2021年綿陽南山中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題及答案

xy（xy（(a)（D綿陽南山中學(xué)（驗學(xué)校）自主招生考試數(shù)學(xué)試題本套試卷分試題和答題卷兩部份，試題卷共頁，題卷共，滿分分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必自己姓名、考試號毫米色墨水簽字筆或黑色墨鋼筆填寫在答題卷與機讀卡相位置上，并認(rèn)真核對姓名與考；2．選取題每小題選出案后，用鉛筆將機讀上相應(yīng)題目答案標(biāo)號涂黑，需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號，答在試題卷無效；3．非選取題（主觀題5毫米黑色墨水簽字筆或黑墨水鋼筆直接答在答題卷上每題相應(yīng)位置上，答在試卷上無效．作圖一律用鉛或．毫黑色簽字筆；4．考試結(jié)束后，請將試題卷、答題卷與機讀卡一并交．第卷（選取題，共分一．選取題（本題共2個題，每小題3分共分，在每小題出四個選項中，只有一項是符合題目規(guī)定1．下列計算對的是（）（A

（B(x)

23222

a(2．方程組

解是（）（A）－

（B）3

（C）－1或

（D）－5或3

3．如右圖所示，圖①達(dá)正六棱柱形狀高大建筑物，②中陰影某些表達(dá)該建筑物俯視、QMN表小在面上活動區(qū)域（各區(qū)域均不含邊明想同步看到該建筑物三個側(cè)面，她應(yīng)在（）（A）P區(qū)域（Q區(qū)域（CM區(qū)（D）N區(qū)4．小李騎車上學(xué)，開時勻速行駛，途中因交通堵塞留了一段時間，后為了趕時間加速度行駛，與以上事吻合得最佳圖像是（）距學(xué)的離

距學(xué)的離

距學(xué)的離

距學(xué)的離

（）

時間

（）

時間

（）

時間

（）

時間5．南山中學(xué)高一年級四名學(xué)生A、B、D加了校團(tuán)委舉辦“南山中學(xué)百佳、百杰學(xué)生”選舉，已知候選D票比B得票多，候選人A、B得之和超CD得票之和，候選人A得票之和與、D得之和相等，則這四人得票數(shù)由高低順序排,她們依次為（）（A）、D、、B

（）、、A

（C）D、A、BC

（D）、DB、C6．南山中學(xué)數(shù)學(xué)建模組同窗們在研究、、10這個數(shù)倒數(shù)時發(fā)現(xiàn)：她們就將具備這性質(zhì)有序三個數(shù)稱之為調(diào)和數(shù)若x2（x、均正整數(shù)）是一組調(diào)和數(shù)，則xy值）（A）有一組（B）有兩組（C）有三組

11121512NMQ

，（）有無數(shù)組

①

第3

②7．如下圖所示，在eq\o\ac(△,Rt)中，，BC=4D斜邊AB上動點，⊥BCDF，垂足分別為E、，當(dāng)線段EF最小，cos值等于（）（A）

3（B）C）554

（D）

74

B

D

F

EEA7題圖

A

第8圖

B8．如上圖所示，在正形中點E、分別邊、CD，且使得△為等三角形，則△與形ABCF面之比為（）（A）

（）

32

（）

23

（D）

9．已知函數(shù)yx，yx和y

在同始終角坐標(biāo)內(nèi)圖象如下圖所示，給出下列論：①如果a

2

，那么

；②如果a2a

，那么

；③如果a

2

，么a

；④如果a

2

a

時，那么

．則其中對的結(jié)論號為（）（A）①④（B）②③（）①③（D）①②

y

入口y=

xx第題圖

第題圖

610上右圖為一種污水凈化內(nèi)部，污水從上方入口進(jìn)入后流經(jīng)形如等邊三角形凈化材枓表面

流向如圖中箭頭示一次水流流經(jīng)三形兩腰機會相似過層凈化后流入底部六個出口中一種．下列判：①六個出口出水相似；②出口出水量與5號口出水量相；③，，號出水口出水量之比為15∶10；④若凈化材枓損速度與流經(jīng)其表面水?dāng)?shù)量成正換最慢一種三角形材枓使用時間約為更換最快一種三角材枓使用時間16．其中，對的判斷數(shù)是（）（A）1個（）個（C）3（D4個11圖示eq\o\ac(△,Rt)A=2B∠內(nèi)角平分線=2CD等）（A）

