2018年數(shù)學第七章不等式、推理與證明專題24不等關系與基本不等式考場高招大全

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE12學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題二十四不等關系與基本不等式考點53不等式的性質以及解法考場高招1判斷關于不等式的結論的四種方法1.解讀高招方法解讀典例指引性質法把要判斷的結論和不等式的性質聯(lián)系起來考慮，先找到與結論相近的性質，再進行推理判斷。典例導引1(1）方法一差值（或商值)比較法步驟如下：①作差(商)，②變形整理(包括通分、提取公因式、配方等）,③斷號（或與1的關系)，④判斷大小。典例導引1(2）方法一方法二單調性法若比較大小的兩式是指數(shù)或對數(shù)等模型,可構造具體函數(shù),利用函數(shù)的單調性進行判斷.典例導引1（3）方法二特殊值驗證法給要判斷的幾個式子中涉及的變量取一些特殊值進行比較、判斷.恰當運用賦值法和排除法探究解答選擇題、填空題。典例導引1（1）方法二2.典例指引1(1）如果a〈b〈0，那么下列不等式成立的是(）A。 B.ab<b2C。-ab<-a2 D.-<—（2）若0<x<1，a〉0,且a≠1，則｜loga（1-x)｜與|loga（1+x)|的大小關系是(）A。|loga（1-x)｜〉｜loga（1+x)｜B.|loga(1-x)|〈|loga(1+x)｜C。不確定，由a的值決定D.不確定，由x的值決定（3)若a=，b=，c=,則(）A。a<b〈c B。c<b<a C。c〈a〈b D.b〈a〈方法二(特殊值法）:令a=—2,b=-1,則=—=—1,ab=2>b2=1，-ab=-2>—a2=—4,-<-=1.故A，B,C項錯誤，D項正確。(2）方法一（作差法）:∵0<x〈1，∴0<1—x<1，0<1—x2〈1,1<1+x<2?！鄉(xiāng)g(1-x）〈0，lg（1—x2）〈0，lg(1+x)〉0，∴|loga(1—x）|-|loga（1+x)|==-·[lg(1-x)+lg(1+x）］=—·lg（1—x2)>0,∴｜loga（1-x）|>|loga(1+x)｜。方法二(作商法)：∵0〈x<1，∴1<1+x〈2，0〈1—x<1,>1+x>1，∴l(xiāng)og(1+x）(1-x）〈0，∴=|log(1+x)（1—x）｜=-log（1+x）(1—x）=log（1+x)〉log(1+x）(1+x)=1，∴|loga（1-x)｜〉｜loga（1+x)｜.（3)方法一：易知a,b,c都是正數(shù)，=log8164〈1,∴a〉b.∵=log6251024>1，∴b〉c,即c〈b〈a。方法二:對于函數(shù)y=f(x)=，y’=,易知當x〉e時，函數(shù)f（x)單調遞減.∵e<3<4〈5，∴f（3）〉f（4)〉f(5），即c<b<a.【答案】(1）D（2）A（3)B3.親臨考場1.。（2017山東，理7）若a>b〉0，且ab=1，則下列不等式成立的是()A。a+<log2（a+b) B?！磍og2(a+b)<a+C.a+<log2（a+b)< D.log2（a+b）〈a+【答案】B不妨令a=2,b=，則a+=4,,log2(a+b)=log2∈（log22，log24）=(1,2),即〈log2(a+b)<a+。故選B.4.(2016北京,理5)已知x,y∈R，且x〉y〉0,則（）A?！? B。sinx-siny〉0C.<0 D.lnx+lny>0考場高招2含參數(shù)的一元二次不等式（ax2+bx+c>0)的解題規(guī)律1。解讀高招規(guī)律解讀二次項含有參數(shù)應討論其是等于0,小于0,還是大于0。若二次項系數(shù)不為0,則將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的標準形式能否因式分解觀察不等式的各項系數(shù)，能否利用十字相乘或者因式分解轉換為a(x—x1）（x-x2)型,如不能利用則考慮求根公式進行求解討論判別式判斷化為標準形式的不等式對應的一元二次方程的根的個數(shù),討論判別式與0的大小關系比較根的大小如果一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，但不能確定兩根的大小,要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式溫馨提醒(1）體會數(shù)形結合與分類討論的數(shù)學思想,分類討論要做到“不重”“不漏”“最簡"的原則;數(shù)形結合要做到圖象(開口方向,零點大小)準確的原則（2）勿將形如ax2+bx+c〈0的不等式認為一定是一元二次不等式，需對a是否為零討論2.典例指引2(1)設0〈a〈1,集合A=｛x｜x>0｝,B=｛x|2x2-3(1+a）x+6a>D=A∩B，求集合D(用區(qū)間表示）.③當0〈a〈時，Δ〉0,g（x)=0的兩個根為x1=,x2=∵(3a+3）2—(9a2—30a+9）∴x2>x1>0?！郆=｛x|x〈x1或x〉x2｝，∴D=∪.3。親臨考場1（2016課標Ⅰ,理1)設集合A={x｜x2-4x+3〈0}，B={x|2x-3〉0}，則A∩B=（）A. B。 C。 D.2.(2013安徽,理6)已知一元二次不等式f（x）<0的解集為，則f（10x)>0的解集為(）A.｛x｜x<-1或x〉-lg2｝ B.｛x｜—1〈x<—lg2}C。{x|x〉—lg2｝ D.{x|x〈-lg2｝【答案】D由題意知-1〈10x<,所以x〈lg=-lg2，故選D.考場高招3一元二次型不等式恒成立問題破解方法1。解讀高招方法解讀適合題型典例指引判別式法（1）ax2+bx+c≥0(a≠0)對任意實數(shù)x恒成立的條件是(2）ax2+bx+c≤0（a≠0)對任意實數(shù)x恒成立的條件是二次不等式在R上恒成立典例導引3(1）分離參數(shù)法如果不等式中的參數(shù)比較“孤單",分離后其系數(shù)與0能比較大小,便可將參數(shù)分離出來，利用下面的結論求解：a≥f（x)恒成立等價于a≥f（x）max;a≤f(x）恒成立等價于a≤f(x)min參數(shù)與變量能分離且f(x）的最值易求典例導引3(2）主參換位法把變元與參數(shù)交換位置，構造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.常見的是轉化為一次函數(shù)f(x）=ax+b(a≠0）在[m,n］上的恒成立問題，若f（x）〉0恒成立?若f（x)<0恒成立?在分離參數(shù)時需要討論參數(shù)與變量的取值情況,且求函數(shù)的最值也較麻煩,或者即使能容易分離出參數(shù)卻難以求解典例導引3(3）2。典例指引3（1)設函數(shù)f（x)=lg(a≠0)，若對任意實數(shù)b,函數(shù)f（x)的定義域為R，則a的取值范圍為。

