2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式、推理與證明第5節(jié)綜合法、分析法、反證法學(xué)案理北師大版

第五節(jié)綜合法、分析法、反證法[考綱](教師用書(shū)獨(dú)具)1.了解直接證明的兩種根本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)；2.了解間接證明的一種根本方法——反證法；了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn)．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第101頁(yè))[根底知識(shí)填充]1．綜合法、分析法內(nèi)容綜合法分析法定義從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法那么，通過(guò)演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明．我們把這樣的思維方法稱為綜合法從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等．我們把這樣的思維方法稱為分析法實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→…→eq\x(Qn?Q)eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→…→eq\x(\a\al(得到一個(gè)明顯,成立的條件))文字語(yǔ)言因?yàn)椤浴蛴伞谩C……只需證……即證……2.反證法(1)反證法的定義：在假定命題結(jié)論的反面成立的前提下，經(jīng)過(guò)推理，假設(shè)推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾，或與命題中的條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說(shuō)明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題結(jié)論成立的方法叫反證法．(2)反證法的證題步驟：①作出否認(rèn)結(jié)論的假設(shè)；②進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；③否認(rèn)假設(shè)，肯定結(jié)論．[根本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件．()(2)用反證法證明結(jié)論“a＞b〞時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a＜b〞．()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否認(rèn)，推出矛盾．()(4)在解決問(wèn)題時(shí)，常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．用分析法證明時(shí)出現(xiàn)：欲使①A＞B，只需②C＜D，這里①是②的()A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[由題意可知②?①，故①是②的必要條件．]3．用反證法證明命題：“a，b為實(shí)數(shù)，那么方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根〞時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x2＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根A[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根〞的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根〞，應(yīng)選A.]4．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，那么a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)三個(gè)數(shù)()A．都大于2B．都小于2C．至少有一個(gè)不大于2D．至少有一個(gè)不小于2D[∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)，∴三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.]5．(教材改編)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，那么△ABC的形狀為_(kāi)_________三角形．等邊[由題意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c∴A＝C，∴A＝B＝C＝eq\f(π,3)，∴△ABC為等邊三角形．](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第102頁(yè))綜合法(2023·江蘇高考)對(duì)于給定的正整數(shù)k，假設(shè)數(shù)列{an}滿足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，那么稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列〞．(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列〞；(2)假設(shè)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列〞，又是“P(3)數(shù)列〞，證明：{an}是等差數(shù)列．[證明](1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，那么an＝a1＋(n－1)d，從而，當(dāng)n≥4時(shí)，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列〞．(2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列〞，又是“P(3)數(shù)列〞，因此，當(dāng)n≥3時(shí)，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①當(dāng)n≥4時(shí)，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′.在①中，取n＝4，那么a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d在①中，取n＝3，那么a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．[規(guī)律方法]用綜合法證題是從條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，常與分析法結(jié)合使用，用分析法探路，綜合法書(shū)寫(xiě).綜合法的適用范圍：1定義明確的問(wèn)題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、求證無(wú)條件的等式或不等式；2條件明確，并且容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.[跟蹤訓(xùn)練]設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140209】[證明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)因?yàn)閑q\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.所以eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.分析法函數(shù)f(x)＝3x－2x，求證：對(duì)于任意的x1，x2∈R，均有eq\f(f(x1)＋f(x2),2)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).[規(guī)律方法]1.分析法的適用范圍當(dāng)條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過(guò)程中所需用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，?？紤]用分析法.2.利用分析法證明問(wèn)題的思路與書(shū)寫(xiě)格式分析法的特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因〞，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，即從“未知〞看“需知〞，逐步靠攏“〞或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采用“欲證—只需證—〞的格式，在表達(dá)中要注意表達(dá)形式的標(biāo)準(zhǔn)性.[跟蹤訓(xùn)練]△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).[證明]要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，也就是eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需證c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．反證法設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).證明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立．[證明]由a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由根本不等式及ab＝1，有a＋b≥2eq\r(ab)＝2，即a＋b≥2.(2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立，那么由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab＝1矛盾．故a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立．[規(guī)律方法]用反證法證明問(wèn)題的步驟1反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立否認(rèn)結(jié)論2歸謬：將“反設(shè)〞作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)出矛盾，矛盾可以是與條件、定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾.推導(dǎo)矛盾3立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)〞的謬誤.既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立.命題成立[跟蹤訓(xùn)練]等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N＋)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140210】[解](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))所以d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2)，假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N＋，且互不相等)成等比數(shù)列，那么beq\o\al(2,q)＝bpbr.即(q＋eq\r(