浙江省之江教育評(píng)價(jià)聯(lián)盟2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是說(shuō):兩個(gè)同高的幾何體,如在等高處的截面積恒相等,則體積相等.設(shè)、為兩個(gè)同高的幾何體,、的體積不相等,、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知,是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.秦九韶是我國(guó)南寧時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入、的值分別為、,則輸出的值為()A. B. C. D.3.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)4.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度5.某中學(xué)有高中生人,初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間,采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個(gè)容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人,則的值為()A. B. C. D.6.若集合,,則()A. B. C. D.7.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且的圖象關(guān)于對(duì)稱,若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為9.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,1810.若,,,點(diǎn)C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.11.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.12.函數(shù)的對(duì)稱軸不可能為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則曲線在處的切線斜率為________.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__.15.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.16.正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心,另外三個(gè)頂點(diǎn)圓柱下底面的圓周上,記正四面體的體積為,圓柱的體積為,則的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,為直線上動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線:的兩條切線,,切點(diǎn)分別為,,為的中點(diǎn).(1)證明:軸;(2)直線是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是,求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)有甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司底薪元,送餐員每單制成元;乙公司無(wú)底薪,單以內(nèi)(含單)的部分送餐員每單抽成元,超過(guò)單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員,分別記錄其天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)分布表:送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105(1)從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天,求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率;(2)假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問題:①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望;②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘?說(shuō)明你的理由.19.(12分)已知函數(shù),.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)已知在處的切線與軸垂直,若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解、、(),求證:.20.(12分)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是:(是參數(shù)).(1)若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),且,試求實(shí)數(shù)m值.(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍.21.(12分)已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P是拋物線Γ上一點(diǎn),且在第一象限,滿足(2,2)(1)求拋物線Γ的方程;(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,﹣2)的直線交拋物線Γ于M,N兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B(3,﹣6)和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L,問直線NL是否恒過(guò)定點(diǎn),如果過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn),否則說(shuō)明理由.22.(10分)如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)、分別在線段、上,.(1)若,求證:⊥;(2)若二面角的大小為,求線段的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性,可得答案.【詳解】解:由題意,若、的體積不相等,則、在等高處的截面積不恒相等,充分性成立;反之,、在等高處的截面積不恒相等,但、的體積可能相等,例如是一個(gè)正放的正四面體,一個(gè)倒放的正四面體,必要性不成立,所以是的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.2.B【解析】

列出循環(huán)的每一步,由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得:輸入,,,;第一次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán),,,,跳出循環(huán);輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)算法框圖計(jì)算輸出值,一般要列舉出算法的每一步,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.4.A【解析】

由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象.故選A.考點(diǎn):函數(shù)的圖象與性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換方法:5.B【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.【詳解】由題意,,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣,某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比,本題是一道基礎(chǔ)題.6.A【解析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】

根據(jù)題意,由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù),又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象,由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,即函數(shù)為偶函數(shù),由,得,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,得,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式,注意分析函數(shù)的奇偶性,屬于中等題.8.C【解析】

根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計(jì)算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點(diǎn),底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題,屬于中檔題.9.A【解析】

利用統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點(diǎn)睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.10.B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.11.C【解析】

不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12.D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于函數(shù),令,解得,當(dāng)時(shí),函數(shù)的對(duì)稱軸為,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

求導(dǎo)后代入可構(gòu)造方程求得,即為所求斜率.【詳解】,,解得:,即在處的切線斜率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查切線斜率的求解問題,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后,代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到切線斜率,然后根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式,即可寫出切線方程.【詳解】因?yàn)?,所以,從而切線的斜率,所以切線方程為,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】

先求得與關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn),即方程有解.對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為,因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),所以與的圖象有交點(diǎn),方程有解.時(shí)符合題意.時(shí)轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點(diǎn),是過(guò)定點(diǎn)的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn),滿足題意;若,設(shè),相切時(shí),切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時(shí),,的圖象有交點(diǎn),此時(shí),與的圖象有交點(diǎn),函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對(duì)稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識(shí).16.【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,求出底面外接圓的半徑與高,代入體積公式求解.【詳解】解:設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,則底面積為,底面外接圓的半徑為,高為.∴正四面體的體積,圓柱的體積.則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見解析(2)直線過(guò)定點(diǎn).【解析】