3

（B）

（C）

6

（）

D第1題圖

O12

C12如上圖所示，點、D在以為直徑半圓上，D是AC中點，與BD交于點．，CD=25，BC等（）（A）6

（）8

（C

（）第卷（非取，共分）二．填空題（本題共個題，每小題，共24分將答案填寫在答題卡相應(yīng)橫上）13按下圖程序進(jìn)行操作，定：程序運營入種到成果與否>10為次操作若操

1342進(jìn)行三次才停止則x取值范疇1342輸入

×

-2

＞10

是

停止否第13題14圖示線l及m分平行=S則__________四邊QRS

S四邊A

=100,四邊EFGH

，l

l

l

l

4P

S

mm

m

C

m第14圖

第5題圖15如上圖所示，在正方形皮上剪下一種扇形和一種半徑為1cm圓，之正好圍成一種圓錐，則圓錐高_(dá)_______________16小明每天下午5點放回家時，爸爸總是從家開車準(zhǔn)時到達(dá)學(xué)校接她回家．有一天學(xué)校提前時放學(xué)小明自己行回家途中遇到開接她爸爸果平早了分鐘到家小明步______________分鐘遇來接她爸爸．17已知關(guān)于一二方程

x

2

2

m

對任意實數(shù)a均實數(shù)根實數(shù)m取范是．．如右所示，矩形

ABCD對角線、BD交于點，已知60

，邊上有一，滿足

．線段OC上一

L點M與MB交點，聯(lián)結(jié)C、SM．給出如下結(jié)：

D

CM①////等價；②若

CMACMO

，則點L在長線上；

A

O第1題圖

B

12121212③若

SMCL

，則=DL；④若

SS

SCM

，則方程

2

kx

無等根．其中，對的結(jié)論____________（填所有對結(jié)論序號三．解答題（本題共7小題，共90分．解應(yīng)寫出文字闡明．證明過程或算環(huán)）19題2小題，每小題分，共16）解答下列各題：（）計算：()

(2014；（）計算：

201420132201420144028+12016

．20題滿分分）做服裝生意唐老板營甲、乙兩個店鋪．每個店在同一段時間內(nèi)都能售出A兩款式服裝共計30件并每售出一件A款和B款服裝，甲店鋪獲利潤分別為和元，店鋪獲利潤分別為27元元某日，唐老板進(jìn)款式裝35件款式服裝25如何分派給個店鋪各件服裝得在保證乙店鋪獲利潤不不大于元前提下，唐老板獲取利潤最大？最大總利潤是多少21滿分分種透明口袋里裝有分別標(biāo)有中百年經(jīng)典南山六個小球，除中不同之外，小球沒有任何區(qū)別每次摸球前先攪拌均勻再摸球．（Ⅰ）若從中任一種球，求球上中文剛好南概率；（Ⅱ）從中任取球，不放回，再從中任取一球請用樹狀圖辦法，求取出兩個球中文恰能構(gòu)成“典型或南山概率；（Ⅲ）從中任取球，記下中文后再放回袋中，后再從中任取一球，記取出兩個上中文恰能構(gòu)成典”或南概為P，出P，P大小，并證明你結(jié)．

22小滿分12分如右圖所示，已知點（，0在軸，通過A兩直線與反比例函數(shù)

(k

在第四象限圖像有一種公共點．又一次函數(shù)

k

圖像與軸、y軸分別交于點、D兩．當(dāng)四邊形面積小時，求值面最小值．23小滿分分）如右圖所示，在平直角坐標(biāo)系xOy中多邊形OABCDE頂分別為（0

l

A

y

C（0，6（4（4，（，4（，

B0知線l通點，別與邊OADE相，

O

1

O

2

M且將多邊形提面積相等兩些．（Ⅰ）若點

M

113

)

，求直線l函數(shù)表達(dá)式；

第24題圖（Ⅱ）與否存在點，使得過點M有數(shù)條直線l將邊OABCDE提成積相等兩某些？若存在，求出M坐標(biāo)；否則，闡明由．24題分12分如圖所示，

與

外切于點，

y直線l別與

、O外于A、，分別與軸y軸交2

D于點

M(23,0)

