高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題專題解析-定值問題

圓錐曲線中的定值問題一、基礎(chǔ)知識：所謂定值問題指雖然圓錐曲線中的某些要?？赏ㄟ^變量進(jìn)行體現(xiàn)）有所變化，但在變化過程中，某個量的值保持不變即為定值。1、常見定問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表（有的甚至就是核心變量后行化簡，看能否得到一個常數(shù)。2、定值問的處理技巧：（1）對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個方向。（2）在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算二、典型例題：4例：已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線方程為x，3右焦點(diǎn)的實(shí)軸為AP為雙曲線上一點(diǎn)（不同于A,2線AA分別于直l:2

95

交M兩點(diǎn)（1）求雙曲線的方程（）試判FM是否為定值，若為定值，求出該值；若不為定值，請說明理由解1）由F

可c，且焦點(diǎn)在x軸上所以設(shè)雙曲線方程為：

x2y，則漸近線方程為x2a4

由a22解得：

5xy0025xy002x2y2雙曲線方程為（2）由（1可得：y120

0

設(shè)P:yx，聯(lián)立方解得M,x5

同理：設(shè):2

，聯(lián)立方程可得：N,kx

246kFM,5555256FM12525下面考慮計k的值1

k

y,k0x0

k

yx2上0ykk2x2

2221602x299

25625259所以FM為定值y3例2：已知橢圓a的離心率為，且過點(diǎn)a2b2（1）求橢圓方程

2（設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l:kx

，與該橢圓交于,Q兩點(diǎn)，直線OP,OQ斜率依次為k,k，且滿4，試問：k變化時212定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由

是否為

221221解1）e

ca

可得a:b:c:1:橢圓方程為2,：2b2b

1b

2

2

解得

a2x2橢圓方程為

2

（2）設(shè)y程可得：122

ykxxy

消去y可得：2，整理可得：

2

2

m

2

依題意可知：

k

ymmkkxxxx11224k4k1

1x12xk12xx2

①由方m可得：x12

km4x4

22

代入①可得：k

kmk2

，整理可得

m

2

2k

2

m

12可m2為定值，

的取值無關(guān)

2222b222222tt2222222b222222tt222y2例3：已知橢圓a過點(diǎn)Pab

,e

，動點(diǎn)M（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（）F為橢圓的右焦點(diǎn)，過FOM的垂線與OM為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證ON長為定值，并求出這個定值2解1）可得:c:1:12y261橢圓方程可轉(zhuǎn)化為：將,橢圓方程可得：22b22，解得x2橢圓方程為y（2）由（1可得：F

OM:y

t2

x思路一：通過圓的性質(zhì)可O，（設(shè)垂足K雙垂直可想到射影定理，從而ONOKOM，即可判定為定值FN:與FN相交于Kt則K:

txt

解得：

2tKtOK

42t

t

2

4

OM圓的直徑由射影定理可得：OKON2

ONOM

2t0000002t000000思路二：本題也可從坐標(biāo)入手，設(shè)y

，則只需證明ONx20

y20

為定值即可，通過條件尋找

y關(guān)系，一方面：FNOM，可得02ty方面由N

tt點(diǎn)在圓上求出圓的方程，2tt從而展開后即可得到x24解：設(shè)FNy00

22為定值0FN2

x

yt2xt2OM的中點(diǎn)坐標(biāo)為，t

r

t

ttOM為直徑的圓方程為：4tt代入xy，可得：y24tt2yx

2ty2x

y

ON2x2y例4：知橢圓:a的離心率為，半焦距為2

，且a，經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率1

1

的直線與橢圓交于A,點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢的方程（2）AR,BR分別與橢圓交C,D兩點(diǎn)，直線斜率，

