幾何圖形的線對(duì)稱

TKU94B余婷筠

圖形變換數(shù)學(xué)教材教法大綱壹、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)一、圖形變換定義二、全等變換三、全等變換特殊類型：對(duì)稱（一）線對(duì)稱（二）點(diǎn)對(duì)稱四、相像變換貳、認(rèn)知結(jié)構(gòu)參、教學(xué)策略肆、綱要結(jié)構(gòu)一、幾何主題實(shí)力指標(biāo)二、分年細(xì)目詮釋伍、評(píng)量範(fàn)例壹、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)一、圖形變換定義所謂的圖形變換，就是指平面上全部的點(diǎn)依據(jù)確定的規(guī)則（即相互對(duì)應(yīng)的關(guān)係，也就是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），可以與另一個(gè)平面上全部的點(diǎn)有一對(duì)一的關(guān)係。簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是能夠?qū)⒁粋€(gè)平面圖形依據(jù)確定的規(guī)則移到另一個(gè)平面圖形上。二、全等變換即兩個(gè)圖形相互重疊時(shí)，可運(yùn)用干脆比較的方式，假如圖形的形狀與大小都一樣，就稱為全等圖形。透過(guò)以下三種移動(dòng)方式：（一）平移變換（二）旋轉(zhuǎn)變換（三）翻轉(zhuǎn)變換將圖形移動(dòng)的時(shí)候，無(wú)論形狀、大小、角度的大小、邊長(zhǎng)以及面積都沒有任何改變，則為全等圖形。（一）平移變換在平面上透過(guò)平行移動(dòng)或垂直移動(dòng)，使原物件的位置產(chǎn)生移動(dòng)的現(xiàn)象，就是平移變換。例如：（二）旋轉(zhuǎn)變換將一個(gè)圖形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生位移，而圖形與所呈現(xiàn)的圖像不變。例如：（三）翻轉(zhuǎn)變換將平面圖形翻轉(zhuǎn)180°，使圖形產(chǎn)生位移，此時(shí)圖形的形狀並未改變，而圖像從原來(lái)的正面轉(zhuǎn)為反面。1.水平翻轉(zhuǎn)3.鏡子反射2.垂直翻轉(zhuǎn)（水面倒影）三、全等變換特殊類型：對(duì)稱（一）線對(duì)稱若一個(gè)圖形可沿始終線(對(duì)稱軸)對(duì)摺後，使其在直線兩側(cè)的部分完全重合，則稱此圖形為關(guān)於此折線的對(duì)稱圖形，簡(jiǎn)稱為「線對(duì)稱圖形」或「軸對(duì)稱圖形」。線對(duì)稱圖形的基本要素：對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱邊。幾何圖形的線對(duì)稱正多邊形偶數(shù)邊：其對(duì)稱軸的個(gè)數(shù)=正多邊形的邊數(shù)奇數(shù)邊：確定是線對(duì)稱圖形正方形正五邊形生活中的線對(duì)稱（二）點(diǎn)對(duì)稱以一點(diǎn)為中心，圖形其中一半旋轉(zhuǎn)180度以後，能與另一半重合的是點(diǎn)對(duì)稱圖形。旋轉(zhuǎn)的中心點(diǎn)是對(duì)稱中心。點(diǎn)對(duì)稱圖形的其中一半繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度後，重合的兩點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)，重合的邊是對(duì)稱邊。點(diǎn)對(duì)稱圖形的全部對(duì)稱兩點(diǎn)連線都通過(guò)對(duì)稱中心，同時(shí)對(duì)稱中心到相對(duì)稱兩點(diǎn)距離相等。生活中的點(diǎn)對(duì)稱四、相像變換當(dāng)圖形變換後的形狀一樣，但是大小不同，變成放大或縮小的形狀，這種變換就叫做相像變換。相像變換主要特徵是形狀相像但大小不同。兩個(gè)圖形相像時(shí)，其之間有三種共同關(guān)係：1.兩圖形間可配出對(duì)應(yīng)點(diǎn)。2.對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度比值相等(對(duì)應(yīng)邊成比例)。3.對(duì)應(yīng)角的角度大小相同。相像變換主要區(qū)分為：（一）擴(kuò)大圖（二）縮小圖生活中的應(yīng)用：比例尺常以1和其縮?。〝U(kuò)大）倍率的比、比值或線段圖表示。貳、認(rèn)知結(jié)構(gòu)荷蘭數(shù)學(xué)教化家VanHiele夫婦幾何學(xué)習(xí)發(fā)展理論第0層次－視覺期（Visualization）國(guó)小低年級(jí)學(xué)童可以辨別、稱呼、比較及操弄幾何圖形，以視覺觀察具體實(shí)物的整體輪廓來(lái)辨認(rèn)圖形。可以運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)描術(shù)物件的形狀。如：門的形狀為長(zhǎng)方形，盤子的形狀為圓形。但不能瞭解形狀真正定義。第一層次－分析期（Analysis）

