高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

3.2.2數(shù)的運(yùn)算則情景引入Qingjingru如何求得下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？1．＝5

＋3－2

＋；2．＝x－x＋ln；xx3．＝－2.22新知導(dǎo)學(xué)Xinzhidaoxue導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和差的導(dǎo)數(shù)積的導(dǎo)數(shù)商的導(dǎo)數(shù)

[f(xgx)]′′xg′)[f(xgx′f′xgx＋(x)·g′x)ff[′gx≠ggY

預(yù)習(xí)自測(cè)uxizice1．已知函數(shù)fx＝＋，f′＝，則a值(A)A．C－[解析]f(xaxcf′x)2ax′2aa1.

B2D．2已fx＝x

ln，則f′x＝)eA．x

1Be＋xeC

x＋x

1D．＋xxe[解析]′(x(e)′lnex′exlnxx

ex1.x3函y＝4

＋的導(dǎo)數(shù)為)A．′43

B′cosxC′4x3＋

D．′＝x3

＋x1

[解析]y′(4sinx)(x4)′(sinx′4x3

cosx14曲fx＝3－25在x＝處切線的傾斜角為_(kāi)135°__.3[解析]′(x22xx112×1135°.5求列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x－2

；(2)y＝x

＋－2)；e(3)y＝.cosx[解析]′(sin22)′(sin)′x)′cos4x(2)y′(2x3)(32)(22

3)(3′4x3(223)12x

862

918x

8(3)y′

ecosx

′

xcos2x

e

sinxcos2x互動(dòng)探究解疑Hudongtanjiujieyi命題方向1

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用典例1求列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x＋2－1)；(2)y＝2sinx；12(3)y＝＋＋；xxx32(4)y＝tan－.cos[解析]′x1)2]′x1)x1)x1)′2(x1)((1)23x22

x2x3(4)y′′x2x3(4)y′′y(x21)(1)3x2x1y′(x

x21)′32

2x1.(2)y′(xsinx′(x′sinxx(sinx′2xsinxcosx.12314(3)y′′(2·x23·x3′x2x39x4.x3x42xsinxcos

′

x2x2cos2xxxcosxxxsin22sincos2xsinxcosxx2sinxx2tanxtan.cos2xcos2xcosx『規(guī)律方法』1.符導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則形式特點(diǎn)的函數(shù)求導(dǎo)可直接用公式，注意不要記錯(cuò)用混積商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則．f′①fxgx′≠′x)′；②′.gg′2．公式[(xgx′＝f′x)gx＋xg′x)的推廣為[()·f()·f(x…x′＝123nf′x)()()…x＋fx)f′x)f(x)(x)…f(x＋…＋)x…′x)123n1234n12n3．較為復(fù)雜的求導(dǎo)運(yùn)算，一般先將函數(shù)化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)．〔跟蹤練習(xí)1〕求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x；(2)y＝x＋＋x＋；x－(3)y＝.x＋[解析]′(·tan′

xxcosx

′

xxcos2xcosxsin2xcos2xxcosxx.cos2x(2)1y′1)(x2)(′[(xx2)](x3)(x3)[(x1)′x2)x1)(x2)′x(x1)(x2)2x1)(3)(x3

21′x21′x2)(2xx233x2

122(1)(x2)(3)(xx2)(xx36x2x6y′[(x2)(′(3

62

x6)3212x(3)1y′

′

x12x1x1222y1x1x1xy′

x

2′.命題方向2

利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)典例2(2019·云南昆明高二調(diào)研已知函數(shù)fx＝3＋2函數(shù)＝′x)圖象如圖所示，求fx)解析式．