(1)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)并代入切線的方程,同理將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線的方程,利用韋達(dá)定理求得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo),由此判斷出軸.(2)求得點(diǎn)的縱坐標(biāo),由此求得點(diǎn)坐標(biāo),求得直線的斜率,由此求得直線的方程,化簡(jiǎn)后可得直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè)切點(diǎn),,,∴切線的斜率為,切線:,設(shè),則有,化簡(jiǎn)得,同理可的.∴,是方程的兩根,∴,,,∴軸.(2)∵,∴.∵,∴直線:,即,∴直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查直線過(guò)定點(diǎn)問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.18.(1);(2)①分布列見解析,;②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】

(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,可得(A)的值.(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為,可得當(dāng)時(shí),,以此類推可得:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的值.當(dāng)時(shí),的值,同理可得:當(dāng)時(shí),.的所有可能取值.可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望.②依題意,甲公司送餐員日平均送餐單數(shù).可得甲公司送餐員日平均工資,與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出.【詳解】解:(1)由表知,50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單,記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,則.(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為,日工資為元,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以的分布列為228234240247254.②依題意,甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為,所以甲公司送餐員的日平均工資為元,因?yàn)?,所以小張?yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.19.(1)①當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,②當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【解析】

(1)先求解導(dǎo)函數(shù),然后對(duì)參數(shù)分類討論,分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)根據(jù)條件先求解出的值,然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系,由此證明出.【詳解】(1),①當(dāng)時(shí),恒成立,則在單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí),令得,解得,又,∴∴當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.(2)依題意得,,則由(1)得,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解,則法一:雙偏移法設(shè),則∴在上單調(diào)遞增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上單調(diào)遞減,∴,即設(shè),∴在上單調(diào)遞增,∴,∴,即∵,∴,其中,∵在上單調(diào)遞增,∴,即∴.法二:直接證明法∵,,在上單調(diào)遞增,∴要證,即證設(shè),則∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴,∴,即(注意:若沒有證明,扣3分)關(guān)于的證明:(1)且時(shí),(需要證明),其中∴∴∴(2)∵,∴∴,即∵,,∴,則∴【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,難度較難.(1)對(duì)于含參函數(shù)單調(diào)性的分析,可通過(guò)分析參數(shù)的臨界值,由此分類討論函數(shù)單調(diào)性;(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法:構(gòu)造函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值,從而達(dá)到證明不等式的目的.20.(1)或;(2).【解析】

(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,在直角坐標(biāo)條件下求出曲線的圓心坐標(biāo)和半徑,將直線的參數(shù)方程化為普通方程,由勾股定理列出等式可求的值;(2)將圓化為參數(shù)方程形式,代入由三角公式化簡(jiǎn)可求其取值范圍.【詳解】(1)曲線C的極坐標(biāo)方程是化為直角坐標(biāo)方程為:直線的直角坐標(biāo)方程為:圓心到直線l的距離(弦心距)圓心到直線的距離為:或(2)曲線的方程可化為,其參數(shù)方程為:為曲線上任意一點(diǎn),的取值范圍是21.(1)y2=4x;;(2)直線NL恒過(guò)定點(diǎn)(﹣3,0),理由見解析.【解析】

(1)根據(jù)拋物線的方程,求得焦點(diǎn)F(,0),利用(2,2),表示點(diǎn)P的坐標(biāo),再代入拋物線方程求解.(2)設(shè)M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),表示出MN的方程y和ML的方程y,因?yàn)锳(3,﹣2),B(3,﹣6)在這兩條直線上,分別代入兩直線的方程可得y1y2=12,然后表示直線NL的方程為:y﹣y1(x),代入化簡(jiǎn)求解.【詳解】(1)由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(,0),滿足(2,2)的P的坐標(biāo)為(2,2),P在拋物線上,所以(2)2=2p(2),即p2+4p﹣12=0,p>0,解得p=2,所以拋物線的方程為:y2=4x;(2)設(shè)M(x0,y0),N(x1,y1),L(x2,y2),則y12=4x1,y22=4x2,直線MN的斜率kMN,則直線MN的方程為:y﹣y0(x

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