數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)人教A版選修11講義常用邏輯用語13

10/1111/11/§1.3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義.2.會(huì)用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”聯(lián)結(jié)或改寫某些數(shù)學(xué)命題，并判斷新命題的真假.3.通過學(xué)習(xí)，明白對(duì)條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假.知識(shí)點(diǎn)1且或非(1)且“p且q”就是用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到的新命題，記作p∧q.(2)或“p或q”就是用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到的新命題，記作p∨q.(3)非一般地，對(duì)一個(gè)命題p全盤否定，就得到一個(gè)新命題，記作綈p，讀作“非p”或“p的否定”.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)命題“x≥1”是“p且q”的形式.()(2)命題“三邊長分別為1，1，2的三角形是等腰直角三角形”是“p或q”的形式.()(3)“x，y全都大于0”的否定是“x，y全不大于0”.()提示(1)命題“x≥1”是“x＞1或x＝1”，是p或q的形式，故(1)錯(cuò).(2)“等腰直角三角形”是指既是等腰三角形，且是直角三角形，是“p且q”的形式，故(2)錯(cuò).(3)“x，y全都大于0”的否定應(yīng)是“x，y不全都大于0”，故(3)錯(cuò).答案(1)×(2)×(3)×知識(shí)點(diǎn)2含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷pqp∨qp∧q綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】思考(1)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與生活用語中的“或”的含義是否相同？(2)命題的否定與否命題有什么區(qū)別？提示(1)生活用語中的“或”表示不兼有，而在數(shù)學(xué)中所研究的“或”則表示可兼有但不一定必須兼有.(2)命題的否定只否定命題的結(jié)論，而否命題既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論.題型一p∧q命題及p∨q命題【例1】分別寫出下列命題構(gòu)成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判斷它們的真假.(1)p：函數(shù)y＝3x2是偶函數(shù)，q：函數(shù)y＝3x2是增函數(shù)；(2)p：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，q：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角；(3)p：eq\r(3)是無理數(shù)，q：eq\r(3)是實(shí)數(shù)；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，q：方程x2＋2x＋1＝0兩根的絕對(duì)值相等.解(1)p∧q：函數(shù)y＝3x2是偶函數(shù)且是增函數(shù)；∵p真，q假，∴p∧q為假.p∨q：函數(shù)y＝3x2是偶函數(shù)或是增函數(shù)；∵p真，q假，∴p∨q為真.(2)p∧q：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和且大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角；∵p真，q真，∴p∧q為真.p∨q：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和或大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角；∵p真，q真，∴p∨q為真.(3)p∧q：eq\r(3)是無理數(shù)且是實(shí)數(shù)；∵p真，q真，∴p∧q為真.p∨q：eq\r(3)是無理數(shù)或是實(shí)數(shù)；∵p真，q真，∴p∨q為真.(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根且兩根的絕對(duì)值相等；∵p真，q真，∴p∧q為真.p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或兩根的絕對(duì)值相等；∵p真，q真，∴p∨q為真.規(guī)律方法(1)判斷p∧q形式的命題的真假，首先判斷命題p與命題q的真假，然后根據(jù)真值表“一假則假，全真則真”進(jìn)行判斷.(2)判斷p∨q形式的命題的真假，首先判斷命題p與命題q的真假，只要有一個(gè)為真，即可判定p∨q形式命題為真，而p與q均為假命題時(shí)，命題p∨q為假命題，可簡記為：有真則真，全假為假.【訓(xùn)練1】指出下列命題的構(gòu)成形式及構(gòu)成它們的簡單命題：(1)李明是男生且是高一學(xué)生.(2)方程2x2＋1＝0沒有實(shí)數(shù)根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一學(xué)生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有實(shí)根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.題型二綈p命題【例2】寫出下列命題的否定形式.(1)面積相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，則實(shí)數(shù)m，n全為零；(3)若xy＝0，則x＝0或y＝0.解(1)面積相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＝0，則實(shí)數(shù)m，n不全為零.(3)若xy＝0，則x≠0且y≠0.規(guī)律方法綈p是對(duì)命題p的全盤否定，對(duì)一些詞語的正確否定是寫綈p的關(guān)鍵，如“都”的否定是“不都”，“至多兩個(gè)”的反面是“至少三個(gè)”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等.【訓(xùn)練2】寫出下列命題的否定，并判斷其真假.(1)p：y＝sinx是周期函數(shù)；(2)p：3＜2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的約數(shù).解(1)綈p：y＝sinx不是周期函數(shù).命題p是真命題，綈p是假命題；(2)綈p：3≥2.命題p是假命題，綈p是真命題；(3)綈p：空集不是集合A的子集.命題p是真命題，綈p是假命題；(4)綈p：5是75的約數(shù).命題p是假命題，綈p是真命題.互動(dòng)探究題型三p∨q、p∧q、綈p命題的綜合應(yīng)用【探究1】若“p∨q”與“綈p”同時(shí)為真命題，那么能否判定命題p與q的真假？