三角形中的邊角關(guān)系命題與證明

單元測(cè)試(三)三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)每小題都給出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．題號(hào)12345678910答案DCADBCCBDA1．下列語(yǔ)句不是命題的是(D)A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．不平行的兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)C．同位角相等 D．如果x與y互為相反數(shù)，那么x與y的和等于0嗎？2．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是(C)A．2，2，7 B．4，12，16 C．3，5，6 D．2，3，53．如圖，虛線部分是小剛作的輔助線，則你認(rèn)為線段CD為(A)A．邊AB上的高 B．邊BC上的高C．邊AC上的高 D．不是△ABC的高第3題圖第7題圖4．為了證明命題“任何偶數(shù)都是8的整數(shù)倍”是假命題，下列各數(shù)中可以作為反例的是(D)A．32 B．16 C．8 D．45．三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為2∶2∶5，則此三角形為(B)A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形6．已知a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則(a－b)2－c2的值是(C)A．正數(shù) B．0 C．負(fù)數(shù) D．無(wú)法確定7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處．若∠A＝24°，則∠BDC等于(C)A．42° B．66° C．69° D．77°8．如圖，將直角三角尺的直角頂點(diǎn)靠在直尺上，且斜邊與這根直尺平行，那么在形成的這個(gè)圖中與∠α互余的角共有(B)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)第8題圖第9題圖第10題圖9．如圖，將一副三角板按圖中方式疊放，則∠α等于(D)A．30° B．45° C．60° D．75°10．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，則下列各式不能成立的是(A)A．∠5＝∠1＋∠4 B．∠2＝∠5－∠AC．∠BOC＝∠2＋∠6＋∠A D．∠1＝∠ABC＋∠4二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．如圖，圖中x＝54．第11題圖第13題圖第14題圖12．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和8，周長(zhǎng)是偶數(shù)，那么第三邊長(zhǎng)是7或9．13．如圖所示，在△ABC中，BC邊不動(dòng)，點(diǎn)A豎直向上運(yùn)動(dòng)，∠A越來(lái)越小，∠B，∠C越來(lái)越大．若∠A減少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，則α，β，γ三者之間的數(shù)量關(guān)系是α＝β＋γ.14．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，DC＝2BD，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，S△ABC＝15cm2，則S△ADE＝5cm2.三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．指出下列命題的條件與結(jié)論．(1)等角的余角相等；(2)一次函數(shù)的圖象是一條直線．解：(1)條件：兩個(gè)角分別是另外兩個(gè)相等的角的余角．結(jié)論：這兩個(gè)角相等．(2)條件：一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)．結(jié)論：它的圖象是一條直線．16．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|；若a＝5，b＝4，c＝3，求這個(gè)式子的值．解：∵a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0.∴原式＝－a＋b＋c－b＋a＋c－c＋a＋b＝a＋b＋c.當(dāng)a＝5，b＝4，c＝3時(shí)，原式＝5＋4＋3＝12.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，在△DBC中，BD⊥CD，BA平分∠DBC，∠BAC＝124°，求∠C的度數(shù)．解：在△ABD中，∠BAC＝∠D＋∠DBA.∵BD⊥CD，∴∠D＝90°.又∵∠BAC＝124°，∴∠DBA＝34°.∵BA平分∠DBC，∴∠DBC＝2∠DBA＝68°，∠C＝180°－(∠D＋∠DBC)＝22°.18．如圖，D，E，F(xiàn)和A，B，C分別在同一直線上，若∠1＝∠2，∠ACE＝∠FDB.求證：∠CAF＝∠DFA.證明：設(shè)AF與EC的交點(diǎn)為H，∵∠1＝∠2，∠1＝∠AHC，∴∠2＝∠AHC.∴DB∥EC.∴∠ACE＝∠ABD.又∵∠ACE＝∠FDB，∴∠ABD＝∠FDB.∴DF∥AC.∴∠CAF＝∠DFA.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．填寫(xiě)證明過(guò)程中的推理根據(jù)：如圖所示，已知：∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，F(xiàn)G⊥AB.求證：CD⊥AB.證明：∵FG⊥AB，∴∠5＝90°.(垂直定義)∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC.(同位角相等，兩直線平行)∴∠1＝∠3.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)又∵∠1＝∠2，(已知)∴∠2＝∠3.(等量代換)∴GF∥CD.(同位角相等，兩直線平行)∴∠4＝∠5＝90°.(兩直線平行，同位角相等)∴CD⊥AB.(垂直定義)20．(1)三角形內(nèi)角和等于180°；(2)請(qǐng)證明以上命題．解：已知：如圖，△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.證明：過(guò)點(diǎn)A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠EAB＋∠BAC＋∠FAC＝180°，(平角定義)∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.(方法不唯一)六、(本題滿分12分)21．如圖，D，E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.證明：雙向延長(zhǎng)DE分別交AB，AC于點(diǎn)F，G.在△AFG中，AF＋AG＞FG，即AF＋AG＞DF＋DE＋EG；在△BDF中，BF＞BD－DF，同理CG＞CE－EG.故AF＋AG＋BF＋CG＞BD＋DE＋CE，即AB＋AC＞BD＋DE＋CE.七、(本題滿分12分)22．認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)、外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問(wèn)題．探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A，理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB.∴∠1＋∠2＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)．又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠1＋∠2＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq\f(1,2)∠A.∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－(90°－eq\f(1,2)∠A)＝90°＋eq\f(1,2)∠A.探究2：如圖2，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．探究3：如圖3，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？(只寫(xiě)結(jié)論，不需證明)結(jié)論：∠BOC＝90°－eq\f(1,2)∠A．解：∠BOC＝eq\f(1,2)∠A.理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的平分線，∴∠OBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠OCD＝eq\f(1,2)∠ACD.又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD＝∠A＋∠ABC.∴∠OCD＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)＝eq\f(1,2)∠A＋∠OBC.∵∠OCD是△BOC的一外角，∴∠BOC＝∠OCD－∠OBC＝eq\f(1,2)∠A＋∠OBC－∠OBC＝eq\f(1,2)∠A.八、(本題滿分14分)23．如圖1，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AD，CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”，試解答下列問(wèn)題：(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；(2)在圖2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD，AB分別相交于M，N，利用(1)的結(jié)論，試求∠P的度數(shù)；(3)如果圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠D，∠B之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．解：(2)∵∠D＝40°，∠B＝36°，∴∠OAD＋40°＝∠OCB＋36°.∴∠OCB－∠OAD＝4°.∵AP，CP分別是∠DAB和∠BCD的平分線，∴∠BAM＝eq\f(1,2)∠OAD，∠PCB＝eq\f(1,2)∠OCB.又∵∠BAM＋∠P＝∠PCB＋∠B，∴∠P＝∠PCB＋∠B－∠BAM＝eq\f(1,2)(∠OCB－∠OAD)＋∠B＝eq\f(1,2)×4°＋36°＝38°.(3)2∠P＝∠B