2022屆北京高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知圓錐的高為3,底面半徑為石，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的

體積的比值為（）

532425

A.B.D.—

3~939

2.用電腦每次可以從區(qū)間（0,3）內(nèi)自動(dòng)生成一個(gè)實(shí)數(shù)，且每次生成每個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個(gè)

實(shí)數(shù)，則這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于1的概率為（）

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+初（。，對(duì)應(yīng)向量應(yīng)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)卜乙以射線Ox為始邊，OZ

為終邊旋轉(zhuǎn)的角為凡則z=r（cose+isin8）,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：4=〈（cosq+isin6>J,

)

z2=5(cosq+isinq),則=4與[cos(4+62)+zsin(6>+ft)],由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:

[r(cos0+isin^)];=rn(cosn0+isinn0),已知z=(指+i),則忖=()

A.2GB.4C.8有D.16

4.已知a=5^,0=logq逐/=logs2，則a，〃，c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

x2y2

5.已知耳，工分別為雙曲線C：=l（a>0/〉0）的左、右焦點(diǎn)，過月的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別

—.—.18Al4

交于A,8兩點(diǎn)，若48?BF?=。，?,二?=1，則雙曲線C的離心率為（)

|A引5

A.V13B.4C.2D.6

i_i

6.設(shè)z=：；~+2i,貝!J|z|=

1+1r

1L

A.0B.-C.1D.V2

2

'x+2y>2

7.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件y—xKl，若z=2x-y的最大值為2,則實(shí)數(shù)"的值為（）

y+l>kx

57

A.1B.-C.2D.-

33

8.已知向量￡=（1,0）,B=（l,百），則與2Z—B共線的單位向量為（）

9.一小商販準(zhǔn)備用5（）元錢在一批發(fā)市場(chǎng)購買甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價(jià)4元，乙每件進(jìn)價(jià)7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為

（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

10.已知斜率為A的直線/與拋物線交于A,B兩點(diǎn),線段A8的中點(diǎn)為（加>0）,則斜率A的取

值范圍是（）

A.B.C.（1,+<?）D.[1,+℃）

11.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝

才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還其意思為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起

腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請(qǐng)算出這人第四天走

的路程為（）

A.6里B.12里C.24里D.48里

12.若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加

強(qiáng)了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元，則目

前該教師的月退休金為（）.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.能說明“若/(x+l)</(x)對(duì)于任意的XG(O,-FW)都成立，則/(X)在(0,+8)上是減函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)

是.

14.已知。為矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，現(xiàn)從這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為

「、,、3〃+54

15.記等差數(shù)列｛%｝和也｝的前〃項(xiàng)和分別為S”和7”，若另一了萬，則R=.

16.已知a",c分別為AA6c內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊，a=J^,sinA=1?，匕="，則AA6c的面積為.

3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1e

17.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=-----,其中adR,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

xe

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)證明：當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0；

(HI)確定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)恒成立.

18.(12分)已知二，二C二，設(shè)函數(shù)二(二)=二二一二二一二、/二；+/

⑺若二=。，求二U)的單調(diào)區(qū)間：

(")當(dāng)二C[0,+為時(shí)，二(二)的最小值為0,求二+、3二的最大值.注：二=2,N828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

19.(12分)如圖為某大江的一段支流，岸線《與4近似滿足4〃4,寬度為7km.圓。為江中的一個(gè)半徑為2初?的

小島，小鎮(zhèn)A位于岸線4上，且滿足岸線4,OA,OA=3km.現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)A經(jīng)小島。至對(duì)岸的水上

通道ABC(圖中粗線部分折線段，8在A右側(cè))，為保護(hù)小島，3c段設(shè)計(jì)成與圓。相切.設(shè)

AABC=7i-e\Q<e<^\.

(1)試將通道ABC的長L表示成。的函數(shù)，并指出定義域；

(2)若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬元，則建造此通道最少需要多少萬元？

20.(12分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行

合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:

試銷價(jià)格

456789

X阮)

產(chǎn)品銷量y

898382797467

(件)

已知變量X，y且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲y=4x+53；乙

>=Tx+105；丙y=-4.6x+104,其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.

