第八講機器人動力學(xué)牛頓歐拉方程

第八講機器人動力學(xué)牛頓歐拉方程第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.6機器人的桿件的速度基本思路：

已知基座速度和各關(guān)節(jié)的相對速度，從基座速度開始，一步一步遞推出末端執(zhí)行器的速度。第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日、機器人的桿件的速度

機器人桿件的速度包括線速度和角速度，下面介紹如何從i桿件的速度遞推計算i+1桿件的線速度和角速度。如圖所示，設(shè)已知i桿件的速度為ωi和vi，i+1桿件繞Zi+1軸旋轉(zhuǎn)的角速度為。

第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日、機器人的桿件的速度

則：在{i+1}坐標(biāo)系中表示的i+1桿件桿的角速度為：

在{i+1}坐標(biāo)系中表示的i+1坐標(biāo)系原點的線速度為：在{i+1}中表示的i+1桿的角速度其中是在{i}中表示的指向{i+1}原點的距離。第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日、機器人的桿件的速度例1、一兩桿關(guān)節(jié)機器人如圖所示，計算以關(guān)節(jié)速度為函數(shù)的手尖處的速度。第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日、機器人的桿件的速度解：1、建立坐標(biāo)系，如圖：

2、求位姿矩陣：第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日、機器人的桿件的速度得：1桿在{1}中表示的速度第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日、機器人的桿件的速度如果在基座坐標(biāo)系中表示，僅需乘以R03。則：第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日、機器人的桿件的速度例2、試求例1中兩桿關(guān)節(jié)機器人的雅克比矩陣。解：由例1知：則：及第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日、機器人的桿件的速度

雅克比矩陣的行數(shù)等于笛卡爾空間自由度，列數(shù)等于機器人的關(guān)節(jié)數(shù)。同理，我們可以求相對基座坐標(biāo)系的雅克比矩陣。所以：10第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日、機器人的桿件的速度

雅克比矩陣的逆為：

當(dāng)手尖沿X方向以速度1m/s運動時，由雅克比逆矩陣可得：

當(dāng)θ2=0時，上式分母為零，兩關(guān)節(jié)速度將趨于無窮大，它對應(yīng)機器人的奇異位置。第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日第4章機器人操作動力學(xué)4.1、概述4.2、機器人的牛頓-歐拉動力學(xué)方程4.3、機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.1、概述為什么要研究機器人的動力學(xué)問題？

1、為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，機器人的運動是作用于關(guān)節(jié)上的力矩與其他力或力矩作用的結(jié)果。

2、力或力矩的作用將影響機器人的動態(tài)性能。第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.1、概述機器人動力學(xué)研究內(nèi)容：正問題：已知作用在機器人機構(gòu)上的力和力矩，求機器人機構(gòu)各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度，即：F=ma。反問題：已知機器人機構(gòu)各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求作用在各關(guān)節(jié)上的驅(qū)動力或驅(qū)動力矩，即：am=F。第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.1、概述機器人動力學(xué)研究方法：目標(biāo)：根據(jù)機器人機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點、運動學(xué)和動力學(xué)原理，提出通用、快捷的建立動力學(xué)方程的方法。數(shù)學(xué)工具：矢量方法、張量方法、旋量方法及矩陣方法等。力學(xué)原理：動量矩定理、能量守恒定理、牛頓－歐拉方程、達朗貝爾原理、虛功原理、拉格朗日方程、哈密爾頓原理、凱恩方程等。第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.1、概述幾項假設(shè)：

1、構(gòu)成機器人的各桿件都是剛體，即不考慮桿件的變形。

2、忽略各種間隙等因數(shù)的影響。

3、暫不考慮驅(qū)動系統(tǒng)的動力學(xué)。15第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程

機器人動力學(xué)的特點：

1、串聯(lián)機器人由多個桿件經(jīng)關(guān)節(jié)軸串聯(lián)構(gòu)成，屬于多體動力學(xué)的研究范疇。

2、各桿件的速度、加速度是關(guān)節(jié)位置及時間的函數(shù)，隨機器人桿件構(gòu)形的不同而改變。

3、機器人動力學(xué)的計算復(fù)雜，多采用數(shù)值遞推的方法計算。第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程我們知道：剛體運動

