2020年數(shù)學(xué)高考真題卷-江蘇卷理數(shù)（含答案解析）

2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?江蘇卷

數(shù)學(xué)I

本試卷均為非選擇題(第1題第20題，共20題).本卷滿分為160分,考試時(shí)間為120分鐘.

參考公式：

柱體的體積V=Sh,其中S是柱體的底面積是柱體的高.

一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分.

1.已知集合/!=｛-1,0,1,2｝,8=｛0,2,3｝,則AQB=.

2.己知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=(l+i)(2-i)的實(shí)部是.

3.已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是.

4.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)和為5的概率

是.

5.如圖是一個(gè)算法流程圖.若輸出y的值為2則輸入x的值是.

6.在平面直角坐標(biāo)系xa中，若雙曲線［4=1(a?)的一條漸近線方程為y4用則該雙曲線的離

a452

心率是.

7.已知尸/U)是奇函數(shù)，當(dāng)C0時(shí)，f(x)丁，則f(~8)的值

是,第5題

8.已知sin"(-^-+。)號(hào)則sin2a的值是.

9.如圖,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高

為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

(第9題)

10.將函數(shù)尸3sin(2x4)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程

46

是.

11.設(shè)｛a,,｝是公差為d的等差數(shù)列，｛“是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列｛a場(chǎng),｝的前〃項(xiàng)和S“用-n包-15

€N*),則d+q的值是.

12.已知bxj^+y-\(x,yGR),則的最小值是.

13.在△板'中，盼4,AC^>,/胡廣90°,〃在邊BCE延長(zhǎng)皿至IJP,使得仍9,若同切麗嗎，卮(以為常

數(shù))，則切的長(zhǎng)度是,

(第13題)

14.在平面直角坐標(biāo)系初中，已知尸喙0）,46是圓工+（6）2=36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足為=陽(yáng)，則△為6面

積的最大值是.

二、解答題:本大題共6小題，共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿分14分）

在三棱柱ABC-ABQ中，4人的平面ABC,E,廠分別是AC,6C的中點(diǎn).

⑴求證:）〃平面陽(yáng)G;

（2）求證:平面平面ABBx.

（第15題）

16.（本小題滿分14分）

在?中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=3,c=yf2,生45°.

⑴求sin。的值；

（2）在邊況1上取一點(diǎn)〃使得cosNADC=±求tan/%C的值.

（第16題）

17.（本小題滿分14分）

某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底。在水平線棚上,橋AB與助V平

行,0。'為鉛垂線（0'在"上）.經(jīng)測(cè)量,左側(cè)曲線10上任一點(diǎn)〃到楸,的距離力（米）與〃到比'的距離a（米）

之間滿足關(guān)系式加=^;右側(cè)曲線8。上任一點(diǎn)尸到網(wǎng)，的距離友（米）與廠到00'的距離從米）之間滿足關(guān)系

40

式后」；護(hù)6b.已知點(diǎn)8到0。'的距離為40米.

800

（1）求橋的長(zhǎng)度；

（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于0。'的橋墩w和EF,且CE為80米,其中C,￡在4?上（不包括端點(diǎn)）.橋墩EF

每米造價(jià)-萬(wàn)元），橋墩切每米造價(jià)|0萬(wàn)元）（"為），問(wèn)為多少米時(shí)，橋墩CD與"的總造價(jià)最低？

（第17題）

18.（本小題滿分16分）

在平面直角坐標(biāo)系X0中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F\,見點(diǎn)4在橢圓〃上且在第一象限

43

內(nèi)，4月，直線力內(nèi)與橢圓￡相交于另一點(diǎn)B.

(1)求的周長(zhǎng)；

(2)在x軸上任取一點(diǎn)P,直線與橢圓￡的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,求而?評(píng)的最小值；

⑶設(shè)點(diǎn)M在橢圓6上,記△如8與△也6的面積分別為S,W,若SWS,求點(diǎn)."的坐標(biāo).

(第

18題)

19.(本小題滿分16分)

已知關(guān)于x的函數(shù)y=f{x),y=g⑺與爾x)=kx+b1k,b6R)在區(qū)間〃上恒有f{x)》g(x).