(1)試判斷誰的計(jì)算結(jié)果正確？

(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過1,則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中

隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x+3],g(x)=|2x-l|.

(1)解不等式/(x)<g(x)；

(2)若2/(為+8(刈>以+4對(duì)任意的實(shí)數(shù)“恒成立，求。的取值范圍.

22.(10分)函數(shù)/(x)=or-ln(x+l),g(x)=sinx,且/(x)..O恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的集合

(2)當(dāng)aeM時(shí)，判斷了。)圖象與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

(參考數(shù)據(jù)：In2ao.69,L.77)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

計(jì)算求半徑為R=2,再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：設(shè)球半徑為R,則R2=(3—R)2+J^,解得R=2.

4,321廠2X32

故求體積為：*=/穴=丁,圓錐的體積：匕=§乃6x3=3萬，故/=

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

2.C

【解析】

由幾何概型的概率計(jì)算，知每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為:，結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計(jì)算即可.

【詳解】

i/1y1

???每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為-..?.這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于1的概率為-=—.

3⑶27

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，是一道容易題.

3.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：[r(cose+isine)]"=r"(cosne+isin〃e),直接求解即可.

【詳解】

二16cos—+zsin—

I66)

=16cos^4x^+zsin^4x^=-8+8>/3z,

不卜八卜可=16.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形

式，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得〃再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將"c與I,1對(duì)比，即可求出結(jié)論.

【詳解】

17-1

由題知a=55>5°=l,l>Z?=log4V5>log42=-,

c=log,2<log5亞=；,則a>b>c.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小，注意與特殊數(shù)的對(duì)比，屬于基礎(chǔ)題..

5.A

【解析】

由已知得忸￡|=4x,由已知比值得|傷|=5x,|AB|=3x,再利用雙曲線的定義可用”表示出|A制，

用勾股定理得出的等式，從而得離心率.

\AF2\,a，c

【詳解】

—?—?—.—.忸用4

???ABBF^Q,AB^O,BF^0,.-.ZABF=90°.又???r-er=-.一.可令忸閭=4x,則|A勾=5乂］謖|=3兒設(shè)

222I|5

|A/j|=r,得=怛用-忸閭=2a,即5x-7=（3x+r）-4x=2a,解得/'=3a,x=a,

：.\BF2\=4a,\BFi\=\AB\+\Al^\=6a,

2

由忸E「+忸閭2=忻6「得（6a）2+（4a）2=Qc）2,c2=13a,c=J由，，該雙曲線的離心率6=:屈.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)AB到

焦點(diǎn)的距離都用。表示出來，從而再由勾股定理建立名。的關(guān)系.

6.C

【解析】

分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共扼復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)二，然后求解復(fù)數(shù)的模.

（匕i）（匕i）+2i

詳解:z=—+2i

1+i（j）（l+i）

=-i+2i=i,

則|z|=l,故選C.

點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共

鈍復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式

相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.

7.B

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出最優(yōu)解，轉(zhuǎn)化求解Z即可.

【詳解】

。（A。心1、

—+1LCX?—二7，要使得z能取到最大值，貝必＞1，當(dāng)1＜左42

k—lk-\）⑵+12k+\）

時(shí)，x在點(diǎn)8處取得最大值相，即2（1…］一（1+1）=2,得k=；；當(dāng)攵＞2時(shí)，z在點(diǎn)C處取得最大值，即

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想，分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

8.D

【解析】

根據(jù)題意得，2￡-坂=（1,-百）設(shè)與2￡-五共線的單位向量為（乂?。孟蛄抗簿€和單位向量模為L列式求出X，）'即

可得出答案.

【詳解】

因?yàn)椤?(1,0),b=(1,^3)9則2萬=(2,。)，

所以2力=（1,用,

設(shè)與y-B共線的單位向量為（x,y）,

-\[3x-y=0

則〈

x2+y2=\i

ii

x=—x=——

22

解得《或?

石

所以與2力共線的單位向量為自-雪或

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.

9.D

【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.

