2019全國(guó)II卷高考真題數(shù)學(xué)（文）（教師版）

14/142019全國(guó)Ⅱ卷高考真題數(shù)學(xué)（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則A∩B=A．(–1，+∞) B．(–∞，2) C．(–1，2) D．2．設(shè)z=i(2+i)，則=A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，則|a–b|=A． B．2C．5 D．504．生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．5．在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙6．設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=A． B． C． D．7．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面8．若x1=，x2=是函數(shù)f(x)=(>0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則=A．2 B． C．1 D．9．若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=A．2 B．3 C．4 D．810．曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．11．已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B． C． D．12．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若變量x，y滿足約束條件則z=3x–y的最大值是___________.14．我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為___________.15．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.16．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_________．（本題第一空2分，第二空3分．）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分。17．（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．18．（12分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.的分組企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（精確到0.01）附：.20．（12分）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.21.（12分）已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過點(diǎn)且與垂直，垂足為P.（1）當(dāng)時(shí)，求及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題1．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，則A∩B等于()A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．?答案C解析A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．2．設(shè)z＝i(2＋i)，則QUOTEzz等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴QUOTE＝－1－2i.3．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，則|a－b|等于()A.QUOTE22B．2C．5QUOTE22D．50答案A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝QUOTE＝QUOTE.4．生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為()A.QUOTE2323B.QUOTE3535C.QUOTE2525D.QUOTE1515答案B解析設(shè)5只兔子中測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測(cè)量過這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為QUOTE＝QUOTE.5．在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?)A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙答案A解析由于三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確．若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，于是三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙；若甲預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲、乙按成績(jī)由高到低的次序?yàn)橐摇⒓?，再假設(shè)丙預(yù)測(cè)正確，則乙、丙按成績(jī)由高到低的次序?yàn)楸⒁?，于是甲、乙、丙按成?jī)由高到低排序?yàn)楸?、乙、甲，從而乙的預(yù)測(cè)也正確，與事實(shí)矛盾；若甲、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則可推出乙的預(yù)測(cè)也錯(cuò)誤．綜上所述，三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙?．設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)等于()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案D解析當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∵當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.7．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面答案B解析對(duì)于A，α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，當(dāng)這無數(shù)條直線互相平行時(shí)，α與β可能相交，所以A不正確；對(duì)于B，根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確，對(duì)于C，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對(duì)于D，垂直于同一平面的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，如長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面，但它們是相交的，所以D不正確，綜上可知選B.8．若x1＝QUOTE，x2＝QUOTE3蟺43蟺4是函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則ω等于()A．2B.QUOTE3232C．1D.QUOTE1212答案A解析由題意及函數(shù)y＝sinωx的圖象與性質(zhì)可知，QUOTET＝QUOTE－QUOTE，∴T＝π，∴QUOTE＝π，∴ω＝2.9．若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓4QUOTEx23px23p＋QUOTEy2py2p＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p等于(A．2B．3C．4D．8答案D解析由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±QUOTE，0)，所以QUOTE＝QUOTE，解得p＝8，故選D.10．曲線y＝2sinx＋cosx在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為()A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0答案C解析設(shè)y＝f(x)＝2sinx＋cosx，則f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲線在點(diǎn)(π，－1)處的切線方程為y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.11．已知α∈QUOTE，2sin2α＝cos2α＋1，則sinα等于()A.QUOTE1515B.QUOTE5555C.QUOTE3333D.QUOTE255255答案B解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因?yàn)棣痢蔘UOTE，所以cosα＝QUOTE，所以2sinαQUOTE＝1－sin2α，解得sinα＝QUOTE，故選B.12．設(shè)F為雙曲線C：QUOTEx2a2x2a2－QUOTEy2b2y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|A.QUOTE22B.QUOTE33C．2D.QUOTE55答案A解析如圖，由題意知，以O(shè)F為直徑的圓的方程為QUOTE2＋y2＝QUOTE①，將x2＋y2＝a2記為②式，①－②得x＝QUOTE，則以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的相交弦所在直線的方程為x＝QUOTE，所以|PQ|＝2QUOTE.由|PQ|＝|OF|，得2QUOTE＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝QUOTE，故選A.二、填空題13．若變量x，y滿足約束條件QUOTE則z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，由圖易知，當(dāng)直線y＝3x－z過點(diǎn)C時(shí)，－z最小，即z最大．由QUOTE解得QUOTE即C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.14．我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為________．答案0.98解析經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為QUOTE＝0.98.15．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，則B＝________.答案QUOTE解析∵bsinA＋acosB＝0，∴QUOTE＝QUOTE，由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝QUOTE.16．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為________．答案26QUOTE22－1解析依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面．注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為x，則QUOTEx＋x＋QUOTEx＝1，解得x＝QUOTE－1，故題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為QUOTE－1.三、解答題17.如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C1C的體積．(1)證明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如圖，作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱錐E－BB1C1C的體積V＝QUOTE×3×6×3＝18.18．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．解(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1＋3＋…＋2n－1＝n2.19．某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．(精確到0.01)附：QUOTE7474≈8.602.解(1)根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)頻率為QUOTE＝0.21.產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為QUOTE＝0.02.用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為2%.(2)QUOTE＝QUOTE×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝QUOTEi(yi－QUOTE)2＝QUOTE×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝QUOTE0.02960.0296＝0.02×QUOTE≈0.17.所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為0.30,0.17.20．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：QUOTEx2a2x2a2＋QUOTEy2b2y2b2＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，(1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．解(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝QUOTEc，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(QUOTE＋1)c，故C的離心率為e＝QUOTE＝QUOTE－1.(2)由題意可知，若滿足條件的點(diǎn)P(x，y)存在，則QUOTE|y|·2c＝16，QUOTE·QUOTE＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又QUOTE＋QUOTE＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝QUOTE.又由①知y2＝QUOTE，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝QUOTE(c2－b2)，所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4QUOTE.當(dāng)b＝4，a≥4QUOTE時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.所以b＝4，a的取值范圍為[4QUOTE，＋∞)．21．已知函數(shù)f(x)＝(x－1)lnx－x－1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)f(x)＝0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)．證明(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．f′(x)＝QUOTE＋lnx－1＝lnx－QUOTE(x>0)．因?yàn)閥＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝QUOTE在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln2－QUOTE＝QUOTEln4-12ln4-12>0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又當(dāng)0<x<x0時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>x0時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)內(nèi)存在唯一根x＝α.由1<x0<α得0<