2023屆河南省開封市高三第一次模擬考試理科數(shù)學(xué)試題

18/1817/18/開封市2023屆高三年級第一次模擬考試理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.設(shè)命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，3.若是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)可以是（）A. B. C. D.4.已知中，為邊上一點，且，則（）A. B. C. D.5.已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.6.如圖為甲，乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測試中成績莖葉圖，已知兩位同學(xué)的平均成績相等，則甲同學(xué)成績的方差為（）A.4 B.2 C. D.7.已知則x＋2y的最大值為（）A.2 B.3 C.5 D.68.設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.9.已知數(shù)列的前項和，若，則（）A.8 B.16 C.32 D.6410.已知點到點和點的距離之和為4，則（）A.有最大值1 B.有最大值4 C.有最小值1 D.有最小值11.如圖，在正方體中，點M，N分別是，的中點，則下述結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①∥平面；②平面平面；③直線與所成的角為；④直線與平面所成的角為．A.1 B.2 C.3 D.412.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動點定理的基石．簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．若函數(shù)為“不動點”函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)的一個零點為，則______．14.已知點，，為軸上一點，若，則______．15.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部（最細處）的直徑為______cm．16.在數(shù)列中，，．記是數(shù)列的前項和，則______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求．18.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為．（1）求值；（2）記“星隊”在兩輪活動中猜對成語的總數(shù)為，求的分布列與期望．19.如圖，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分別是，的中點，．（1）證明：平面；（2）求二面角余弦值．20.已知函數(shù)，．（1）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，求在上的最小值；（3）證明：．21.如圖1所示是一種作圖工具，在十字形滑槽上各有一個活動滑標(biāo)M，N，有一根旋桿將兩個滑標(biāo)連成一體，，D為旋桿上的一點且在M，N兩點之間，且．當(dāng)滑標(biāo)在滑槽內(nèi)做往復(fù)運動，滑標(biāo)在滑槽內(nèi)隨之運動時，將筆尖放置于處進行作圖，當(dāng)和時分別得到曲線和．如圖2所示，設(shè)與交于點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線和的方程；（2）已知直線與曲線相切，且與曲線交于A，B兩點，記的面積為，證明：．（二）選考題：共10分．請考生在22~23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為曲線上一點的坐標(biāo)．（1）將曲線參數(shù)方程化為普通方程；（2）過點任意作兩條相互垂直的射線分別與曲線交于點A，B，以直線的斜率為參數(shù)，求線段的中點的軌跡的參數(shù)方程，并化為普通方程．［選修4—5：不等式選講]（10分）23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若，時，對任意使得不等式恒成立，證明：．開封市2023屆高三年級第一次模擬考試理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C2.設(shè)命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D3.若是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)可以是（）A. B. C. D.【答案】D4.已知中，為邊上一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】A5.已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B6.如圖為甲，乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測試中成績的莖葉圖，已知兩位同學(xué)的平均成績相等，則甲同學(xué)成績的方差為（）A.4 B.2 C. D.【答案】B7.已知則x＋2y的最大值為（）A.2 B.3 C.5 D.6【答案】C8.設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D9.已知數(shù)列的前項和，若，則（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C10.已知點到點和點的距離之和為4，則（）A.有最大值1 B.有最大值4 C.有最小值1 D.有最小值【答案】A11.如圖，在正方體中，點M，N分別是，的中點，則下述結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①∥平面；②平面平面；③直線與所成的角為；④直線與平面所成的角為．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C12.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并且是構(gòu)成一般不動點定理的基石．簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)．