【詳解】

4%+7y<50,

設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別%,>利潤為z元，由題意,z=x+l.Sy,

.x,yeN,

畫出可行域如圖所示，

【點(diǎn)睛】

本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷x,)’是否是整數(shù)，是否是非負(fù)數(shù)，并準(zhǔn)確的畫出

可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

設(shè)4N，%),8(々，y2),設(shè)直線/的方程為：y=kx+b,與拋物線方程聯(lián)立，由A>0得初<1,利用韋達(dá)定理結(jié)

2

合已知條件得〃=2~-二A-，根=2：,代入上式即可求出〃的取值范圍.

kk

【詳解】

設(shè)直線/的方程為：y=kx+h,A（x,,%）,B（X2,必），

v-kx+b

聯(lián)立方程《「，消去)'得：k2x2+(2kb-4)x+h2=0,

y=4x

/.△=(2妨一4>一4父/>0,

:.kb<\9

4一2kbb1

且％%/L'中2=連

4

y+必=k(X[+x)+2b=-

2k9

.??線段AB的中點(diǎn)為（加＞。），

4-2kb.4c

"+七=丁=2,yl+y2=-=2m,

kk

,/m>09

??.Z>0,

把人=馬上代入kb＜l,得2—公＜1,

k

二.左2>1,

；.左＞1,

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.C

【解析】

1%（1一不）

設(shè)第一天走田里，則｛4｝是以外為首項(xiàng)，以不為公比的等比數(shù)列，由題意得$6=--------%=378,求出4=192（里

21-1

2

）,由此能求出該人第四天走的路程.

【詳解】

設(shè)第一天走為里，則｛4｝是以4為首項(xiàng)，以;為公比的等比數(shù)列,

由題意得：56=-----4=378,

1——

2

解得4=192（里），

4=4x（g）3=192x（=24（里）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化

思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可.

【詳解】

設(shè)目前該教師的退休金為X元，則由題意得：6000x15%-XX1O%=1.解得x=2.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.答案不唯一，如），=一卜：一；）

【解析】

根據(jù)對(duì)基本函數(shù)的理解可得到滿足條件的函數(shù).

【詳解】

由題意，不妨設(shè)=,

(1Y(|Y1

則/(%+1)-/(幻=一x+1――+x——=-2x——<0在(0,+8)都成立,

\4JI4J2

但是.f（x）在［0,是單調(diào)遞增的，在（；,+8］是單調(diào)遞減的,

說明原命題是假命題.

所以本題答案為y=-，答案不唯一，符合條件即可.

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)在（0,+"）上不是單調(diào)遞減的函數(shù)，再檢驗(yàn)是否滿

足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.

4

14.-

5

【解析】

基本事件總數(shù)〃=盤=10,這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和80。，由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率.

【詳解】

解：。為矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，

現(xiàn)從A，B,C,D,。這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，

基本事件總數(shù)〃=《=10,

這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種AOC和BOD,

這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為p=l-^2=|4.

4

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.1

5

【解析】

13（q+?。?/p>

結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得，=孕==生，求解即可.

場(chǎng)13瓦13（vy幾

【詳解】

由題意,幾=13（q十%）=13%，幾=13伯+九）

=13%

22

S3〃+5%_13%_%_3x13+5_11

因?yàn)橛小?7，所以百一西一刀-13+7一《.

故答案為:費(fèi)?.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

16.V2

【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理求得c=2,再運(yùn)用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

解：由于a=sinA=>b=底，

3

a<b,A<B>cosA=>

3

由余弦定理得逅="一+十一/，解得c=2,

32bc

]C

:.AASC的面積S=—x2xV6x———V2.

23

故答案為：血.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式，考查計(jì)算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)當(dāng)xe(0,￡=)時(shí)，/'W<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(吉,+8)時(shí)，/'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；(II)

詳見解析；(III)ae[1,+<?).

2

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能

力和計(jì)算能力.第(I)問，對(duì)求導(dǎo)，再對(duì)a進(jìn)行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第(II)問，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單

調(diào)性，從而證明結(jié)論，第(皿)問，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)(x>l),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)〃(x)的單調(diào)性，從而

求解a的值.

2ax1

試題解析：(I)f\x)=2ax--='-(x>o).

XX

當(dāng)aKO時(shí)，/(x)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(x)=0有x=后.