（2）若關于x的不等式ax2-｜x+1|+3a≥0的解集為(-∞,+∞)，則實數(shù)a的取值范圍是.

(3）若關于x的不等式x2+（a-6）x+9-3a〉0,當｜a|≤1時恒成立，則x的取值范圍是.所以只要4a大于的最大值即可,而的最大值為4，故4a〉4,a>1。(2)(分離參數(shù)法）由題意得a≥。令y=,則當x≥-1時，y=.由y’==0，得x=1,所以當—1≤x<1時，y'〉0,y<;當x〉1時,y'〈0,y<，因此當x≥-1時，ymax=。同理,當x〈-1時，y=—.由y'==0，得x=—3，所以當-3〈x<-1時,y’〈0,y<；當x<—3時，y’>0,y<,因此當x〈-1時，ymax=.綜上，當x∈R時,ymax=，故a≥。(3)（主參換位法)將原不等式整理為形式上是關于a的不等式（x—3)a+x2—6x+9>0。令f（a）=（x—3)a+x2-6x+9。因為f(a)>0在|a｜≤1時恒成立，所以若x=3,則f(a）=0,不符合題意，應舍去。若x≠3,則由一次函數(shù)的單調性,可得即解得x<2或x>4.【答案】(1）（1,+∞)（2）(3)（—∞，2)∪（4,+∞）3。親臨考場1.（2017河南豫北名校聯(lián)考）已知當-1≤a≤1時,關于x的不等式x2+（a—4）x+4—2a>0恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是?！敬鸢浮?-∞，1）∪(3，+∞)【解析】設g(a)=(x-2）a+（x2—4x+4)，因為x2+(a-4)x+4-2a〉0恒成立，所以g(a)〉因此整理，得解得x〈1或x〉3。2.已知關于x的不等式ax2+bx+c〈0的解集為,則關于x的不等式c(lgx)2+lgxb+a〈0的解集為【答案】考點54基本不等式考場高招4利用基本不等式求最值的方法1。解讀高招方法解讀適合題型典例指引直接法利用基本不等式解決條件最值的關鍵是構造和為定值或積為定值，對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解直接求解函數(shù)的最值典例導引4（1)轉化法有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件,但可以通過添項、分離常數(shù)、平方等手段使之能運用基本不等式。為使用基本不等式創(chuàng)造條件，從而求得最值不能直接用基本不等式求最值典例導引4（3)拼湊法將相關代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?，先通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，再利用基本不等式求解最值的方法求解.拼湊法的實質在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵已知關于變量的等式，求解相關代數(shù)式的最值問題典例導引4(2）2.典例指引4(1）若實數(shù)a，b滿足,則ab的最小值為()A。 B.2C.2 D.4(2)(2017河北衡水調研）若正數(shù)x,y滿足3x+y=5xy,則4x+3y取最小值時y的值為（)A。1 B。3（3)設a,b>0，a+b=5,則的最大值是.（2）因為正數(shù)x，y滿足3x+y=5xy,所以=5，所以4x+3y=（4x+3y)==5，當且僅當，即y=2x時取等號,故選A。(3)方法一(通法):設=m,=n，則m，n均大于零，因為m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2）≥（m+n)2，所以m+n≤，所以=3，當且僅當，即a=,b=時取等號，所以所求最大值為3。方法二（優(yōu)法）：令t=，則t2=()2=a+1+b+3+2≤9+a+1+b+3=18。當且僅當a+1=b+3,即a=，b=時取等號，即t的最大值為3【答案】（1)C（2）A(33。親臨考場1。（2013重慶，理3）（—6≤a≤3）的最大值為 (）A。9 B. C。3 D