＋過(guò)(1,5)，導(dǎo)[思路分析本主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)問(wèn)題察＝′x)的圖象可知y＝′x)過(guò)點(diǎn)1,0)、(2,0)，f′＝，′＝[解析]f′x)ax

bxc′′0f(1)5

c0b05

.yf(xx23x12.『規(guī)律方法』1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中求導(dǎo)數(shù)是一個(gè)基本解題環(huán)節(jié)，應(yīng)仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)法則求導(dǎo)數(shù)具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的結(jié)構(gòu)形式時(shí)先恒等變形，然后分析題目特點(diǎn)，探尋條件與結(jié)論的聯(lián)系，選擇解題途徑．2．求參數(shù)的問(wèn)題一般依據(jù)條件立參數(shù)的方程求解．〔跟蹤練習(xí)2〕偶函數(shù)fx)＝4

＋3＋＋＋的象點(diǎn)P(0,1)，在x＝處切線方為＝x－，y＝(x的解析式．4

＝x1a＝x1a[解析]f(xPe1.(xf)(x)ax3

cxax4

bx

cx2eb0df(xaxcx

1.(xx1yx2(1.′x)|424a21.5a，c259yf(xxx22命題方向3

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用x2典例3已曲線＝(x＝－1(>0)在＝處的切線為l，求l兩坐標(biāo)軸所a圍成的三角形的面積的最小值．11[解析]f(1)－1(－1)aax2xf′x)(′a2′(1)，a12y(xaaaya10.a1y02a1x0.a11a1××2a1111a)≥×24a4

11a×1a21a，11.1.『規(guī)律方法』求線的切線方要注意分清點(diǎn)是否是切點(diǎn)已知點(diǎn)是切點(diǎn)則可通過(guò)點(diǎn)斜式直接寫(xiě)方程，若已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則需設(shè)出切點(diǎn)．〔跟蹤練習(xí)3〕5

00000000000000函數(shù)fx＝－2－＋的象上有兩點(diǎn)和B，在區(qū)(0,1)內(nèi)求實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x的圖象在x＝處切線平行于直線AB.[解析]ABABf′x)3x2

21′a)1a2a112a.3學(xué)科核心素養(yǎng)Xuekehesuyang

綜合應(yīng)用問(wèn)題靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)結(jié)合解決相關(guān)問(wèn)題利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離積關(guān)的幾何問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題．典例已曲線fx)＝＋ax＋在點(diǎn)，－處切線方程是13－－32＝(1)求a，的值；1(2)如果曲線y＝(x)的某一切線與直線l：＝－x＋垂，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．4[思路分析由fx在點(diǎn)處的切線方程可知′(2)及6得的程組，解方程組可求出a、；(2)由曲線＝(x的切線與l垂，可得切線斜率＝′)從而解出，得切點(diǎn)坐00標(biāo)和k[解析](xax′x32af′13,(2)8a6a1b16.x(2)y＋34yf′214x±1.f(xx3y11161411618.4(x144(x18.y418y414.處與切線有關(guān)參數(shù)問(wèn)題時(shí)，一般利用曲線、切線的三個(gè)關(guān)系列方程求解．〔跟蹤練習(xí)4〕(2017·天卷已∈，設(shè)函數(shù)f(x＝－x的象在點(diǎn)，處切為，l6

在上的截距__1__.1[解析]f′xa，′a1.xaa1(ayax1)x01Y

易混易錯(cuò)警示iyicuoshi

準(zhǔn)確應(yīng)用公式cosx典例5若fx＝，求f′(．xcosxxsinxcos[錯(cuò)解]f(xf′xxx2xπsincos1′π)π22[解分析]

“分”“”cosx－sinx－[正解]∵(x＝，f(＝＝，xx2x－πsin－π1∴′π)＝＝.π2π2課堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收Ketangdashou1．(x＝4＋xA．C－

＋，若f′＝則值等于)B0D．2．曲線y＝xA．Ce

在點(diǎn)A(0,1)處切斜率(A)B21D．e13．若函數(shù)fx＝x3f′－1)·x＋＋，則′＝34．河區(qū)一模)知函數(shù)fx)＝x