若函數(shù)為“不動點”函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)的一個零點為，則______．【答案】14.已知點，，為軸上一點，若，則______．【答案】515.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部（最細處）的直徑為______cm．【答案】16.在數(shù)列中，，．記是數(shù)列的前項和，則______．【答案】三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和的關(guān)系將代換，再由正弦定理將邊化角，求得角A，B的關(guān)系，解出的值；（2）由第一問求得的的值，根據(jù)余弦定理公式展開列方程求解即可.【小問1詳解】因為，所以，得，因為，由正弦定理，可得，又，所以，又因為A，B均為三角形內(nèi)角，所以，即，又因為，即，即，又，得；【小問2詳解】若，則，由（1）知，由余弦定理可得，即，所以或，當(dāng)時，，則，即為等腰直角三角形，又因為，此時不滿足題意，所以．18.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為．（1）求的值；（2）記“星隊”在兩輪活動中猜對成語總數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式，列式求解（2）猜對謎語的總數(shù)為0，,1，2，3，4，結(jié)合獨立事件概率乘法公式，列舉出這四種情況下的概率，即可列表求解.【小問1詳解】“星隊”在第一輪活動中猜對1個成語的概率為，所以，解得．【小問2詳解】設(shè)表示事件“甲在兩輪中猜對個成語”，表示事件“乙在兩輪中猜對個成語”，根據(jù)獨立性假定，得，，，，，，的可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234．19.如圖，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分別是，的中點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，證明平面平面，原題即得證；（2）取的中點，連接，．求出，取的中點，連接，以為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示．利用向量法求解.【小問1詳解】解：取的中點，連接，，∵M，N分別是，的中點，∴，，又∵平面ABC，平面ABC，∴平面．又，∴，同理可得，平面．∵平面MND，平面MND，，∴平面平面．∵平面MND，∴平面．【小問2詳解】取的中點，連接，．由已知得，∴是平行四邊形，∴．∵是正三角形，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴．設(shè)，．在Rt中，由，解得，即，取的中點，連接，則，以為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示．則，，，，，，由已知易得，平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則即取，則平面的一個法向量為∴，∵二面角為銳角，∴二面角的余弦值為．20.已知函數(shù)，．（1）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，求在上的最小值；（3）證明：．【答案】（1）（2）0（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法得單調(diào)遞增等價于的恒成立問題；（2）由導(dǎo)數(shù)法求最值即可；（3）由（2）可得在上恒成立，由導(dǎo)數(shù)法證恒大于0，則，令，，，…，不等式左右累加即可證.【小問1詳解】由已知可得：，即恒成立，又則有．【小問2詳解】由已知可得：，，令，在上單調(diào)遞減，又因為，，，所以存在使得，則有正負遞增遞減又有，，所以在上，則在上單調(diào)遞增，所以最小值為．【小問3詳解】由（2）可得在上恒成立，令，在上，所以單調(diào)遞增且，所以，，從而當(dāng)時，令，，，…，得到，，，…，，相加得：．21.如圖1所示是一種作圖工具，在十字形滑槽上各有一個活動滑標(biāo)M，N，有一根旋桿將兩個滑標(biāo)連成一體，，D為旋桿上的一點且在M，N兩點之間，且．當(dāng)滑標(biāo)在滑槽內(nèi)做往復(fù)運動，滑標(biāo)在滑槽內(nèi)隨之運動時，將筆尖放置于處進行作圖，當(dāng)和時分別得到曲線和．如圖2所示，設(shè)與交于點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線和的方程；（2）已知直線與曲線相切，且與曲線交于A，B兩點，記的面積為，證明：．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，設(shè)，，，利用向量等式關(guān)系確定坐標(biāo)轉(zhuǎn)化關(guān)系，由，即得，按照坐標(biāo)代換可得所滿足的方程，最后取和，即可得曲線和的方程；（2）根據(jù)直線與曲線相切，且與曲線交于A，B兩點，討論直線的方程情況，按照面積公式分別求證即可.【小問1詳解】解：由題意，，設(shè)，，，所以，，，由解得又因為，所以，則，將和分別代入，得，，【小問2詳解】解：①直線斜率不存在時，，代入方程得，所以；②直線斜率存在時，設(shè)，與曲線相切，所以，即，聯(lián)立可得，由得，所以，于是得，，因為所以，，綜合①②可證，．（二）選考題：共10分．請考生在22~23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為曲線上一點的坐標(biāo)．（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；（2）過點任意作兩條相互垂直的射線分別與曲線交于點A，B，以直線的斜率為參數(shù)，求線段的中點的軌跡的參數(shù)方程，并化為普通方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)求解；（2）設(shè)的斜率為，方程為，則的方程為：，分別與拋物線方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)求解.【小問1詳解】解：因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得：，將點代入可得，所以曲線的普通方程為：；【小問2詳解】由