解由“綈p”是真命題可知p是假命題，又因?yàn)椤皃∨q”是真命題，所以q是真命題.【探究2】若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，能否判定命題p與q的真假？解不能判定，只能得到p與q其中一個(gè)是真命題，另一個(gè)是假命題.【探究3】已知c>0，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，q：曲線y＝4x2－4c(x＋eq\f(1,2))＋c2＋1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求c的取值范圍.解方法一∵函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減，∴0<c<1.令A(yù)＝{c|0<c<1}.由y＝4x2－4c(x＋eq\f(1,2))＋c2＋1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，可得方程4x2－4cx＋c2－2c＋1＝0所對(duì)應(yīng)的判別式Δ＝16c2－16(c2－2c＋1)>0.解得c>eq\f(1,2)，令B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c|c>\f(1,2))).根據(jù)題意，如果p真，q假，則0<c≤eq\f(1,2)；如果p假，q真，則c≥1，∴c的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞).方法二同方法一求得A，B，問題等價(jià)于求集合[(?RB)∩A]∪[(?RA)∩B]＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞).∴c的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞).規(guī)律方法由真值表可判斷p∨q，p∧q，綈p命題的真假，反之，由p∨q，p∧q，綈p命題的真假也可判斷p，q的真假情況.一般求滿足p假成立的參數(shù)范圍，應(yīng)先求p真成立的參數(shù)的范圍，再求其補(bǔ)集.【訓(xùn)練3】已知命題p：方程x2＋ax＋1＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根；命題q：方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0無實(shí)根，若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解∵“p或q”為真，“p且q”為假，∴p與q一真一假.由a2－4>0得a>2或a<－2.由4(a－4)2－4×4<0得2<a<6.①若p真q假，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>2或a<－2，,a≤2或a≥6，))∴a<－2或a≥6；②若p假q真，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a≤2，,2<a<6，))通過分析可知不存在這樣的a.綜上，a<－2或a≥6.課堂達(dá)標(biāo)1.若p是真命題，q是假命題，則()A.p∧q是真命題 B.p∨q是假命題C.綈p是真命題 D.綈q是真命題解析根據(jù)“且”“或”“非”命題的真假判定法則知D正確.答案D2.給出下列命題：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判別式大于或等于0；③25是6或5的倍數(shù)；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析①由于2>1是真命題，所以“2>1或1>3”是真命題；②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判別式大于或等于0”是真命題；③由于25是5的倍數(shù)，所以命題“25是6或5的倍數(shù)”是真命題；④由于(A∩B)?A，(A∩B)?(A∪B)，所以命題“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命題.答案D3.已知命題p1：函數(shù)y＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y＝2x＋2－x在R上為減函數(shù).則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，為真命題的是()A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.qD.2，q4解析p1是真命題，則綈p1為假命題；p2是假命題，則綈p2為真命題；∴q1：p1∨p2是真命題，q2：p1∧p2是假命題，q3：(綈p1)∨p2為假命題，q4：p1∧(綈p2)為真命題.∴為真命題的是q1，q4.答案C4.已知命題p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命題q：?＝{0}，則下列判斷正確的是()A.p假q真 B.“p∨q”為真C.“p∧q”為真 D.“綈p”為真解析由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2，3)，∴p真.∵?≠{0}，∴q為假，∴“p∨q”為真.答案B5.命題p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分條件，命題q：△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件，則()A.p真q假 B.p∧q為真 C.p∨q為假 D.pD假q真解析命題p假，命題q真.答案D課堂小結(jié)1.正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞是解題的關(guān)鍵，日常用語中的“或”是兩個(gè)中任選一個(gè)，不能都選，而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”是兩個(gè)中至少選一個(gè).2.判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的步驟：(1)逐一判斷命題p，q的真假.(2)根據(jù)“且”“或”的含義判斷“p∧q”，“p∨q”的真假.p∧q為真?p和q同時(shí)為真，p∨q為真?p和q中至少一個(gè)為真.3.若命題p為真，則“綈p”為假；若p為假，則“綈p”為真，類比集合知識(shí)，“綈p”就相當(dāng)于集合p在全集U中的補(bǔ)集?Up.因此(綈p)∧p為假，(綈p)∨p為真.4.命題的否定只否定結(jié)論，否命題既否定結(jié)論又否定條件，要注意區(qū)別.基礎(chǔ)過關(guān)1.已知命題p：2＋2＝5，命題q：3>2，則下列判斷正確的是()A.“p∨q”為假，“綈q”為假B.“p∨q”為真，“綈q”為假C.“p∧q”為假，“綈p”為假D.“p∧q”為真，“p∨q”為假解析顯然p假q真，故“p∨q”為真，“p∧q”為假，“綈p”為真，“綈q”為假，故選B.答案B2.