=質(zhì)心的平動+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動其中：質(zhì)心平動：用牛頓方程描述。繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動：用歐拉方程定義。它們都涉及到質(zhì)量及其分布，我們先復(fù)習(xí)一下轉(zhuǎn)動慣量的計算。第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程

如圖所示，設(shè)剛體的質(zhì)量為，以質(zhì)心為原點的隨體坐標(biāo)系下的慣量矩陣由六個量組成，表示為：一、慣量矩陣（張量）圖3.1式中：第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程

慣量矩陣中的元素稱為慣量矩(Massmomentsofinertia)，而具有混合指標(biāo)的元素稱為慣量積(Massproductsofinertia)。對于給定的物體，慣量積的值與建立的坐標(biāo)系的位置及方向有關(guān)；如果我們選擇的坐標(biāo)系合適，可使慣量積的值為零。這樣的坐標(biāo)系軸稱為主軸（Principleaxes）,相應(yīng)的慣量稱為主慣量。事實上，主慣量是慣量矩陣的三個特征值。第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程平行軸定理（Parallel-axistheorem）:

已知相對于某一原點位于物體質(zhì)心坐標(biāo)系{C}的慣量張量，坐標(biāo)系{A}平行于坐標(biāo)系{C}，則相對于{A}坐標(biāo)系的慣量張量為：其中：為質(zhì)心相對于{A}坐標(biāo)系的坐標(biāo)。20第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程二、牛頓—歐拉方程我們假設(shè)機器人的每個桿件都為剛體，為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，運動桿件所需要的力或力矩是所需加速度和桿件質(zhì)量分布的函數(shù)；牛頓方程和用于轉(zhuǎn)動情況的歐拉方程一起，描述了機器人驅(qū)動力矩、負載力（力矩）、慣量和加速度之間的關(guān)系。第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程

我們先研究質(zhì)心的平動，如圖4.1所示，假設(shè)剛體的質(zhì)量為，質(zhì)心在C點，質(zhì)心處的位置矢量用表示，則質(zhì)心處的加速度為；設(shè)剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度用表示，繞質(zhì)心的角加速度為，根據(jù)牛頓方程可得作用在剛體質(zhì)心C處的力為：圖4.1第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程

根據(jù)三維空間歐拉方程，作用在剛體上的力矩為：圖4.1

以上兩式合稱為牛頓—歐拉方程。式中，M為作用力對剛體質(zhì)心的矩，為繞質(zhì)心的角速度和角加速度。第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程三、加速度計算1、線加速度

如圖所示，設(shè)坐標(biāo)系i與i-1桿固聯(lián)，其原點加速度為ai-1,角速度為ωi-1;Oi+1隨桿件i相對i坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，相對轉(zhuǎn)速為

。P為i桿上任意一點。15第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程Pi點的相對速度和加速度為：

Pi點的絕對加速度為：erk代入并化簡得：即：上述參數(shù)都是在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中表示的。26第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程i+1坐標(biāo)系原點的加速度為：設(shè)i桿件質(zhì)心為ci,則其加速度為：2、角加速度

i桿的角加速度為：第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程四、作用力和力矩

計算出每個桿件質(zhì)心的加速度后，我們可以應(yīng)用牛頓-歐拉方程來計算作用在每個桿件質(zhì)心的慣性力和慣性力矩。根據(jù)牛頓-歐拉方程，有：28第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日4.2機械人的牛頓—歐拉方程圖2構(gòu)件受力圖

如圖2所示，將第i個構(gòu)件Li作為隔離體進行分析，作用在其上的力和力矩有：

作用在i桿件上的外力和外力矩，i-1桿件作用在i桿件上的力和力矩，以及i+1桿件作用在i桿件上的力和力矩。29第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程其中：