當(dāng)xe(0,)時(shí)，/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

-41a

當(dāng)XG(一金=,+8)時(shí)，f\x)>0,〃x)單調(diào)遞增.

d2a

(n)令s(x)=e*T-x,則s'(x)=e*T-1.

當(dāng)x>l時(shí)，s'(x)>0,所以e*T>x,從而g(x)=，--Jr>0.

xe

(IH)由(II),當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0.

當(dāng)aWO,x>l時(shí)，/U)=a(x2-l)-lnx<0.

故當(dāng)fM>g(x)在區(qū)間(L+oo)內(nèi)恒成立時(shí)，必有a>0.

11

當(dāng)°<"<2時(shí)’而>1.

由(I)有/(忐)</a)=o,而g(右)

>0,

所以此時(shí)/(X)>g(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)不恒成立.

當(dāng)?時(shí)，令〃(x)=f(x)-g(x)(X>1).

、t,,r?-L、C111-x111x—2x+1—2x+1

當(dāng)x>l時(shí)，h(x)=2ax——+=-e>x——+—r——=-------->--------->0.

xxxxxxx

因此，〃(劃在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞增.

又因?yàn)椤?1)=0,所以當(dāng)％>1時(shí)，/?(%)=/(x)-g(x)>0,即因x)>g(x)恒成立.

綜上，ae[-,+00).

2

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題

【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的

能力和計(jì)算能力.求函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是求/'(X),解方程/'(刈=0,再通過/'")的正負(fù)確定f(x)的單調(diào)性;

要證明不等式/(x)>g(x),一般證明/(x)-g(x)的最小值大于0,為此要研究函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)的單調(diào)性.本

題中注意由于函數(shù)〃(X)的極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍.比較新穎，學(xué)生不易想到,

有一定的難度.

18.⑺詳見解析；（〃）八二

【解析】

⑺求導(dǎo)得到二'（二）=二二一二討論二M。和二〉。兩種情況，得到答案.

（〃）二G）=、二v二一4二NO,故二+、,弓二三2、二,取二=誓，二=手，求導(dǎo)得到單調(diào)性,得到二（二）3=二（9=。，

得到答案.

【詳解】

（/）二（二）=二二一匚匚二'（匚）=二二一二，

當(dāng)二V。時(shí)，二'（：：）=二二一二2優(yōu)g成立，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)二＞。時(shí)，二'（：：）=二二一二=0,Z=InZ,當(dāng)二c（-K,ln二）時(shí)，二'（二）＜。函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)二e（In二+“）時(shí)，二’（二）＞。函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上所述：二w。時(shí)，二（二）在二上單調(diào)遞增；二＞。時(shí)，二（二）在（一七工二）上單調(diào)遞減，在（In二+“）上單調(diào)遞增.

（II）二（二）=二二-二二一二J二；+:＞。在二6[。+為上恒成立；

二Q）=?二-g二—一二N0,故二+/二＜2仁，

現(xiàn)在證明存在二二二+二=2、匕使二（二）的最小值為0.

取二=寫，二=手，（此時(shí)可使二'G）=0），

口'（匚）=e二一匚一三（匚）=e二一一二二=手＜/,

故當(dāng)二e[0,+H）上時(shí)，（匚；+DJ二；+/,e二21,故二”（二）之0,

二'（二施二e[0,+幻上單調(diào)遞增，二'《）=0,

故二（二）在[消上單調(diào)遞減，在9+工）上單調(diào)遞增，故二（二焉=二G）=0.

綜上所述：二+二的最大值為，二.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

,、八、9-3cos。,定義域是［百萬

19.(1)L(e)=------------4,(2)60

sine

【解析】

(1)以A為原點(diǎn)，直線4為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a(a>0),利用直線與圓相切得到

2_3cos

八-，八一,再代入L=AB+3C這一關(guān)系中，即可得答案;

sm夕

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得答案；

【詳解】

以A為原點(diǎn)，直線4為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

設(shè)A8=a(a>0),則8(。,0),0(0,3),/2:y=7.

