2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷分項(xiàng)（第02期）專題07圓錐曲線

專題圓錐曲線一、選擇題1．【2023黑龍江齊齊哈爾八中三?！繏佄锞€：的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且，那么〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】，如圖，由拋物線的幾何意義，可知，所以，所以，應(yīng)選D。點(diǎn)睛：首先將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，利用拋物線的幾何意義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求得點(diǎn)的值，代回拋物線方程求得的值。要求學(xué)生對(duì)拋物線的幾何意義熟悉掌握。2．【2023黑龍江齊齊哈爾八中三?！侩p曲線：〔，〕的離心率為，那么雙曲線的漸近線方程為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】，那么，所以，即，所以，應(yīng)選D。3．【2023福建四校聯(lián)考】橢圓的上下左右頂點(diǎn)分別為，且左右焦點(diǎn)為，且以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，那么橢圓的離心率為〔〕A.B.C.D.【答案】D點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．4．【2023福建四校聯(lián)考】設(shè)點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)到漸近線的距離與雙曲線的兩焦點(diǎn)間的距離的比值為，那么雙曲線的漸近線方程為()A.B.C.D.【答案】B點(diǎn)睛：雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.5．【2023廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作軸的垂線，與在第一象限的交點(diǎn)為，且直線的斜率大于2，其中為的左頂點(diǎn)，那么的離心率的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】，，∴，∴.選B.6．【2023陜西西安長(zhǎng)安區(qū)聯(lián)考】直線與圓交于不同的兩點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，那么的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：設(shè)的中點(diǎn)為，那么，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)橹本€與圓交于不同的兩點(diǎn)，所以，所以，即，解得，應(yīng)選C．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；向量的應(yīng)用．7．【2023湖南株洲兩校聯(lián)考】雙曲線E：﹣=1〔a＞0，b＞0〕，點(diǎn)F為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為E上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且滿足|PF|=3|FQ|，假設(shè)|OP|=b，那么E的離心率為〔〕A.B.C.2D.【答案】B在中，那么，整理得那么雙曲線的離心率故答案選點(diǎn)睛：題目中關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，那么四邊形為平行四邊形，再根據(jù)雙曲線定義和條件判定直角三角形，利用即可求出雙曲線的離心率。8．【2023河北衡水武邑中學(xué)三調(diào)】假設(shè)直線將圓的周長(zhǎng)分為兩局部，那么直線的斜率為〔〕A.或B.或C.D.【答案】B9．【2023山西名校聯(lián)考】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)在橢圓上，，，那么橢圓的離心率〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由于，那么，，，，，，，，，，那么，選C.10．【2023云南昆明一中一?！繏佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，線段交拋物線于點(diǎn)，假設(shè)，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由為的三等分，作于，如圖，那么，，應(yīng)選B.11．【2023廣西貴州摸底聯(lián)考】焦點(diǎn)在軸上，中心在的橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為6，假設(shè)該橢圓的離心率為，那么橢圓的方程是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】，選B.12．【2023河南名校聯(lián)考】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在左準(zhǔn)線上，假設(shè)，且直線的斜率，那么的面積為〔〕A.B.C.D.13．【2023江西南昌摸底】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，假設(shè)直線恰為線段的垂直平分線，那么雙曲線的離心率為〔〕A.B.C.D.【答案】C點(diǎn)睛：此題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為，以及點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題；設(shè)出的坐標(biāo)，漸近線方程為，對(duì)稱點(diǎn)為，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為，求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值.14．【2023江西南昌摸底】動(dòng)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且滿足，假設(shè)是線段的中點(diǎn)，那么的值為A.B.C.D.【答案】A【解析】動(dòng)直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，且滿足，那么為等邊三角形，于是可設(shè)動(dòng)直線為，根據(jù)題意可得，，∵是線段的中點(diǎn)，∴，設(shè)，∵，∴，∴，解得，∴，∴，應(yīng)選A．15．【2023貴州黔東南聯(lián)考】把離心率的曲線稱之為黃金雙曲線．