2023屆廣東省惠州市高三下學(xué)期第三次調(diào)研數(shù)學(xué)試題（WORD版）

16/1717/17/惠州市2023屆高三第三次調(diào)研考試試題數(shù)學(xué)全卷滿分150分，時間120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上。2．作答單項及多項選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效。3．非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分。1．已知集合，，且，則實數(shù)（）A．B．1C．或1D．02．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，、是方程的兩個根，則的前2022項和為（）A．1011B．2022C．4044D．80883．“”是“方程表示雙曲線”的（）條件A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知實數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．B．C．D．5．已知互不重合的三個平面α、β、γ，其中，，，且，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．b與c是異面直線B．a(chǎn)與c沒有公共點C．D．6．若函數(shù)（且）在上為減函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是（）A．B．C．D．7．在“2，3，5，7，11，13”這6個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，這兩數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是（）A．B．C．D．8．已知，且恒成立，則的最小值為（）A．1B．C．D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。9．已知復(fù)數(shù)，則下列選項正確的是（）A．z的虛部為1B．C．為純虛數(shù)D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限10．在全市高三年級舉行的一次數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)測試中，共有20000人參加考試。為了了解本次考試學(xué)生成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計，樣本容量為n．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，其中成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16．則下列結(jié)論正確的是（）A．樣本容量B．頻率分布直方圖中C．估計該市全體學(xué)生成績的平均分約為70.6分D．該市要對成績由高到低前20%的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號，則成績?yōu)?8分的學(xué)生肯定能得到此稱號11．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．存在，使得函數(shù)為奇函數(shù)C．任意，D．函數(shù)有且僅有2個零點12．畫法幾何的創(chuàng)始人—法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：若橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點，點A在橢圓上，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線l與蒙日圓相切B．橢圓C的蒙日圓的方程為C．記點A到直線l的距離為d，則的最小值為D．若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH的面積的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一個空2分，第二個空3分。13．已知平面向量，，若與垂直，則實數(shù)__________．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的終邊經(jīng)過點，則__________．15．在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為__________．16．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率為．則曲線在處的曲率為__________；正弦曲線曲率的平方的最大值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）數(shù)列中，，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前n項和．18．（本小題滿分12分）條件①，條件②，條件③．請從上述三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下列問題中，并解答．已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且滿足________，（1）求A；（2）若AD是的角平分線，且，求的最小值．（注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點．（1）證明：平面平面PBC；（2）若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點P到平面AEF的距離．20．（本小題滿分12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山，為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得，，．（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)，．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．22．（本小題滿分12分）已知橢圓的右焦點為F，點在橢圓上且．（1）求橢圓C的方程；（2）點P、Q分別在橢圓C和直線上，，M為AP的中點，若T為直線OM與直線QF的交點．是否存在一個確定的曲線，使得T始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請說明理由．惠州市2023屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題參考答案與評分細(xì)則一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分。題號12345678答案ACBADCAD二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。