因?yàn)镹ABC=zu—O[O<0<9

所以直線BC的方程為y=tan6?(x-,

即x-tan0-y-atan8=0,

|一3_Qtan810

因?yàn)閳A。與5c相切，所以0方=2,

3cos6+asine22-3cos夕

即，從而得。=

cos。cos。sin。

77cos^

在直線8C的方程中，令y=7,得z=ClH-------=a4---------

tan。sin。

所以BC217cosB7

=A/1+tan^|xft-xc|=-9

cos0sin。sin。

9-3cos6

所以L=AB+BC=aH-----

sin。sin。

22

當(dāng)a=0時(shí)，cos6=§,設(shè)銳角4滿足cos4=§,則4<6<]7,i

9—3cos0

所以乙關(guān)于6的函數(shù)是〃。）=———,定義域是

sin夕

（2）要使建造此通道費(fèi)用最少，只要通道的長度即入最小.

3sin2。-(9-3cos6)cose_3-9cos^f

八n

1(。)sin?。sin*1°<0<—

2

令L'（6）=0,得cos6=；,設(shè)銳角4,滿足cosq=；＜g,得&

列表：

0（%，a）4

〃（。）—0+

L(0)減極小值增

一/八\1y—JCOS（7.

所以6=4時(shí)，［L（e）］mm=-,所以建造此通道的最少費(fèi)用至少為60百萬元.

sin（?127，

3

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推

理能力、運(yùn)算求解能力.

20.（1）乙同學(xué)正確

3

（2）分布列見解析，￡（%）=-

【解析】

（1）由已知可得甲不正確，求出樣本中心點(diǎn)丘,?。┐腧?yàn)證，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，確定“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的可能值，并求出

概率，得到分布列，即可求解.

【詳解】

(i)已知變量匕)具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確,

...[=6.5,5=79,代入兩個(gè)回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確,

故回歸方程為：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回歸方程，計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

X456789

y898382797467

y898581777369

“理想數(shù)據(jù)”有3個(gè)，故“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的取值為：0,1,2,3.

尸(x=0)=等=卷，尸"=1)=等

P（X=2）=^i=N,P（X=1）=^^1

[）C；20'C；20

于是“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)X的分布列

X0123

1991

P

20202020

1aa1Q

,1.E（X）=0x—+lx—+2x—+3x—=-

',202020202

【點(diǎn)睛】

本題考查樣本回歸中心點(diǎn)與線性回歸直線方程關(guān)系，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)

計(jì)算能力，屬于中檔題.

2，…

21.(1)(—oo,—§)u(4,+°o)；⑵(-1,4].

【解析】

試題分析：

(1)將絕對(duì)值不等式兩邊平方，化為二次不等式求解.(2)將問題化為分段函數(shù)問題，通過分類討論并根據(jù)恒成立問

題的解法求解即可.

試題解析:

(1)由已知，可得k+3|<|2x—[,

即|x+3「<|2x-l|2.

整理得—10尤一8〉0,

解得尤卜，或x卜.

故所求不等式的解集為1-00,W（4,+00）.

—4x—5,xW—3,

⑵由已知，設(shè)/z(x)=2/(x)+g(x)=2|x+3|+|2x-1|=*7,—3<x<—,

2

4-x+5,x.

①當(dāng)xW-3時(shí)，只需-41-5>"+4恒成立,

即方<-4%一9,

*/x<—3<0,

—4x—9.9I一卡4

a>---------=-4——‘恒成乂.

xx

.(A9、

?.。>—4—,

CI>—1,

②當(dāng)-3<xjg時(shí),只需7jar+4恒成立,

即0￥—3<0恒成立.

一3。一340

只需<

-a-3<0

2

解得一1<QK6.

③當(dāng)xN，時(shí)，只需4x+5>以+4,恒成立,

2

即arv4x+l.

1八

?/x>—>0,

2

a<4a+1=4+—恒成立.

xx

?.?4+,>4,且無限趨近于4,

X

.*.4Z<4.

綜上。的取值范圍是

22.(1){1}；(2)2個(gè)，證明見解析

【解析】

(1)要恒成立，只要“X)的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看f(x)是否有最小值；

(2)將/(x)圖像與g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程f(x)=g(x)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)

夕(X)=/(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)/(X)的定義域?yàn)?—1,+8),因?yàn)??'(%)=a一——,

x+1

1。當(dāng)4,0時(shí)，/(》)<0,