＝0，f(1)＝－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值為1.5.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝a(x－b)2＋c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是()解析：選D由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當x<0時，函數(shù)f(x)遞減，排除A、B；當0<x<x1時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)遞增．因此，當x＝0時，f(x)取得極小值，故選D.6．定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)>eq\f(1,2)，則滿足2f(x)<x＋1的x的集合為()A．{x|－1<x<1} B．{x|x<1}C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x>1}解析：選B令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>eq\f(1,2)，∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)為單調(diào)增函數(shù)，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴當x<1時，g(x)<0，即2f(x)<x＋1，故選B.7．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y1＝17x2，生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x＞0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)()A．6千臺 B．7千臺C．8千臺 D．9千臺解析：選A設(shè)利潤為y，則y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函數(shù)，在(6，＋∞)上是減函數(shù)，∴x＝6時y取得最大值．8．已知定義在R上的函數(shù)f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a＜b，則一定有()A．a(chǎn)f(a)＜bf(b) B．a(chǎn)f(b)＜bf(a)C．a(chǎn)f(a)＞bf(b) D．a(chǎn)f(b)＞bf(a)解析：選C[x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0，∴函數(shù)x·f(x)是R上的減函數(shù)，∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)．二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．請把正確答案填在題中橫線上)9．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3處取得極值，則a＝________.解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.答案：510．若f(x)＝eq\f(1,3)x3－f′(1)x2＋x＋5，則f′(1)＝________，f′(2)＝________.解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝eq\f(2,3)，∴f′(2)＝22－2×eq\f(2,3)×2＋1＝eq\f(7,3).答案：eq\f(2,3)eq\f(7,3)11．函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的定義域為________，單調(diào)遞減區(qū)間為________．解析：由題意，x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，故函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的定義域為(－∞，－1)∪(2，＋∞)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1＜0，得x＜eq\f(1,2)，∴函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)(－∞，－1)12．函數(shù)y＝x3－6x＋a的極大值為________，極小值為________．解析：y′＝3x2－6＝3(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，令y′＞0，得x＞eq\r(2)或x＜－eq\r(2)，令y′＜0，得－eq\r(2)＜x＜eq\r(2)，∴當x＝－eq\r(2)時取得極大值a＋4eq\r(2)，當x＝eq\r(2)時取得極小值a－4eq\r(2).答案：a＋4eq\r(2)a－4eq\r(2)13．已知函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1處有極大值，在x＝3處有極小值，則a＝________，b＝________.解析：y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由根與系數(shù)的關(guān)系得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝－\f(2a,3)，,－3＝\f(b,3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－9.))答案：－3－914．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(π－x)，且當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時，f(x)＝x＋sinx，設(shè)a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系是________．解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因為f′(x)＝1＋cosx≥0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函數(shù)，∵eq\f(π,2)>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b.答案：c<a<b15．若函數(shù)f(x)＝eq\f(4x,x2＋1)在區(qū)間(m,2m＋1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是__________．解析：f′(x)＝eq\f(4－4x2,?x2＋1?2)，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，即函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(－1,1)．又f(x)在(m,2m＋1)上單調(diào)遞增，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－1，,m＜2m＋1，,2m＋1≤1.))解得－1＜m≤0.答案：(－1,0]三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值．(1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；(2)過點A(0,16)作曲線y＝f(x)的切線，求此切線方程．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b－3＝0，,3a－2b－3＝0，))解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，則f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．若x∈(－1,1)，則f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)．∴f(－1)＝2是極大值；f(1)＝－2是極小值．(2)曲線方程為y＝x3－3x.點A(0,16)不在曲線上．設(shè)切點為M(x0，y0)，則點M的坐標滿足y0＝xeq\o\al(3,0)－3x0.∵f′(x0)＝3(xeq\o\al(2,0)－1)，故切線的方程為y－y0＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(x－x0)．注意到點A(0,16)在切線上，有16－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝3(xeq\o\al(2,0)－1)(0－x0)．化簡得xeq\o\al(3,0)＝－8，解得x0＝－2.∴切點為M(－2，－2)，切線方程為9x－y＋16＝0.17.(本小題滿分15分)設(shè)函數(shù)f(x)＝xea－x＋bx，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)因為f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.依題設(shè)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?2?＝2e＋2，,f′?2?＝e－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ea－2＋2b＝2e＋2，,－ea－2＋b＝e－1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝e.))(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)與1－x＋ex－1同號．令g(x)＝1－x＋ex－1，則g′(x)＝－1＋ex－1.所以當x∈(－∞，1)時，g′(x)<0，g(x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增．故g(1)＝1是g(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的最小值，從而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．綜上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．18．(本小題滿分15分)某個體戶計劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為x(x≥0)萬元時，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投資額為零時收益為零．(1)求a，b的值；(2)如果該個體戶準備投入5萬元經(jīng)銷這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大利潤．解：(1)由投資額為零時收益為零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．設(shè)投入經(jīng)銷B商品的資金為x萬元(0＜x≤5)，則投入經(jīng)銷A商品的資金為(5－x)萬元，設(shè)所獲得的收益為S(x)萬元，則S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝eq\f(6,x＋1)－2，令S′(x)＝0，得x＝2.當0＜x＜2時，S′(x)＞0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞增；當2＜x≤5時，S′(x)＜0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞減．所以當x＝2時，函數(shù)S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6