、

C

．

A

x（Ⅰ）求半徑長；（Ⅱ在線l上一點使

P

與

MOB

相似并

B題出點P坐標(biāo)

A

B

23題圖

Ex

25題滿分14分）如下圖所示過上一點M1）作直線與二次數(shù)

y

14

x

2

圖像交于A兩，過A、B兩分別作y軸垂線，垂足為、，線l過點M關(guān)原點對稱點N，且與軸直過點A作l線，垂足為E．（Ⅰ）當(dāng)A點橫坐標(biāo)時證明AM=；（Ⅱ）當(dāng)直線AB變時（點A與O不重

OCAC

值；（Ⅲ）當(dāng)直線AB變（A與不重疊判直線l與AB為徑圓位置關(guān)系并證明你結(jié)論．DM

C

N第題圖

l綿陽南山中學(xué)（驗學(xué)校）自主招生考試數(shù)學(xué)參照答及評分原則一．選?。ū敬箢}共12個題，每小題3分，36分每小題給出四個選項中，只有種符合題目規(guī)定）1．C．顯然

題號答案)26

1234578101112CDDADC對的，故選取C．

x或x2．．xxx

，故選?。?顯PN域只能給看到一面M區(qū)域只能看到兩面區(qū)可看到三面故選取B．4．C．開始時勻速駛，此時相應(yīng)圖像為直線，函數(shù)圖像遞減．途中因交通堵塞停留一段時間，此時到學(xué)校離為常數(shù)，最后加迅速度行駛應(yīng)曲線為上凸曲線，故選?。?D．用a、b、、d依表達(dá)、、C、D票，由條件可得

，于是(b),bab)a

是

>

選D．6由已知得

212yxyx2

當(dāng)時，

23

（舍去y時，

x2

當(dāng)時，x，因x、y值有組，故選取B．7．．由EF，是CD與AB垂時，最．此時

EFD，是cosBAC

35

，故選取A．8D令

x

，則

EF2,CF(0x

．由

EF

2

CF

2

2

得：

)23

．于是

AEF梯形BCF

3422

2

)

，故選取D9．A．由圖知，當(dāng)

時，成，當(dāng)a，2a

，當(dāng)

a時，

a

2

1a

，當(dāng)

a

，故選取．10．若進(jìn)水量為1則從左到右六個水口出水量依次為：

110101,,3232323232

，于是②③對的．水流最大與最小三角形分別是最上三角形與第五排最左（或最右）角形，流經(jīng)最上面三角形水為而流第五排最（或最右角形水量為

116

于是④的故選?。?/p>

211圖邊線CB上作點得CA=結(jié)DECADCED2因

此

CEDCADAD

．

過E作EG⊥交BDG，

30

得EG=1，

DF第1題圖

于是

GD

CA3

．在ACF中得

33,AF．2

A

F

在CDF中得DF，故選取D．12．圖延長CD交點．由條件可得是等腰△BCF角平

B

E第1題圖

C分線，可得

CDADDE25

．由

∽

CAF

得CD5,CE5,CF25

．BC

AB

BFAF)

，BC

,

，故選取C．二．填空題（本題共個題，每小題，共24分將答案填寫在答題卡相應(yīng)橫上）題號

1316

18答案

43

60

50

34

①②③13第一次運營成果為

3

，第二次運營成為

3(3x2)