⑴若/(%)=x+2x,g(x)=T+2x,D=(-8,+OO)!求力J)的表達(dá)式；

⑵若f{x}=x-x+].,g(x)=41nx,A(x)=kx-k,Z?=(0,+°°),求k的取值范圍；

⑶若f{x}=x-2x,g(x)為f-8,A(x)=4(t3~t)x-311+21~(0<\i]<V2),D=\.m,ri\U[-V2,V2],求證:n-危巾.

20.(本小題滿分16分)

已知數(shù)列｛&｝(〃GN*)的首項(xiàng)a產(chǎn)1,前〃項(xiàng)和為S,.設(shè)兒與衣是常數(shù),若對(duì)一切正整數(shù)n,均有點(diǎn)1dH+i

成立,則稱此數(shù)列為“AV數(shù)列.

(1)若等差數(shù)列｛a｝是“，力”數(shù)列,求才的值；

⑵若數(shù)歹U｛a｝是“日2”數(shù)列,且當(dāng)?,求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

(3)對(duì)于給定的乙是否存在三個(gè)不同的數(shù)列｛a｝為“4年”數(shù)列，且a,,，0?若存在，求才的取值范圍;若不存

在，說(shuō)明理由.

數(shù)學(xué)W(附加題)

本試卷均為非選擇題(第21題第23題).本卷滿分為40分,考試時(shí)間為30分鐘.

21.【選做題】本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題作答.若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分.解答

時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

A.［選修4-2:矩陣與變換］(本小題滿分10分)

a1

平面上點(diǎn)4(2,-1)在矩陣加對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)6(3,").

-1b

(1)求實(shí)數(shù)為，的值；

(2)求矩陣材的逆矩陣”.

B.［選修4/:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本小題滿分10分）

在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在直線？：ocos?之上,點(diǎn)8（02,看）在圓，:。文行《上（其中02O,OW

。<2口）.

⑴求小，G的值；

（2）求出直線，與圓C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).

C.［選修4-5:不等式選講］（本小題滿分10分）

設(shè)xWR,解不等式2|工1+|x|<4.

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

22.（本小題滿分10分）

在三棱錐A-BCD中,已知CB=CD^［S,BD2。為物的中點(diǎn),4。，平面BCD,月0之，E為〃'的中點(diǎn).

（1）求直線4?與況'所成角的余弦值；

⑵若點(diǎn)尸在BC上,滿足BF^-BC,設(shè)二面角F-DE-C的大小為外求sin0的值.

4

（第22題）

23.（本小題滿分10分）

甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另

一口袋,重復(fù)n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為乂恰有2個(gè)黑球的概率為乩,恰有1個(gè)黑球的概率為

（1）求R,s和生；

⑵求與2P八+qz的遞推關(guān)系式和&的數(shù)學(xué)期望￡U）（用〃表示）.

1234567891011121314

12V3-

1315五4、或0

{0,2}32-3-4尸—一410V5

923JI245

2

1.{0,2)【考查目標(biāo)】本題主要考查集合的交運(yùn)算，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】由交集的定義可得408={0,2}.

2.3【考查目標(biāo)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、實(shí)部的概念，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】復(fù)數(shù)2=(1/)(2討)=3打，實(shí)部是3.

【答題模板】確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,要利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)化為z=a+6i(a,6GR)的形式,其中a

是實(shí)部,6是虛部.

3.2【考查目標(biāo)】本題主要考查考生對(duì)平均數(shù)的理解和應(yīng)用，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析.

【解析】由平均數(shù)公式可得空絲用笆目,解得a%

【題型風(fēng)向】統(tǒng)計(jì)題以頻率分布直方圖等統(tǒng)計(jì)圖表或平均數(shù)、方差等數(shù)字特征為主要考向，本題對(duì)平均

數(shù)的考查是主要考向之一.

4.；【考查目標(biāo)】本題主要考查古典概型，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理.

【解析】將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)共有36種情況,其中點(diǎn)數(shù)和為5的情

況有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種,則所求概率為卷。

369

【誤區(qū)警示】古典概型中基本事件的計(jì)數(shù)一般利用列舉法,注意列舉要按照一定的順序,避免重復(fù)和遺漏.

5.-3【考查目標(biāo)】本題主要考查算法流程圖,考查考生的讀圖能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

［解析】由流程圖可得片(寰0則當(dāng)片一2時(shí),可得或{:+1=-2得E.

6.|【考查目標(biāo)】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】由雙曲線的一條漸近線方程為得2岑,則該雙曲線的離心率11+(-)24

2a2ay/a2

【歸納總結(jié)】若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則漸近線方程是y=±-x,若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,則漸近線方

a

程是y=±^x,不能混淆.

7./【考查目標(biāo)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

22

【解析】由題意可得A-8)-A8)=擊=~2了=-22=4

8.|【考查目標(biāo)】本題主要考查降暴公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】因?yàn)槲鰊《+a)V所以“cosy+2a、,號(hào)把V得$行2a

4323233

【二級(jí)結(jié)論】降暴公式sin2。上等,cos2a上等是二倍角余弦公式的變形式.

9.12國(guó)《【考查目標(biāo)】本題主要考查空間幾何體的體積，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】正六棱柱的體積為6乂￥乂22乂2=12%(cm%圓柱的體積為JTX0.52X2三(cm)則該六角螺帽

毛坯的體積為(12V5《)cm3.

【解題關(guān)鍵】求幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征,再利用相應(yīng)的體積公式求解.

10.x=^~【考查目標(biāo)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】將函數(shù)y=3sin(2x4)的圖象向右平移；個(gè)單位長(zhǎng)度,得至U“sin[2(x9)g]=3sin(2x9)的圖

466412

象，由,kez,得對(duì)稱軸方程為xq+kK,kez,其中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程為廣差.

12224224

【易錯(cuò)警示】解決此類試題時(shí)，經(jīng)常因?yàn)椴焕斫鈭D象平移變換的規(guī)則而出錯(cuò),要注意“左加右減”是對(duì)自

變量X來(lái)說(shuō)的.

11.4【考查目標(biāo)】本題主要考查等差、等比數(shù)列的知識(shí),考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】通解當(dāng)77-1時(shí)，S和以=1。當(dāng)?shù)?2時(shí).，&場(chǎng)產(chǎn)S-S-i-2+2"則出+也=\②、女+也工

③,包班1二14④②-(ZWd+bi(q7)3⑤,③一引導(dǎo)d+bAq-V)乂⑥,@一位導(dǎo)d+bKq-l)鼻⑦、⑥一西導(dǎo)th(。一1尸二1,

。2([-1)2?，則q2匕=1,d=2,所以d+q=4.

優(yōu)解由題意可得S=a/=1,當(dāng)時(shí)，a+b否S「Sn-2+2"：易知當(dāng)n=\時(shí)也成立，則國(guó)小(〃-1)d+b\q

;而七i-d必。"9〃-2+2'"對(duì)任意正整數(shù)〃恒成立,則以2,gWd+q=4.

光速解由等差數(shù)列和等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的特征可得等差數(shù)列｛劣｝的前〃項(xiàng)和〃=〃等比數(shù)列｛況的前

〃項(xiàng)和。女T,貝lj/2,q-2,d+q-L

【方法總結(jié)】公差為，的等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S-=A#+Bn,其中渭,8=,三;公比為q的等比數(shù)列｛4｝

的前〃項(xiàng)和T,.=C-Cq,其中心(公比0不等于1).

l-q

12.1【考查目標(biāo)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】解法一由502歹=1得「言與,則/曠言考22昌?冬W，當(dāng)且僅當(dāng)&W，即y=時(shí)

5y255y25、5y2555y252

取等號(hào),則V+爐的最小值是，

解法二4=(5x2+y)?4/W［史也經(jīng)竺］專Q2+丫2)2,則八爐靈，當(dāng)且僅當(dāng)電產(chǎn)2,即了胃,「力時(shí)

取等號(hào),則f+爐的最小值是:

【方法總結(jié)】基本不等式是求解最值的重要方法,要注意“一正二定三相等”.

13.當(dāng)或0【考查目標(biāo)】本題主要考查向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯

推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解析】解法一以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)，通的方向?yàn)閤軸的正方向，近的方向?yàn)閥軸的正方向建立平面直

角坐標(biāo)系，設(shè)方二4而，AG［0,1］,則〃(4(3-3^),AD^AC+ACB=AAB+(l-A)AC,又點(diǎn)P在加的延長(zhǎng)線

上,則可設(shè)壽?被"，又對(duì)口(麗衣)號(hào)玩逝麗卓玩,則兩加須-彳?)(AC-AP),|AP=mAB+(|-

ni)~AC,則2niAB+(3-2///)~AC=AP=PAD=P~AB+/J(1-4)前,所以2m=入p,3-2加=△-Ap,所以又4°=9,

則AD^,,所以(4乂)2,(3-34)2=9,得/卷或4=0,則面/關(guān)/CB/關(guān)X<32+42號(hào)或,!CD/=0X/CB/=0.

解法二由題意可設(shè)方=/方=兒［“而+(1-〃)正］=4〃而+(乂-/“)無(wú)，其中4>l,0W〃Wl,又

PA-mPB心力)元,所以7得4三,即罌月,又為當(dāng)則/麗六6,而/%,所以AD=AC.當(dāng)〃與C重

2=--Tn,2I產(chǎn)〃I2

合時(shí)，CD=Q,當(dāng)〃不與C重合時(shí)，有所以/。%180°TNACD,在△/切中，由正弦定理可得

CD——?jiǎng)t力。Sin(180-)_sin2/4CD.值叱W1〃之第X3史.綜上,修營(yíng)或0.

sinZCADsinN4cosinN4cosinNACO555

【方法總結(jié)】求解線段的長(zhǎng)度可在坐標(biāo)系中利用兩點(diǎn)間的距離公式求解，也可在三角形中利用正弦定理、

余弦定理求解,還可結(jié)合向量的模求解.

14.10V5【考查目標(biāo)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查的核

心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【思維導(dǎo)圖】

通解設(shè)圓心C到直線16的距離為。圓―三角形的面積公式》用d表示出△陽(yáng)8的面積§令d+「；構(gòu)造/(f)

求氣/?*)的單調(diào)性一函數(shù)最值一得解

當(dāng)AB過(guò)點(diǎn)C時(shí)一?

---------------"■s玉，泄=°---------------------

連接C4,_

CBFC

當(dāng)仍在點(diǎn)。的左上方時(shí)?記直線PC與傷的交點(diǎn)為O,

設(shè)乙ACD=8—^AB=2AD=12sinCD=6cos0-?

△PAB的面積S關(guān)于e的表達(dá)式號(hào)s的單調(diào)

性一最值----------------------------------

優(yōu)解△PAB面積的最大值-------

【解析】通解連接。，細(xì)則。毛?，連接力由為=加且。==得47的垂直平分線是直線小設(shè)圓心C

到48的距離為d（0Wd<6）,易知當(dāng)△陽(yáng)8的面積最大時(shí)，點(diǎn)尸到直線4?的距離為d+PC=d+\,AB必36一d2,

△乃山的面積S』/8(d+l)^X2V36-d2(衣1)、/36(d+l)2-d2(d+l)2,令d+\=t,t￡[1,7),則

223s2

S力36t2a1戶2,令/(f)=361-(t-1)t^-t'*21*35?,te[l,7),貝Uf'(t)=^ltt+701=-21(t-5)(2^7),

由f'⑺項(xiàng)得t=5,則當(dāng)td[l,5)吐F'⑺X),F(t)單調(diào)遞增，當(dāng)y⑸7)時(shí),F'("<0,f(t)單調(diào)遞減，

所以F(?w=f(5)-500,則△為8面積的最大值為10V5.

優(yōu)解如圖,連接CA,CB,則CA=CB,連接PC,由PA=PB且CA=CB,得/L?的垂直平分線是直線CP.當(dāng)加經(jīng)過(guò)點(diǎn)

C時(shí)，△為占的面積5-1X12X1-6.當(dāng)兒?在點(diǎn)C的左上方時(shí),記直線PC與4?的交點(diǎn)為D,設(shè)0,OQ

(0,g),貝I」之1〃=12sin0,G9=6cos〃，則的面積耳/占?必WXI2sin0(6cos〃+l)=36sin0

cos。用sin夕，貝!|S'=36cos2，-36sin~'。用cos夕=36cos2。抬cos=6(12cos20Aios。-6),由S'=0

得cos叱(舍去cos”■),且當(dāng)0sos飛時(shí),S'<0,S單調(diào)遞減;當(dāng)|Sos6<1時(shí),S'_X),S單調(diào)遞增，所

以當(dāng)cos〃三時(shí)，S取得最大值,且S,x=36XJ1-(|)2、|傷XJl-(|)2-10>/5.綜上,△陽(yáng)占面積的最大值

為10V5.

15.【考查目標(biāo)】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等知識(shí),考查空間想象

能力和推理論證能力.

【解題思路】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得線線平行,利用線面平行的判定定理即可證明；（2）利用線面

垂直的判定和性質(zhì)、面面垂直的判定證明.

解：（1）因?yàn)椤晔謩e是/C5c的中點(diǎn)，r

所以EF//A&.//

又網(wǎng)平面/5G,48iu平面仍G,/

所以￡F〃平面留G.

H

⑵因?yàn)?d平面18C/氏平面/陽(yáng)（第15題）

所以笈紅仍

又ABLAC,B、Cu平面ABC

ACci平面4?。B^AC=C,

所以股，平面ABC

又因?yàn)锳B^平面ABBx,

所以平面48CJ_平面ABBx.

【解題關(guān)鍵】熟記空間直線與平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理是正確解題的關(guān)鍵.

16.【考查目標(biāo)】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角公

式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.

【解題思路】（1）利用余弦定理、正弦定理求解；（2）利用兩角和的正切公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

求解.

解：⑴在△心。中，因?yàn)閍瑪c*,比45°,

由余弦定理O'J+c'eaccos6,得〃R+2-2X3X&COS450=5,

所以Z?=x/5.

A

在△｛比中，由正弦定理上一P

sinBsinC/

wnc.

得￡呼,（第16題）

sin45smC

所以sinC專.

（2）在中，因?yàn)閏osN4T=g所以為鈍角，

而/4?臼。/。。=180°,所以。為銳角.

故cosCH\-sin2c02則tan。＞火』.

5cosC2

因?yàn)閏osNADC=之所以sinN/〃C=1-cos2Z/l￡）cA

5\5

/smZADC3

tanZA7D1nOz------------

cosZADC41

從而tanZZMC^an(180°-Z.ADC-C)=-tan(N/〃C+0--tanZ4DC+tanC

l-tanZi4DCxtanC

17.【考查目標(biāo)】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、用導(dǎo)數(shù)求最值、解方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析

和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

解：⑴設(shè)皿，的，①，歷都與加，垂直,4,6,〃,萬(wàn)是相應(yīng)垂足.

由條件知，當(dāng)。'8-W時(shí)，

BBx--X403^6X40-160,貝I」44=160.

800

由京。'd=160,得07=80.

所以四=0'"。'6=80掰0=120(米).

(2)以。為原點(diǎn)，00'為y軸建立平面直角坐標(biāo)系矛火(如圖所示).

設(shè)F(x,㈤，xC(0,40),

(第17題)

則姓二二/代司

杯口60-必=160臉/與乂

因?yàn)槊?0,所以O(shè)'CSO-x.

設(shè)〃(xTO,%),則/4(80-X)；

40

所以CD=160-y\=160-(80~x)"/+\x.

4040

記橋墩制和用的總造價(jià)為f(x),

則Hx)當(dāng)<160忌S"6x)號(hào)"(々/Mx)

%+160)(0<A-<40).

x(x-20),

令f(x)或得產(chǎn)20.

X(0,20)20(20,40)

f'(x)-0+

f(x)極小值

所以當(dāng)x20時(shí)，/Xx)取得最小值.

答：(1)橋位?的長(zhǎng)度為120米；

⑵當(dāng)O'E為20米時(shí),橋墩切和功的總造價(jià)最低.

18.【考查目標(biāo)】本題主要考查直線方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積等基

礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力.

【解題思路】(1)利用橢圓定義和幾何性質(zhì)求解；(2)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合二次函數(shù)求解最

值；(3)利用三角形面積公式、點(diǎn)到直線的距離公式求出直線方程,再與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)〃的坐標(biāo).

解：⑴設(shè)橢圓E:1注=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c,

43

則a=4,62-3,c=i.

所以的周長(zhǎng)為2a吃c4.

(2)橢圓￡■的右準(zhǔn)線為肝4

設(shè)P(x,0),0(4,y),

則方二(%0),詼=(xY,-y),

OP?QP=x(x^=(*-2)2/2",(第18題)

在xC時(shí)取等號(hào).

所以麗?麗的最小值為詞.

(3)因?yàn)闄E圓￡:。，：二1的左、右焦點(diǎn)分別為凡凡點(diǎn)/在橢圓￡上且在第一象限內(nèi)石&則4(-

43

1,0),用(1,0),/(1,|),

所以直線四：3x"y+34).

設(shè)因?yàn)镾=3S,

所以點(diǎn)"到直線四距離等于點(diǎn)。到直線四距離的3倍.

由此得氣型=3x3產(chǎn)!,

則3x/y+12-0或3xMy-6-0.

(3x-4y+12=0,

由］小,>2得+24x+32R,此方程無(wú)解;

—I—二L

3

(3x-4y-6=0,2

由12y2得7*T2x/4,所以x=2或x=:.

1,7

(一+-3=

代入直線7:3x"尸64),對(duì)應(yīng)分別得片0或y=--.

因此點(diǎn)材的坐標(biāo)為⑵0)或當(dāng)).

19.【考查目標(biāo)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題以

及邏輯推理能力.

解：(1)由條件f(x)2/?(x)2g(x),得x也會(huì)kx+t^T&x,

取%4),得02620,所以爐0.

由xnx^kx,得V+(2—4)x20,此式對(duì)一切xG(—3,+R)恒成立，

所以(2-4)2忘0,則公2,此時(shí)2x2-3+2x恒成立，

所以h{x)=2x.

⑵力(x)-g(x)=k(x-l-Inx),xG(0,+吟.

令〃(x)^x-l-lnx,則〃'(x)-1二,令〃'(x)包得x=\.

X

X(0,1)1(1,+°°)

u'(x)-0+

U(x)極小值7

所以〃(x)min=u(l)《).貝ljxT21nx恒成立，

所以當(dāng)且僅當(dāng)A20時(shí)，力(x)2g(x)恒成立.

另一方面,f(x)2力(才)恒成立,即恒成立，

也即/-(I4)戶1M20恒成立.

因?yàn)閗，0,函數(shù)片x+1%的圖象的對(duì)稱軸x考用,

所以(1%)(1+心<0,解得_1〈AW3.

因此,k的取值范圍是0W4W3.

⑶峪IWtW迎時(shí)，

由g(x)W方(x),得4%~8W4(t3-i)x-3「+2i2,整理得

令4=(t3-t)2-(3?-212-8),則A=￡-51'+3d光.

記0(t)=t6-514+3/用(IWtW-),

則。’(力=616-20?￥6t=2t(3t2-l)(t2-3)<0恒成立，

所以。(。在［1,々］上是減函數(shù),則0(四)W。㈤這。⑴，即2W。㈤W7.

所以不等式(對(duì)有解,設(shè)解為X002,

因此n-mWXi-Xt印Z<V7.

儂I0<t<l時(shí)，

A-D-方(T)4-網(wǎng)CFt.

設(shè)r(t)3，弘ft-212~41~1,

則/(?=12/*12//力/名(”1)(3y-1),

令/(￡)=0,得串

當(dāng)te(0,爭(zhēng)時(shí)，二36,o是減函數(shù)；

當(dāng)te(日,1)時(shí)，/(￡)X,是增函數(shù).

r(0)=-l,r(l)巾,則當(dāng)0<t<l時(shí)，心)<0.

(或證：0(。=*+1)2(3打1)(￡-1)<0.)

則f(-l)-A(-l)<0,因此T陣(他〃).

因?yàn)檠ǎ軬［飛,企］，所以77-/27^V2+1<V7.

③當(dāng)t<0時(shí),因?yàn)镕(x),g(x)均為偶函數(shù),因此〃-辰夕也成立.

綜上所述，n-mW6

20.【考查目標(biāo)】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義，新定義數(shù)列，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決

問(wèn)題的能力.

【思維導(dǎo)圖】

⑴A=1一A-1

廣?-----廠?---------令人/胃1=比「

⑵已知一瓜二渦磬A+i&f杞-伴——-~：b「l^^￡fbafS"2"'fa0

(3)A=3-5；+「S；=八諭+「挎T=八將5上匡二(c,,T)=4'(*T嚴(yán)分類討論A的取值范圍

解：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列｛&｝是“數(shù)列，則S-a“+\,即a,ia““,

也即(4-1)&”力,此式對(duì)一切正整數(shù)n均成立.

右/r1,則3n'l^0恒成立，故33~32^0,而31~3l——1,

這與｛&｝是等差數(shù)列矛盾.

所以4=1.（此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是數(shù)列）

⑵因?yàn)閿?shù)列｛&｝（〃《N）是“黑”數(shù)列,

所以Jc1n+],即JSn+iJSyj+i-Sn，

因?yàn)閍,,X,所以SQS憂,則照-佳相-1.

令后=4,貝IJb“-l當(dāng)唇L即（&T）2f（屎T）（4，1）.

解得4=2,即盡2也即部2,

s

yjnSn

所以數(shù)歹！I｛5｝是公比為4的等比數(shù)歹山

因?yàn)镾詢=1,所以S#.則同（黑片“）

（3）設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列｛a.｝（〃CN）為“八飛”數(shù)列,

111___________________

貝達(dá)：+]-S^=/a：+「即7^-洛=4

因?yàn)閍20,而囪=1,所以SBSX）,則

令將=以,則C.T=2^H（c”2l）,即（c〃T）二刀（嫁-1）（以21）.（*）

。若4W0或4=1,則（*）只有一解為c?=l,即符合條件的數(shù)列｛&｝只有一個(gè).（此數(shù)列為1,0,0,0,-）

彝兒乂，則（*）化為（c,T）（都祭以+D老

因?yàn)镃所以非專答。/卻，則（*）只有一解為c?=l,

即符合條件的數(shù)列｛a｝只有一個(gè).（此數(shù)列為1,0,0,0,…）

彝0C4,則燃竊以“力的兩根分別在（0,1）與（1,9）內(nèi)，

A-1

則方程（對(duì)有兩個(gè)大于或等于1的解:其中一個(gè)為1,另一個(gè)大于1（記此解為￡）.

所以$"=$或Sml=lSa.

由于數(shù)列｛5｝從任何一項(xiàng)求其后一項(xiàng)均有兩種不同結(jié)果,所以這樣的數(shù)列｛$｝有無(wú)數(shù)多個(gè),則對(duì)應(yīng)的｛a｝有無(wú)

數(shù)多個(gè).

綜上所述,能存在三個(gè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列｛&｝為“4數(shù)列，4的取值范圍是0＜兒＜1.

21.【選做題】

A.［選修4-2:矩陣與變換］

【考查目標(biāo)】本題主要考查矩陣的乘法、逆矩陣等知識(shí)，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解題思路】（1）利用矩陣與列向量的乘法運(yùn)算法則求解；（2）利用逆矩陣的求解公式即可求解.

解:⑴叫:/EJfJ所以第3

21

解得a=b=2,所以M二

-12

\21

21-

(2)因?yàn)镸二,det(粉2TX(-l)巧WO,所以〃可逆，從而J/1-:5

-12i2

55

B.［選修4W:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

【考查目標(biāo)】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解題思路】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入相應(yīng)的極坐標(biāo)方程直接求解即可；（2）聯(lián)立方程,結(jié)合已知即可求解.

解:（1）由Picos--=2,得PIN;夕zNsin^之,又（0,0）（即（0,—））也在圓C上,因此P2t或0.

366

⑵由『cos?一金，得4sin0cos夕2,所以sin20=1.

（p=4sin/

因?yàn)镻20,0W夕＜2n，所以。JP之&.

4

所以公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2或,；）.

4

C.［選修4T:不等式選講］

【考查目標(biāo)】本題主要考查含絕對(duì)值的不等式,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【解題思路】利用零點(diǎn)分區(qū)間法求解.

解:當(dāng)》為時(shí),原不等式可化為2x+2+x＜4,解得0々＜|;

當(dāng)TWxWO時(shí),原不等式可化為2x+2-x＜4,解得TWxWO;

當(dāng)xd時(shí),原不等式可化為-2才-2-才＜4,解得-2GV-1.

綜上，原不等式