假設(shè)以原點(diǎn)為圓心，以虛半軸長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，那么圓與黃金雙曲線〔〕A.無(wú)交點(diǎn)B.有1個(gè)交點(diǎn)C.有2個(gè)交點(diǎn)D.有4個(gè)交點(diǎn)【答案】D16．【2023遼寧凌源二中聯(lián)考】拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，那么直線的斜率為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】令y=1,代入，得，即,由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F(1,0),所以直線的斜率為，應(yīng)選A17．【2023河南鄭州一中聯(lián)考】點(diǎn)是雙曲線〔，〕右支上一點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，假設(shè)〔是坐標(biāo)原點(diǎn)〕是等邊三角形，那么該雙曲線離心率為〔〕A.B.C.D.【答案】D點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.18．【2023山西五校聯(lián)考】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，，過(guò)作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，，，點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，那么雙曲線的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】B【解析】垂直于軸，那么為雙曲線的通徑的一半，，的坐標(biāo)為，那么，，又，故有在第1象限上即在右支上，那么有，即，應(yīng)選B.二、填空題19．【2023四川德陽(yáng)聯(lián)考】點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，=120°，且，那么橢圓的離心率為_(kāi)__________.【答案】【解析】設(shè)，由余弦定理知，所以，故填.20．【2023河南名校聯(lián)考】直線的方程為，拋物線為，假設(shè)點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，那么點(diǎn)到直線的最短距離是__________．【答案】【點(diǎn)睛】曲線上的一點(diǎn)到直線的最短距離，就是與直線平行的曲線的切線到該直線的距離。21．【2023云南昆明一中摸底】雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，假設(shè)，那么雙曲線的方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的方程為:，由得：由點(diǎn)到直線的距離公式可得由及勾股定理可得，又因?yàn)榕c漸近線垂直，結(jié)合可得雙曲線的方程：，故答案為.三、解答題22．【2023黑龍江齊齊哈爾八中三模】橢圓：〔〕的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn).〔1〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕點(diǎn)，假設(shè)是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】〔1〕；〔2〕1試題解析：〔1〕聯(lián)立解得，故又，，聯(lián)立三式，解得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，∴，即，∴，.∵，∴.當(dāng)時(shí)，，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，滿足題意.23．【2023福建四校聯(lián)考】點(diǎn)，其中是曲線上的兩點(diǎn)，，兩點(diǎn)在軸上的射影分別為點(diǎn)，，且.〔I〕當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求直線的斜率；〔II〕記的面積為，梯形的面積為，求證：.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意結(jié)合直線的斜率公式可得；(Ⅱ)設(shè)直線的方程為.聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得，，那么.據(jù)此即可證得題中的結(jié)論試題解析：〔Ⅱ〕法一：設(shè)直線的方程為.那么…由,得,所以所以,又，所以，所以，因?yàn)?，所?所以.法二：設(shè)直線的方程為.由,得,所以,24．【2023廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為4，且橢圓過(guò)點(diǎn).〔1〕求橢圓的方程；〔2〕假設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，求直線的方程.【答案】〔1〕〔2〕【解析】試題分析：〔1〕設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由c=2,及，可解得?！?〕設(shè)直線的方程為與橢圓組方程組，由向量坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理可求得參數(shù)k.試題解析;〔1〕設(shè)橢圓的方程為，，∴，∴，又，解得，，故橢圓的方程為.【點(diǎn)睛】當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)得到與交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系式時(shí)〔如此題，〕，我們常結(jié)合韋達(dá)定理，三個(gè)式子消去，得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的等式，甚至解出參數(shù)，但要注意檢驗(yàn)判別式是否成立。25．【2023黑龍江齊齊哈爾一?！咳鐖D，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，四邊形的面積是四邊形的面積的2倍.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點(diǎn).假設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】〔1〕;〔2〕【解析】試題分析：〔1〕由條件布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的方程；〔2〕因?yàn)?，所以直線的斜率之和為0，設(shè)直線的斜率為，那么直線的斜率為，聯(lián)立方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到直線的方程.