2x5x22x5x211k求證：1為定值k解1

c，c2kaka3可得kkac2

2

2

2

xy2C（2）由（1可得Fyyy1233y可得：:y1xyxxx1yy聯(lián)立方程11y2y2yy94y2yy111x

4

xx1yx1

4y1xx11

同理，直線與橢圓交點(diǎn)D

y的坐標(biāo)為Dx2y4y1yxx4yyk415x5x3422211

421161

xx222141

設(shè)AB:y1

，代入可得：2

110001110001

y11141

2241

15y157k2xk7ky2例5：已知橢C的右焦點(diǎn)為F1,0，且點(diǎn)a22

32

在橢C上O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過橢C:2

2

2

上異于其頂點(diǎn)的任一Q，作O:x

2

y

2

4的3切線，切點(diǎn)分別為M,N（M,N不在坐標(biāo)軸上直線MN的橫縱截距分別為11,求證：為定值m2n2解F

y橢圓方程為a2

代入P

32

解得：a

2xy橢圓方程為（2）思路：由1）可得：C:1

x23y，可,，由題意可為44過作圓線切，所以MN:xy,從而得3

4nx

119，所以32248

20

，由橢圓方程可得x

20

20

4從而

1為定值3422解：由（1）可得C:44

yxy00000yxy00000Qy0

0

可知MN

是圓切線所產(chǎn)生的切點(diǎn)弦設(shè)My,是切點(diǎn)可得OMMQ,122k

1xk1xMQ:yyy

xx

，代入M

x：y11

xx

，即yx2y011

，同理可知對于NQ，有yyx22

222因?yàn)镸N在:x

2

y

2

4上3

2y2112y222

y101y20

M為直線xxyy0

上的點(diǎn)因?yàn)閮牲c(diǎn)唯一確定一條直線MN:xyy0

4y，即3由截距式可

44,n3y

1192y223161648Q在橢C上1

x

y

4

191xy即為定值32248432（1）本題定值是通過整體代入的手段，即抓住最x

23y的特點(diǎn)整體消去0x,所得，所以在處理定值問題時，涉及的變量個數(shù)可以多，但是要有一定的0條件保證能夠消去。（2）本題求直線MN方程的過程即為切點(diǎn)弦公式證明的過程，此時抓住兩點(diǎn)所在方程“同構(gòu)”的特點(diǎn)，從而確定直線方程

022022注：切點(diǎn)弦方程：過圓外一Q作:x

y

r

的切線，切點(diǎn)為A,，則切點(diǎn)弦AB的方程為：xxr0

2例6：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢C

x2y，x,為橢圓上任意一點(diǎn)。過原點(diǎn)作圓0

0

的兩條切線，分別交橢圓于P,（1）若直相互垂直，求R的方程（2）若直斜率存在，并記k，求證k是一個定值1（3）試問OP是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由解1）由R:

0

0

得r2OP

ORr，x

20

20

2y0聯(lián)立方程y16

xy2

或

x220或或02R方程為：x2y22x22

或2y或x2

或（2思路：可設(shè)直O(jiān)Py,OQ:yx，均與圓相切，可d1

kxi2i

（其i1,2化簡可得：可發(fā),k均滿足此0ii01方程，從k,k12

2xyk0

兩根。kk2

yx

，再利用橢圓方程消元即可得到定值解：OPyx:y1

222222OP

與R相切d

R

kx0

220

化簡可得yky2000對OQykx同理可得y02kk2

2

xy20

的兩根k

y2x

y202412

x

y

y1k22（3思路：設(shè)Py21221

1

y，由第222問所得結(jié)論，可以考慮通過聯(lián)立直線與橢圓方程將P,坐標(biāo)分別進(jìn)行表1示，再判斷是否為定值解：P,在坐標(biāo)軸上時，設(shè)y12

2

P

x2k2x22

,y2k2k21同理可得：x2,y22k2224224kx2xy222k2k22k2221

122k122k222122k122k2222

21k211

36k212k1

P,坐標(biāo)軸上（不妨設(shè)P在x軸）上，則POP36綜上所述，為定36例：已知橢:

x，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓b2為橢C準(zhǔn)圓的一個焦點(diǎn)

個端點(diǎn)到F的距離為（1）求橢方程及其“準(zhǔn)圓”方程（）P是橢C的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切l(wèi),l交“準(zhǔn)圓”1于點(diǎn)M①當(dāng)點(diǎn)P“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時，求直ll的方程并證ll1②求證：線段的長為定值解1）依題意可得a3

2b22

x

y

r

2

2

2:x

4（2）①由（1）可方程為：ykx聯(lián)立方程消去y可整理可得

2

2

2

2

22223y22223y222解得k所以PMyxPN:yPM②設(shè)0

0

PM:01

則

010

，消去y可得210

2

整理可得11001

0

kyx2100

36

xy

x

y200

整理后可得k001同理，對于設(shè)切線斜率k，則有：0

22

00

k

y

P在“準(zhǔn)圓”上2423x20

所以PMPN

MN“準(zhǔn)圓”的直徑為定值，4例8