國(guó)小中高年級(jí)學(xué)童可以從圖形的構(gòu)成要素以及其之間的關(guān)係分析圖形?？梢岳脤?shí)際操作（如折疊、尺量，以格子觀察或設(shè)計(jì)特別的圖樣）的方式，發(fā)現(xiàn)某一群圖形的共有性質(zhì)或規(guī)則。已具有豐富的視覺辨識(shí)經(jīng)驗(yàn)，如：能夠察覺到長(zhǎng)方形有四個(gè)邊，四個(gè)角，且有兩個(gè)長(zhǎng)邊，兩個(gè)短邊，對(duì)邊相等，但不能解釋性質(zhì)間的關(guān)係。其次層次－關(guān)係期（Relation）或非形式演繹期(InformalDeduction)高年級(jí)學(xué)童大約在第一層至其次層的過(guò)渡時(shí)期兒童可以透過(guò)非正式地論證把從前發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)作邏輯地聯(lián)結(jié)。能進(jìn)一步探究圖形內(nèi)在所屬關(guān)係及各圖形間的包含關(guān)係。如：四邊形兩雙對(duì)邊相等即是同等四邊形，而不必將全部屬性均描述出來(lái)才能確認(rèn)其圖形。參、教學(xué)策略一、全等變換低年級(jí)迷思：1.將正方形或三角形轉(zhuǎn)個(gè)方向，則學(xué)生會(huì)認(rèn)為這些圖形就不是正方形或三角形。2.課本中常出現(xiàn)的三角形是假如形狀換成，有些學(xué)生會(huì)不覺得這也是三角形的一種。教學(xué)策略：讓學(xué)生利用色紙，剪成兩個(gè)大小一樣的正方形，再讓他們拿轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)或貼在形上，可以讓學(xué)生清晰了解，其實(shí)與皆是正方形。老師準(zhǔn)備許多三角形、圓形、長(zhǎng)方形、正方形的色紙發(fā)給每組同學(xué)，請(qǐng)同一組的學(xué)生利用這些色紙排出一幅圖畫。在拼湊的過(guò)程中，有的學(xué)生會(huì)把形狀顛倒貼，或是換個(gè)角度貼，由此去引導(dǎo)學(xué)生了解三角形顛倒貼也是三角形（正方形、長(zhǎng)方形…亦是）。中年級(jí)迷思：將正方形或三角形轉(zhuǎn)個(gè)方向，則學(xué)生會(huì)認(rèn)為這些圖形就不是正方形或三角形。教學(xué)策略：老師可以指導(dǎo)學(xué)生利用每一種圖形的特色去做判斷，而不是光看圖形就判斷圖形。線對(duì)稱教學(xué)多透過(guò)摺、剪、繪等操作活動(dòng)的方式進(jìn)行，所以以實(shí)際操作來(lái)了解線對(duì)稱圖形的特性是較佳的方式。學(xué)生在進(jìn)行畫對(duì)稱軸的活動(dòng)時(shí)，應(yīng)先透過(guò)對(duì)摺，然後描出摺線，即為對(duì)稱軸；但假如受到外框(長(zhǎng)方形的紙)的影響時(shí)，則可指導(dǎo)學(xué)生先將圖剪下，再對(duì)摺即可，或是將紙拿起對(duì)著電燈，則可以映出圖樣以進(jìn)行活動(dòng)。二、線對(duì)稱三、點(diǎn)對(duì)稱

先讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)180度的旋轉(zhuǎn)情境，藉由圖形平面固定一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的操作活動(dòng)引入。學(xué)生由具體操作活動(dòng)逐步分析，才能進(jìn)而瞭解抽象的點(diǎn)對(duì)稱圖形。讓學(xué)生察覺相互對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心等距離的現(xiàn)象，作為引入點(diǎn)對(duì)稱圖形意義的基礎(chǔ)。對(duì)點(diǎn)對(duì)稱圖形特性了解後，再請(qǐng)學(xué)生製作簡(jiǎn)單的點(diǎn)對(duì)稱圖形以及由整體圖形的呈現(xiàn)找出旋轉(zhuǎn)中心等操作活動(dòng)。四、相像變換由觀察不同遠(yuǎn)近的景色，經(jīng)驗(yàn)圖像的擴(kuò)大和縮小後的效應(yīng)，並利用方格觀察，嘗試說(shuō)出圖形的擴(kuò)大或縮小圖的關(guān)係。觀察擴(kuò)大或縮小圖之對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)係。藉由觀察擴(kuò)大（縮?。﹫D與原圖之對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角關(guān)係判斷擴(kuò)大（縮?。﹫D，並經(jīng)驗(yàn)擴(kuò)大N倍的圖形，面積擴(kuò)大N的平方倍之關(guān)係。由比例尺之須要感情境，認(rèn)識(shí)比例尺，並運(yùn)用於地圖上有關(guān)情況的閱讀。肆、綱要結(jié)構(gòu)五大主題實(shí)力指標(biāo)－幾何第一階段：

S-1-02能描繪或仿製簡(jiǎn)單幾何形體。

S-1-03能認(rèn)識(shí)周遭物體中的角、直線和平面。

S-1-05能透過(guò)操作，將簡(jiǎn)單圖形切割重組成另一已知簡(jiǎn)單圖形。

其次階段：S-2-04能認(rèn)識(shí)平面圖形全等的意義。

S-2-05能理解旋轉(zhuǎn)角的意義。

S-2-06能理解平面圖形的線對(duì)稱關(guān)係。第三階段：

S-3-02能認(rèn)識(shí)平面圖形放大、縮小對(duì)長(zhǎng)度、角度與面積的影響，並認(rèn)識(shí)比例尺。1-s-04能依給定圖示，將簡(jiǎn)單形體作平面舖設(shè)與立體堆疊。2-s-05能認(rèn)識(shí)面積，並作直接比較。3-s-05能利用間接比較或以個(gè)別單位實(shí)測(cè)的方法比較不同面積的大小，並認(rèn)識(shí)面積單位「平方公分」。3-s-06能透過(guò)操作，將簡(jiǎn)單圖形切割重組成另一已知簡(jiǎn)單圖形。4-s-03能認(rèn)識(shí)平面圖形全等的意義。5-s-04能認(rèn)識(shí)線對(duì)稱，並理解簡(jiǎn)單平面圖形的線對(duì)稱性質(zhì)。4-s-05能理解旋轉(zhuǎn)角的意義。6-s-02能認(rèn)識(shí)平面圖形放大、縮小對(duì)長(zhǎng)度、角度與面積的影響，並認(rèn)識(shí)比例尺。圖形變換分年細(xì)目伍、評(píng)量範(fàn)例剪下來(lái)並摺摺看，這些圖形是線對(duì)稱圖形嗎？他們的對(duì)稱軸各在哪裡？（1）大雄說(shuō)全部的圖形都是線對(duì)稱圖形?！鯇?duì)□不對(duì)理由是________________（1）宜靜說(shuō)是菱形、等腰梯形、等腰三角形才是線對(duì)稱圖形?！鯇?duì)□不對(duì)理由是________