試題解析：〔2〕由〔1〕易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.因?yàn)?，所以直線的斜率之和為0.設(shè)直線的斜率為，那么直線的斜率為，，直線的方程為，由可得，∴，同理直線的方程為，可得，∴，，∴滿足條件的直線的方程為，即為.26．【2023北京大興聯(lián)考】橢圓的短軸端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2．〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，假設(shè)，，求證：為定值．【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析.試題解析：〔Ⅰ〕由題意有：，且，所以，.所以橢圓的方程為.〔Ⅱ〕由題意直線過(guò)點(diǎn)，且斜率存在，設(shè)方程為,將代人得點(diǎn)坐標(biāo)為，由，消元得，設(shè)，，那么且，方法一：因?yàn)?，所?同理，且與異號(hào)，所以.所以，為定值.從而.當(dāng)時(shí)，同理可得.所以，為定值.方法三：由題意直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)方程為，將代人得點(diǎn)坐標(biāo)為，同理，且與異號(hào)，所以.又當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，所以，為定值.【點(diǎn)睛】此題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，其主要思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程，整理成關(guān)于或的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，在設(shè)方程時(shí)，往往設(shè)為，可減少討論該直線是否存在斜率.27．【2023四川成都雙流中學(xué)一模】如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的長(zhǎng)軸是圓的直徑.是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于兩點(diǎn)交橢圓于另一點(diǎn).〔1〕求橢圓的方程；〔2〕求面積取最大值時(shí)直線的方程.【答案】〔1〕；〔2〕.〔1〕由得到，且，所以橢圓的方程是；〔2〕因?yàn)橹本€，且都過(guò)點(diǎn)，所以①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知直線與橢圓相切，不合題意.②當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線，直線，所以圓心到直線的距離為，所以直線被圓所截的弦；由，所以，所以，〔當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.〕③當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)面積取最大值時(shí)直線的方程為.點(diǎn)睛：此題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等根底知識(shí)，同時(shí)考查了推理能力和計(jì)算能力及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．還有就是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，將要求的面積分割為兩個(gè)直角三角形的面積。28．【2023江西宜春六校聯(lián)考】橢圓：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)且，又過(guò)左焦點(diǎn)任作直線交橢圓于點(diǎn)．〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，求面積的最大值．【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕.當(dāng)直線的斜率時(shí)，面積函數(shù)，結(jié)合橢圓方程和均值不等式的結(jié)論可得面積的最大值為.〔Ⅱ〕依題意直線不垂直軸，當(dāng)直線的斜率時(shí)，可設(shè)直線的方程為〔〕，那么直線的方程為．由得，，即，①設(shè)的中點(diǎn)為，那么，，點(diǎn)在直線上，∴，故，②此時(shí)與①矛盾，故時(shí)不成立．當(dāng)直線的斜率時(shí)，，〔，〕，的面積，∵，∴，∴面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．29．【2023云南昆明一中一模】動(dòng)點(diǎn)滿足：.〔1〕求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；〔2〕設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為〔點(diǎn)與點(diǎn)不重合〕，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】〔1〕；〔2〕直線過(guò)定點(diǎn)，證明見(jiàn)解析.試題解析：〔1〕由，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和為，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，而，，所以，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程：.〔2〕設(shè)，，那么，由得直線的斜率存在，設(shè)斜率為，那么直線的方程為：由得，所以，，直線的方程為：，所以，令，那么，所以直線與軸交于定點(diǎn).30．【2023廣西柳州摸底聯(lián)考】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且.〔1〕求該拋物線的方程；〔2〕拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由.【答案】〔1〕；〔2〕定點(diǎn)試題解析：〔1〕拋物線的焦點(diǎn)，∴直線的方程為:.聯(lián)立方程組，消元得:，∴.∴解得.∴拋物線的方程為：.〔2〕由〔1〕可得點(diǎn)，可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，得，那么①.∴，即或，代人①式檢驗(yàn)均滿足，∴直線的方程為：或.∴直線過(guò)定點(diǎn)〔定點(diǎn)不滿足題意，故舍去〕.點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)〞是什么、“定值〞是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前該值的結(jié)果，