，′x為(x)的函數(shù)，則f′＝[解析](xxx

′xxxexxx′0)e07

f′＝.tf′＝.t5設(shè)x)＝ax

π1－sinx，且′(0)＝，′＝，，的．32[解析]′x)2bcosxab1322一、選擇題1－1．曲線運(yùn)動(dòng)方程為＝＋tt2A．C10

A級(jí)基鞏固，則＝時(shí)速度為B)B8D．[解析]′

1t2

t2′(22′4tt32s′

228.82函y＝·lnx的數(shù)是C)A．′C′ln＋

1B′xD．′lnx＋1[解析]y′xxxx)′lnxln1.x3已fx＝3＋3x＋，若′－＝，則a的是D)19A．313C3

16B310D．3[解析]′x3ax

610′36364a.34邵陽(yáng)三模已函數(shù)fx)＝′－x

－2，則f′－＝(D)e2A．e2－

4Bee2－C4e

D．

4ee2－8

[解析]′xf′2)ex

2′′2)·e2·(4e′2).e21D.5揭一模已()＝x－實(shí)數(shù)足f′α＝f(α)＝A)4A．33C4

3B－44D．3[解析]′xcosxx′αcossin′α3(α)cosαα3sin2cosαα22×4.1223A6若數(shù)fx＝′(1)x3－x＋，則′的(D)A．C1

B－D．[解析]f′x3′x24′3′4f′2.二、填空題7．全Ⅱ文，曲線＝x點(diǎn)1,0)處切線方程__＝2－2__.[解析]2′，y′x

x1

02x2.π8．若曲線fx＝sin1在x＝處的切線與直線＋＋＝互相垂直則實(shí)數(shù)＝2__2__.[解析]f′x)(sinx′′xx·(sinx′sinxxcosxππππ′)sincos1.2229

a2y102a1×)a2三、解答題9．已知函數(shù)()＝3

＋2＋＋的象過(guò)點(diǎn)P，在點(diǎn)M(－，f(－處切線方程為－＋＝，函數(shù)f(x的解析式．[解析]fxP(0,2)d2()x2bxcM(1f(1))x6(1)70f(1)1′1)3.()xx2x2.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題11．不可能以直線＝＋作切線的曲線(C2A．＝xB＝x1C＝D．＝xx

bxcxf′x3x

111[解析]，y′<0y上k<0xx2x1b22若數(shù)fx＝πA．2C鈍角

x

sinx，則此函數(shù)圖象在點(diǎn)，處切線的傾斜角()B0D．角[解析]y′(exx4

sinxex

cosxx

4πe(sincos4)2e4sin(44x3曲y＝在(0f處切線方程為A)x＋A．－＝C－＝

B2x＝0D．x＝0

＝2x0000000000000000＝2x0000000000000000x′[解析]y′1k′|f(0)01yx2y0.2x214．滁分校下學(xué)期檢)已知曲線y＝－x的條切線的斜率為，切點(diǎn)的42橫坐標(biāo)為)A．C3

B－D．2或3[解析]xx1(xy)(xfx－′x2x602x2x20x)175．已知fx＝，(＝x2＋＋(m<0)，線與數(shù)fxgx的圖象都相切，且22與f(x圖象的切點(diǎn)(，(1))，的值為)A．1C－

B－D．21[解析]f′x)，xk′1f(1)0y1.g′xlgxy001xmyxy2mx，<022.D.二、填空題6天津文知函數(shù)fx)＝eln′x為(的導(dǎo)函數(shù)′值__e__.[解析]xe

lnxex′xxlnxf′e.x7．設(shè)∈，數(shù)f(x＝3＋2＋a－x的函數(shù)是f(，f′x是函數(shù)，則曲線y＝(x在原點(diǎn)處的切線方程_＝－3__.[解析]′x3x2(

0000000000000000000000000000000000000000000000000′xf′(x)x22((axRa0′x)3x2

′3fx3.三、解答題8．已知函數(shù)fx＝3

＋－(1)求曲線＝f(x在(，－處的切線的方程；(2)直線為線y＝x的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，