題號9101112答案ACBCABCAC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一個空2分，第二空3分。13．2；14．1；15．；16．（2分），1（3分）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分，其中第一小問4分，第二小問6分）【解析】（1）因為，所以，且1分得2分又3分所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列4分【注：無首項和公比的說明，本得分點不得分】（2）由（1）可知，1分所以2分又由題知所以3分5分【注：等差等比求和公式各1分】∴6分18．（本小題滿分12分，其中第一小問6分，第二小問6分）【解析】（1）選②因為，由正弦定理所以1分即，2分由余弦定理3分4分因為，5分【注：無此步驟，本得分點不得分】所以6分選③因為，正弦定理且所以，1分即3分而，∴，cos≠0，．分【注：無此步驟，本得分點不得分】所以5分因為，所以，即6分選①因為，由正弦定理所以，1分即，2分所以，3分而，∴，4分故，5分因為，所以6分【備注：從3個條件的思維量及計算步驟數(shù)綜合分析，從易到難排序為②<③<①】（2）【解法一】如圖，過D分別作，由題意可知和都是邊長為1的正三角形．1分由得2分所以，即同理，，所以由得，即3分因此4分，5分當(dāng)且僅當(dāng)時取等號6分【注：無此步驟，本得分點不得分】所以的最小值為．【解法二】由題意可知，，1分由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，2分【注：面積公式正確可得1分】化簡得，即，3分因此4分，5分當(dāng)且僅當(dāng)時取等號6分【注：無此步驟，本得分點不得分】所以的最小值為．19．（本小題滿分12分，其中第一小問6分，第二小問6分）【解析】（1）【解法一】因為底面ABCD，平面ABCD，所以．1分因為ABCD為正方形，所以，又因為，平面PAB，平面PAB【見注1】所以平面PAB．2分因為平面PAB，所以．3分因為，E為線段PB的中點，所以，4分又因為，平面PBC，平面PBC【見注1】所以平面PBC．5分又因為平面AEF，所以平面平面PBC．6分【注1：證明線面垂直過程中，無寫出三個輔助條件，扣1分】【解法二】因為底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD1分又平面底面，，平面ABCD，【見注1】所以平面PAB．2分因為平面PAB，所以．3分因為，E為線段PB的中點，所以．4分因為，平面PBC，平面PBC【見注1】所以平面PBC5分又因為平面AEF，所以平面平面PBC6分【解法三】因為底面ABCD，，以A為坐標(biāo)原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，1分則，設(shè)，則所以，，，2分設(shè)為平面AEF的法向量，則所以取，則，，則3分設(shè)為平面PBC的法向量，則所以取，則，，則4分因為，所以5分所以平面平面PBC6分（2）【解法一】（基于（1）解法一、二）因為底面ABCD，，以A為坐標(biāo)原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，1分則，易知是平面PAB的法向量2分設(shè)，則，所以，，所以即，，得，所以，3分設(shè)為平面AEF的法向量，則所以平面AEF的法向量，4分又因為所以點P到平面AEF的距離為，5分所以點P到平面AEF的距離為．6分由（1）可知，是直線AF與平面PAB所成的角，所以1分解得，故F是BC的中點．2分所以，，的面積為3分因為，的面積為4分設(shè)點P到平面AEF的距離為h，則有5分解得所以點P到平面AEF的距離為．6分【解法三】（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量1分所以，即，解得2分所以，4分又因為所以點P到平面AEF的距離為，5分所以點P到平面AEF的距離為．6分20．（本小題滿分12分，其中第一小問3分，第二小問5分，第三小問4分）【解析】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值1分樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值2分據(jù)此可估計：該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為3分【注：最終結(jié)果無單位扣1分】（2）1分2分3分4分則5分【備注：運(yùn)用參考公式計算過程可通過下面的列表進(jìn)行分步】：12345678910合計平均值0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.060.250.40.220.540.510.340.360.460.420.43.90.3900.020.020.010.0100.010.150.120.070.030.010.002800.00340.0030.00240.00050.00030.00070.000300.0134分子0.000400.00040.00040.00040.00010.00010.00010.000100.0020.01960.00010.02890.02250.01440.00250.00090.00490.00090.00010.09480.0001896分母的平方【備注：運(yùn)用變形公式計算過程可通過下面的列表進(jìn)行分步】：12345678910合計平均值0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.60.030.250.40.220.540.510.340.360.460.420.43.90.390.010.0240.00880.04320.04080.0170.0180.03220.02940.0240.2474部分分子0.00160.00360.00160.00640.00640.00250.00250.00490.00490.00360.038部分分母0.06250.160.04840.29160.26010.11560.12960.21160.17640.161.6158部分分母（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為1分又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得2分解得3分則估計該林區(qū)這種樹木的總材積量為4分21．（本小題滿分12分，其中第一小問4分，第二小問8分）【解析】（1）函數(shù)的定義域是1分當(dāng)時，2分令得，所以函數(shù)在上單遞遞增；3分令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．4分所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞區(qū)間為．（2）【解法一】恒成立等價于恒成立，1分令，因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，2分所以恒成立，等價于恒成立令，問題等價于恒成立3分①若時，恒成立，滿足題意；4分②若時，則，所以，不滿足題意；5分③若時，因為，令，得，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，6分要使得，恒成立，只需，解得7分綜上：8分【解法二】恒成立，等價于，1分令