已知全集S＝R，A?S，B?S，若p：eq\r(2)∈(A∪B)，則“綈p”是()A.eq\r(2)A B.eqB.eq\r(2)?SBC.eq\r(2)(A∩B) D.eq\r(2)∈(?SA)∩(?SB)解析p：eq\r(2)∈(A∪B)，綈p：eq\r(2)∈?S(A∪B)，即eq\r(2)∈(?SA)∩(?SB).答案D3.設(shè)a，b，c是非零向量.已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.則下列命題中真命題是()A.p∨q B.p∧qC.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)解析方法一命題p中，取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，顯然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命題.命題q中，a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝y(tǒng)c，∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命題.綜上可知：p∨q是真命題，p∧q是假命題.又∵綈p為真命題，綈q為假命題，∴(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命題.方法二命題p中，由于a，b，c都是非零向量，a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如圖，則可能a∥c，∴a·c≠0，∴命題p是假命題，∴綈p是真命題.命題q中，a∥b，則a與b方向相同或相反；b∥c，則b與c方向相同或相反.故a與c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命題，則綈q是假命題，故p∨q是真命題，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命題.答案A4.命題“若a<b，則2a<2b”的否命題為________________，命題的否定為________________.解析命題“若a<b，則2a<2b”的否命題為“若a≥b，則2a≥2b”，命題的否定為“若a<b，則2a≥2b”.答案若a≥b，則2a≥2b若a<b，則2a≥2b5.若命題p：不等式ax＋b>0的解集為{x|x>－eq\f(b,a)}，命題q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集為{x|a<x<b}，則“p且q”“p或q”“非p”中真命題是________.解析因?yàn)槊}p，q均為假命題，所以“p或q”“p且q”均為假命題，而“非p”為真命題.答案非p6.判斷下列復(fù)合命題的真假.(1)等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊；(2)不等式x2－2x＋1＞0的解集為R且不等式x2－2x＋2≤1的解集為?.解(1)這個(gè)命題是“p且q”形式的復(fù)合命題，其中p：等腰三角形頂角的平分線平分底邊，q：等腰三角形頂角的平分線垂直于底邊，因?yàn)閜真q真，則“p且q”為真，所以該命題是真命題.(2)這個(gè)命題是“p且q”形式的復(fù)合命題，其中p：不等式x2－2x＋1＞0的解集為R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集為?.因?yàn)閜假q假，所以“p且q”為假，故該命題為假命題.7.已知命題p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命題“p∨q”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.顯然a≠0，∴x＝－eq\f(2,a)或x＝eq\f(1,a).若命題p為真，∵x∈[－1，1]，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)))≤1或eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))≤1，∴|a|≥1.若命題q為真，即只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足x2＋2ax＋2a≤0，即函數(shù)y＝x2＋2ax＋2a的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∵命題“p∨q”為假命題，∴a的取值范圍是{a|－1<a<0或0<a<1}.能力提升8.已知命題p：若a＝(1，2)與b＝(－2，λ)共線，則λ＝－4；命題q：?k∈R，直線y＝kx＋1與圓x2＋y2－2y＝0相交.則下面結(jié)論正確的是()A.(綈p)∨q是真命題 B.p∧(綈q)是真命題C.p∧q是假命題 D.p∨q是假命題解析命題p為真，命題q：圓心(0，1)到直線kx－y＋1＝0的距離為d＝eq\f(|0|,\r(k2＋1))<1，命題q是真命題.故(綈p)∨q是真命題.答案A9.給定命題p：函數(shù)y＝ln[(1－x)(x＋1)]為偶函數(shù)；命題q：函數(shù)y＝eq\f(ex－1,ex＋1)為偶函數(shù)，下列說法正確的是()A.p∨q是假命題 B.(綈p)∧q是假命題C.p∧q是真命題 D.(綈p)∨q是真命題解析p中，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為偶函數(shù)，故p為真；q中，f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝eq\f(1－ex,ex＋1)＝－f(x)，定義域?yàn)镽，故函數(shù)為奇函數(shù)，故q為假，故(綈p)∧q為假.答案B10.已知命題p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，則有平面α∥平面γ.命題q：若平面α上不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則有平面α∥平面β.對(duì)以上兩個(gè)命題，下列結(jié)論中：①p∧q為真；②p∨q為假；③p∨q為真；④(綈p)∨(綈q)為假.其中，正確的是________(填序號(hào)).解析命題p是假命題，這是因?yàn)棣僚cγ也可能相交，命題q也是假命題，這兩個(gè)平面α，β也可能相交.答案②11.設(shè)p：關(guān)于x的不等式ax＞1的解集為{x|x＜0}，q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域?yàn)镽，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則a的取值范圍是________.解析若p真：A＝{a|0＜a＜1}，若q真：B＝{a|a＞eq\f(1,2)}，由題意，得p與q一真一假，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,a≤\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1，,a＞\f(1,2)，))即0＜a≤eq\f(1,2)或a≥1.答案0＜a≤eq\f(1,2)或a≥112.設(shè)命題p：f(x)＝eq\f(2,x－m)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)；命題q：x1