，第三次運營成為3(9x26

．由條件得

10,x227x26

．14由圖可知：

S四邊ABCD

=S四邊FGH

2(四邊QRS

四邊QRS

60

．15．圓錐底面周長于扇形弧長，可得扇形半徑等于，于是圓錐高為4

15cm

．

16由已知得，爸爸從接到位置A處車到達(dá)學(xué)校B，則來回段車時為20分，程AB段車用時10分，于是小明步行了50分鐘．17由條件得

a

2

am

對任意實數(shù)a恒成，即

(2

m3)4m

34

．18設(shè)OS與AD交點L

知為角分線．由

DAC

及OAOD，

DAO

為正三角形，有AD=．又由AS平分

DAC

，知≌ASDASL≌ASC．ACL角形，且為其中心．設(shè)BM與延線交于

L

．注意到

SM//BD

CMCSCMBC1MOSDADAOAMMLALDLACL

．故

//點L

AD的延長線上為正的中心

OM1SM//且SLCL3

，因而①②③對．注意到

SSCCMSCSCMSCDOCB

，則方程

2kx

有等根1．綜上，對的結(jié)論①②③．三．解答題（本題共7小題，共90分．解應(yīng)寫出文字闡明．證明過程或算環(huán)）19原=3

111…………………222（）令，原式

aa2a+1a

(a(a1)(2)a2014(aa

．………

120分派給甲店鋪款式服裝件（x取整數(shù)，且5x1則分派給甲B款服裝30－件………分分派給乙店鋪款式服裝35－件分派給乙B款式服[－30－x）]=5件…………分甲店鋪利潤為y，有

30x

，………乙店鋪利潤為y，有

27(35

，……分于是總利潤

(1200x甲

．由條件得

，得x

59

．…………10分對于

隨著增而減小要使y最大則必最?。?/p>

59

，故取，即分派給甲店鋪、兩款式服裝21件件，分派給乙店鋪AB兩種款式服裝件與16件時保乙店鋪獲利潤不不大于950元保了在此前提下，唐老板獲取總利最大，最大利潤是

元．…分21）取一球，共有不同成果，因此球上中文剛好南概率（Ⅱ）由題知樹圖如下：

16

……………分百年典百

年百南百

經(jīng)百山百

………5分共有30種同法，能滿足規(guī)定有種，此P1

42．…………30（Ⅲ）P．……………8分各種狀況列表如：百

年

經(jīng)

典

南

山

百年經(jīng)典南山

百百百年百經(jīng)百典百南百山

百年年年年經(jīng)年典年南年山

經(jīng)百經(jīng)年經(jīng)經(jīng)典型經(jīng)南經(jīng)出

典百南百山典年南年山典型南經(jīng)山典典南典山典南南南南典出南出山41一共有36成果，滿足規(guī)定成果有4種于是，因此．…………12分236922通過點A（4，0）直線函數(shù)表達(dá)令為

m(x4)(

，…由

y

kx

可得：

2

mx

．………………3

y(x4)由于直線與反比函數(shù)圖像只有一種公共點，于是

mk

．…………………5分易得

C(2,0),D),B(0,k)

，可得

k

．……于是

四邊形BCD

11BD()k(2)22

3(

3(k

．……………………分于是當(dāng)

k，

四邊BCD

有最小值最值等于…………………12分23）圖，延長交x軸于，聯(lián)OB、交P，聯(lián)結(jié)DF、于Q．易知P，（，2）是兩個矩形中，過直線矩形OABF面平分，過直將矩形面積平分，于是直PQ將邊形OABCDE面積平分．…………分

y

A

B

G

P

Q

DH

M

C

O

F第題解答1

23題解答圖

FE第解答圖3

直線PQ函表達(dá)式為

1113

．…………………4分顯然

M(0,

11)在3

上，且M不GH中點，

故直線l數(shù)表達(dá)式為

y

111x33

．…………………5分另解如圖，令過

1111M)直線表達(dá)式為ykx3

，與交點H則H坐為

11)3

，………………1分則

S

梯形

()

22

．……………3分而

多邊OABCDE

32

………4由題意得

122

13

，于是直線l表達(dá)式為

y

1x3

．………………（Ⅱ）如圖，由（Ⅰ）直由線l函表達(dá)式為

1y3

，可得

115G),(6,)33

…………………6分令M為GH中，坐為證明如下：

8(3,)3

，此即為滿足條點M………分8另取一條過點M)直線別與、交3

G、H

．注意到線段

H

中點也為

8M(3,)3

，則

MHH

四邊GH邊AGDCB

，故

H

也是滿足條件直．……10分由

H

任意性，知滿足件直線有無數(shù)條．故存在滿足條件M其坐標(biāo)為

8(3,)3

．……………分24）圖，易知

tan

,303

．…令

與O半分是R與r，則2MOr2r,得r，O半R2

．……

211211l

A

y

B

l

y

C()

O

x

H

1

O

M第2解答

第4題解答2（Ⅱ）

602

,OO30MB22

，于是得MOB是腰三角形，且

．若存在滿足條件P，則

PMPO30

．……………7分如圖，當(dāng)

MO

時，由

MO

知，點P