河北省秦皇島市新世紀(jì)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

河北省秦皇島市新世紀(jì)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f（x）=，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）=f（x2）=f（x3），則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．（] B．（） C．（] D．（）參考答案：D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．【分析】先作出函數(shù)f（x）=的圖象，如圖，不妨設(shè)x1＜x2＜x3，則x2，x3關(guān)于直線x=3對(duì)稱，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后結(jié)合求得x1+x2+x3的取值范圍即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=的圖象，如圖，不妨設(shè)x1＜x2＜x3，則x2，x3關(guān)于直線x=3對(duì)稱，故x2+x3=6，且x1滿足﹣＜x1＜0；則x1+x2+x3的取值范圍是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故選D2.已知F是拋物線x2=4y的焦點(diǎn)，直線y=kx﹣1與該拋物線交于第一象限內(nèi)的零點(diǎn)A，B，若|AF|=3|FB|，則k的值是（）A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系．專題：方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)拋物線方程求出準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義表示出|AF|與|FB|，再利用直線與拋物線方程組成方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出k的值即可．解答：解：∵拋物線方程為x2=4y，∴p=2，準(zhǔn)線方程為y=﹣1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1）；設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AF|=y1+=y1+1，|FB|=y2+=y2+1；∵|AF|=3|FB|，∴y1+1=3（y2+1），即y1=3y2+2；聯(lián)立方程組，消去x，得y2+（2﹣4k2）y+1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，y1+y2=4k2﹣2，即（3y2+2）+y2=4k2﹣2，解得y2=k2﹣1；代入直線方程y=kx﹣1中，得x2=k，再把x2、y2代入拋物線方程x2=4y中，得k2=4k2﹣4，解得k=，或k=﹣（不符合題意，應(yīng)舍去），∴k=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，考查了方程思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．3.如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是S=720，則判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤9 D．i＞9參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)程序輸出的結(jié)果，得到滿足條件的i的取值，即可得到結(jié)論．【解答】解：第一次運(yùn)行，i=10，滿足條件，S=10×1=10，i=9第二次運(yùn)行，i=9，滿足條件，S=10×9=90，i=8，第三次運(yùn)行，i=8，滿足條件，S=90×8=720，i=7，此時(shí)不滿足條件，輸出S=720，故條件應(yīng)為，8，9，10滿足，i=7不滿足，故條件為：i＞7，故選：B．4.已知函數(shù)f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，則a的值為(

)A．2 B．﹣1或﹣3 C．2或﹣3 D．﹣1或2參考答案：D【考點(diǎn)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用二次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，函數(shù)f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a的圖象的開口方向是向下，對(duì)稱軸為x=a，因此需要按對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論．【解答】解：函數(shù)f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a的對(duì)稱軸為x=a，圖象開口向下，①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在區(qū)間[0，1]是減函數(shù)，∴fmax（x）=f（0）=1﹣a，由1﹣a=2，得a=﹣1，②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在區(qū)間[0，a]是增函數(shù)，在[a，1]上是減函數(shù)，∴fmax（x）=f（a）=﹣a2+2a2+1﹣a=a2﹣a+1，由a2﹣a+1=2，解得a=或a=，∵0＜a≤1，∴兩個(gè)值都不滿足；③當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣x2+2ax+1﹣a在區(qū)間[0，1]是增函數(shù)，∴fmax（x）=f（1）=﹣1+2a+1﹣a=a，∴a=2綜上可知，a=﹣1或a=2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．也可以利用回代驗(yàn)證法判斷選項(xiàng)．5.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線=24y的焦點(diǎn)重合，其一條漸近線的傾斜角為300，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為參考答案：B

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．H7解析：拋物線=24y的焦點(diǎn)為（0，6），

即有雙曲線的焦點(diǎn)為（0，±6），

設(shè)雙曲線的方程為（a＞0，b＞0），則c=6，

由漸近線方程為．則有，

又a2+b2=c2，解得a=3，b=3，則雙曲線的方程為．

故選B．【思路點(diǎn)撥】出拋物線的焦點(diǎn)，即有c=6，求得漸近線方程即有，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可解得a，b，進(jìn)而得到雙曲線方程．6.已知符號(hào)函數(shù)sgnx=，f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），則（）A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】直接利用特殊法，設(shè)出函數(shù)f（x），以及a的值，判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：由于本題是選擇題，可以采用特殊法，符號(hào)函數(shù)sgnx=，f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，則g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=﹣sgnx．所以A不正確，B正確，sgn=sgnx，C不正確；D正確；對(duì)于D，令f（x）=x+1，a=2，則g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=sgn（x+1）=；sgn=sgn（﹣x）=，﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)表達(dá)式的比較，選取特殊值法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．7.設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),對(duì)任意,都有,且當(dāng)時(shí),,若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由得,作出圖像如下.關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,就是函數(shù)與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即，選B.考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.8.若直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)滿足條件：（1）分別在函數(shù)、的圖象上，（2）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則稱是一個(gè)“和諧點(diǎn)對(duì)”。函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象中“和諧點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．4

B．6

C．8

D．10參考答案：A9.“≤k≤”是“關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且僅有2個(gè)正整數(shù)解”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；其他不等式的解法．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】由圖可求得“關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且僅有2個(gè)正整數(shù)解”的k的取值范圍，結(jié)合充要條件的定義，可得答案．【解答】解：關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx即﹣x＞k，設(shè)y=﹣x，則y′=，令y′=﹣的零點(diǎn)為a，則a∈（0，1），且當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，y′＞0，y=﹣x為增函數(shù)，當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，y′＞0，y=﹣x為減函數(shù)，故函數(shù)y=﹣x的圖象如下圖所示：要使﹣x＞k有且僅有2個(gè)正整數(shù)解，則k∈[，），即≤k＜”，故“≤k≤”是“關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且僅有2個(gè)正整數(shù)解”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義，存在性問題，數(shù)形結(jié)合思想，其中求出“關(guān)于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且僅有2個(gè)正整數(shù)解”的充要條件，難度較大．10.給出下列兩個(gè)命題，命題“”是“”的充分不必要條件；命題q：函數(shù)是奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是A. B.C. D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于_________.參考答案：112

12.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn).若，則C的離心率為________.參考答案：【分析】先求出點(diǎn)A到漸近線的距離為，再解方程即得解.【詳解】由題得雙曲線的漸近線方程為由題得△AMN是等邊三角形，邊長(zhǎng)為b.所以點(diǎn)A到漸近線的距離為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的計(jì)算和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.13.從編號(hào)為0，1，2，…，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量為5的一個(gè)樣本，若編號(hào)為42的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最小編號(hào)為．參考答案：10【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義求出樣本間隔即可．【解答】解：樣本間隔為80÷5=16，∵42=16×2+10，∴該樣本中產(chǎn)品的最小編號(hào)為10，故答案為：10．14.由0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可以組成_______個(gè)數(shù)字不重復(fù)且2，3相鄰的四位數(shù)（用數(shù)字填空）.參考答案：答案：6015.（幾何證明選講選做題）如圖5，是梯形的中位線，記梯形的面積為，梯形的面積為，若，則

，

．參考答案：略16.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)，則=．

參考答案：1考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題： 計(jì)算題．分析： 將表示為，再利用向量的運(yùn)算法則，數(shù)量積的定義求解．解答： 解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD為正三角形，＜＞=60°，=180°﹣60°=120°∵=，∴=（+）?=?+?=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1故答案為：1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算．關(guān)鍵是將將表示為．易錯(cuò)點(diǎn)在于將有關(guān)向量的夾角與三角形內(nèi)角不加區(qū)別，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)．本題還可以以為基底，進(jìn)行轉(zhuǎn)化計(jì)算．17.用min{a，b}表示a，b二個(gè)數(shù)中的較小者．設(shè)f（x）=min{}，則f（x）的最大值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】討論當(dāng)+3≤log2x，當(dāng)+3＞log2x，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得x的范圍，f（x）的解析式，再由單調(diào)性求得最大值．【解答】解：當(dāng)+3≤log2x，即為3﹣log2x≤log2x，即log2x≥3，解得x≥4，即有f（x）=+3，當(dāng)x=4時(shí)，取得最大值3﹣1=2；當(dāng)+3＞log2x，解0＜x＜4，即有f（x）=log2x，由f（x）遞增，則f（x）＜2．綜上可得f（x）的最大值為2．故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的一動(dòng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若在的方程中，令，．設(shè)軌跡的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為和．當(dāng)為何值時(shí)，為一個(gè)正三角形？參考答案：解析：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0）上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x11x2，由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0

\b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因?yàn)檐壽EH的方程可化為：\M（，），N（，－），F(xiàn)（c，0），使△MNF為一個(gè)正三角形時(shí)，則tan＝＝，即a2＝3b2.由于，，則1＋cosq＋sinq＝3sinq，得q＝arctan19.平行四邊形中，為的中點(diǎn)．若在平行四邊形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)取自△內(nèi)部的概率為______．參考答案：,根據(jù)幾何概型可知點(diǎn)取自△內(nèi)部的概率為，其中為平行四邊形底面的高。20.（12分）三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅱ）當(dāng)∠PCB=60°時(shí)，求三棱錐A﹣PCB的體積．參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）=．（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，即O為△ABC的外心，又∵△ABC中，∠ACB=90°，故O為AB邊的中點(diǎn)，所以PO?平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）∵PA=PB=PC，∠PCB=60°，∴△PCB為正三角形，∵AC=CB=2，∴PA=PB=PC=2，∴OA=PO=，∴三棱錐A﹣PCB的體積VA﹣PCB=VP﹣ACB=?PO===．…（12分）21.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)左焦點(diǎn)F1作直線L交橢圓于P，Q兩點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），求的內(nèi)切圓半徑的最大值．參