初中數(shù)學(xué)競賽中多元極值問題的常用解法

初中學(xué)競賽多元值問題常用法嘉積中學(xué)海桂學(xué)校

劉紅軍多元極值問題是初中數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，此類問題有著極為豐富的內(nèi)涵，它涉及的知識面廣，綜合性強(qiáng)，解法頗具有技巧性，解答這類問題可以根據(jù)不同情況的具體特點(diǎn)，采取不同的方法，現(xiàn)以近年來的數(shù)學(xué)競賽題為例，介紹這類問題的常用解法，供大家參考.一、配方法：配方法是數(shù)學(xué)中的一種重要的方法，將已知代數(shù)式（等式）配方成若干個(gè)完全平方式的形式，結(jié)合非負(fù)性質(zhì)，問題常能順利解決例1

設(shè),為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值為.(2005年武漢CASIO選拔賽試題分析與解:配方得:原式==顯然,當(dāng)時(shí),原式有最小值-10.同類型試題:,為實(shí)數(shù)，代數(shù)式

設(shè)

的最小值為.(第21屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽試題,此題也可以用配方法來解決,最小值為3.二、消元法：把多個(gè)元素轉(zhuǎn)化為某一元素為主元，再結(jié)合已知條件，經(jīng)過合理的運(yùn)算，使問題逐步簡化，便利求解.例2,,為整數(shù)，且，，若，則：

已知的最小值是：分析與解：由，，得．因?yàn)?，，為整?shù)，所以，

.(2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽決賽試題

的最大值為1002．于是，的最大值為5013．例3

若，且x、y、z均為非負(fù)數(shù)，則的最大值為_________________.(2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽海南賽區(qū)初賽試題分析與解：由用x來表示y、z，得y=40－2x，z=x－10，又由≥0，z≥0，得解得10≤x≤20，又把y=40－2x，z=x－10代入得，M=－x+140，顯然M是關(guān)于x的一次函數(shù)，且Mx增大而減小，所以當(dāng)x=10時(shí)，最大值為130.三、數(shù)形結(jié)合法:數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.例4

已知,且則的最小值為（）（A）3（B）4（C）5（D）

分析與解：這道題，初識實(shí)感無從下手，若將“式”轉(zhuǎn)化成“形則或輕松解（如圖1）分別以、1和、2為直角邊，、為斜邊，構(gòu)造如圖1所示的兩個(gè)、。由圖形顯見，當(dāng)點(diǎn)C位于直線AD上時(shí)，AC+AD最短，即的值最小.于是過點(diǎn)A作AG垂直DE的延長線交于點(diǎn)，則四邊形ABEG是矩形，圖1又在中，DG=3，AG=5，斜邊AD=

，由勾股定理可得：AD===故應(yīng)選擇D。同類型試題:

已知,均為正數(shù)，且，求的最小值．(2003年北京市初二數(shù)學(xué)競賽試題,此題也可以用此方法來解決,最小值為.四、均值代換法：在數(shù)學(xué)問題中，出現(xiàn)條件時(shí)，我們常作代換，，這種代換稱為均值代換.例5

若

,均為正數(shù),且,求的最小值.分析與解:由,設(shè):,,則====∵

∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，原式有最小值：.五、和差代換法：對于任意的實(shí)數(shù),，總有，若令則有：，這種代換稱為和差代換.例6

已知實(shí)數(shù)滿足，那么t的取值范圍是_____.

分析與解:設(shè),把它們代入中，得：化簡得:因?yàn)?∴∵∴∴即：六、參數(shù)法：參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題.例7若

，則可取的最小值為（）（2003年武漢選拔試題）A.3B.C.D.6解：設(shè)則所以∴當(dāng)時(shí)∴的值最小為，應(yīng)選B

七、整體設(shè)元法：就是把一些看似彼此獨(dú)立而實(shí)質(zhì)是緊密相聯(lián)系的量看成一個(gè)整體去設(shè)元、列式、變形、消元、代入和求值等例8

已知,為實(shí)數(shù)，那么的最小值是分析與解：本題要直接求出所求式子的值很困難，故可以采取整體設(shè)元，巧妙運(yùn)用二元一次方程的根的判別式來解決，思路就顯得非常簡捷設(shè)=,將等式整理成關(guān)于為主元的二次方程,得∵為實(shí)數(shù)∴即就是∴,當(dāng)

時(shí),有.故當(dāng)時(shí),有最小值,即代數(shù)式有最小值是-1.八、利用函數(shù)的性質(zhì)：借助二次（一次）函數(shù)的增減性，并注意自變量的取值范圍，可使問題迎刃而解.例9

已知，，，且，求的最小值.(2004年“TRULY?信利杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題分析與解:將已知等式兩邊平方得整理可得:又,得.

故==此為關(guān)于的二次函數(shù),且開口向上,對稱軸為=2,又由于,知當(dāng)時(shí),取得