Fi+1,i—構(gòu)件Li+1作用在構(gòu)件Li上的力。Mi+1,i—構(gòu)件Li+1作用在構(gòu)件Li上的力矩。Fi-1,i—構(gòu)件Li-1作用在構(gòu)件Li上的力。Mi-1,i—構(gòu)件Li-1作用在構(gòu)件Li上的力矩。Fi—作用在第i個構(gòu)件Li上的外力簡化到質(zhì)心C處的合力，即外力的主矢。Mi—作用在第i個構(gòu)件Li上的外力矩簡化到質(zhì)心C處的合力矩，即外力的主矩。第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

上述力和力矩包括了運動副中的約束反力、驅(qū)動力、摩擦力等引起的作用力和作用力矩。作用在第i個構(gòu)件上的所有力化簡到質(zhì)心的總的合力為：它們都在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中表示。第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程相對于質(zhì)心的總的合力矩Mi為：

最后，為了便于遞推計算，重新安排力和力矩計算公式為：第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

i桿件需要的關(guān)節(jié)力矩為相鄰桿件作用于它的力矩的Z分量，即：牛頓-歐拉方程的遞推算法：由兩部分組成：首先，從1號桿到n號桿，向前遞推計算各桿的速度和加速度。然后，再從n號桿到1號桿，向后遞推計算作用力和力矩，以及關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。算法過程總結(jié)如下：第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程向前遞推：i:0→6向后遞推：i:6→1慣性力慣性力矩條件：基礎(chǔ)桿件和各關(guān)節(jié)的角速度和角加速度已知第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

引力對桿件作用的影響可以通過設(shè)置來實現(xiàn)，這里，G為引力常數(shù)。上面給出了關(guān)節(jié)型機器人的動力學(xué)計算方法，對于移動關(guān)節(jié)可以推導(dǎo)相應(yīng)的方程。對一些相對簡單的問題，用上述方法，也可能得到閉式解析結(jié)果。上述遞推算法是一種通用算法，可以用于任意自由度數(shù)的關(guān)節(jié)型機器人。第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例圖3平面兩自由度機器人機構(gòu)例1如圖3所示的平面兩自由度機器人機構(gòu)。連桿L1質(zhì)心為C1，質(zhì)量為m1，驅(qū)動力矩為m1=[00m11]T，角速度為ω1=[00ω1]T,加速度為ε1=[00ε1]T;連桿L2質(zhì)心為C2，質(zhì)量為m2，驅(qū)動力矩為m2=[00m22]T，角速度為ω2=[00ω2]T,加速度為ε2=[00ε2]T，第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例

選取關(guān)節(jié)O和關(guān)節(jié)A處的轉(zhuǎn)角θ1和θ2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，可以寫出連桿L1的牛頓—歐拉方程為:連桿L2的牛頓—歐拉方程為:式中:重力驅(qū)動力矩第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例由以上幾式消去桿件間作用力，可解得:考慮質(zhì)心位置：求導(dǎo)得：第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例另外：第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例有：即：對m22可同樣寫出矩陣方程。代入加速度分量，得：第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例化簡可得：

上式即為各桿件關(guān)節(jié)的驅(qū)動力計算公式，它是一個以角加速度為變量、變系數(shù)的非線性動力學(xué)方程。第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例以上兩式進一步寫成：式中：

系數(shù)是位置的函數(shù)第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例

例2：如圖所示為兩桿平面機器人，為了簡單起見，我們假設(shè)每個桿件的質(zhì)量集中于桿件的尾部，其大小為m1和m2。解：每個桿件的質(zhì)量中心矢量為：

由于點質(zhì)量假設(shè)，每個桿件相對質(zhì)心的慣性張量為零，即：第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例末端執(zhí)行器上無作用力，所以：基座靜止，因此：考慮到引力，我們使用：第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例應(yīng)用遞推公式有：向前：1桿件：第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例2桿件：第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例向后遞推：2桿件：1桿件：第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日牛頓—歐拉方程實例取力矩的Z分量，得到關(guān)節(jié)力矩：第四十九頁，共五十五頁，2022年，8月