正方形+課件【知識精講 +備課精研 】華東師大版數(shù)學(xué)八年級下冊

19.3正方形第19章矩形、菱形和正方形學(xué)習(xí)目標1.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2.探索并證明正方形的判定；3.會運用正方形的性質(zhì)及判定條件進行有關(guān)的論證和計算.(難點)觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.情景引入你還能舉出其他的例子嗎？

矩形〃〃問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？問題引入正方形的性質(zhì)一正方形問題2菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？正方形鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個角是直角正方形∟正方形定義：

有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.歸納總結(jié)已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC

（正方形的定義）. 又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.證一證已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO證明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO.

∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：性質(zhì)：1.正方形的四個角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.歸納總結(jié)

正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.

正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸.

由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：知識要點ABCD

例1求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO

≌△CDO≌△DAO.典例精析例2如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.證明：∵

ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.【變式題1】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大?。猓寒?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；當?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.易錯提醒：因為等邊△ADE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．【變式題2】如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD．（1）求證：△APB≌△DPC；解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°,AB=DC．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等邊三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．（2）求證：∠BAP=2∠PAC．

例3如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥BC于E，

PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°,AC垂直平分BD,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.

在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形等來說明.歸納正方形的判定二活動1準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對角線互相垂直已知：如圖,在矩形ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴矩形ABCD是正方形.證一證ABCDO對角線互相垂直的矩形是正方形.活動2把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個角是直角對角線相等已知：如圖,在菱形ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對角線,

AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴菱形ABCD是正方形.證一證ABCDO對角線相等的菱形是正方形.正方形判定的幾條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個直角，一組鄰邊相等，總結(jié)歸納對角線相等對角線垂直平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角例4在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.2.一個正方形的對角線長為2cm，則它的面積是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．對角線互相垂直且相等A當堂練習(xí)3．在正方形ABCD中,∠ADB=

,∠DAC=

,∠BOC=

.4.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第3題圖第4題圖45°5.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，請?zhí)砑右粋€條件____________________，可得出該四邊形是正方形．AB=BC(答案不唯一)ABCDO6.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的是_________________（只填寫序號）．②③或①④7.如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE