2021-2022學(xué)年福建省廈門市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

202L2022學(xué)年福建省廈門市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.（）分）

1.正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中,a2a6=9，則=（）

A.1B.V3C.3D.1

2.廈門中學(xué)生助手從6幅不同的畫中選出2幅，分別掛在教室左、右兩邊墻上的指定位

置，則不同的掛法有（）

A.15種B.30種C.36種D.64種

3.拋物線C：y2=16x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上，\MF\=12,則M到y(tǒng)軸的距離是（）

A.4B.8C.10D.12

4.在（1+乃+（1+尢）2+...+（1+乃6的展開式中，含逆的項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.11

5.“雨打黃梅頭，四十五日無日頭”是梅雨時(shí)節(jié)的特點(diǎn).廈門中學(xué)生助手發(fā)現(xiàn)，福建

省某三個(gè)地區(qū)明天下雨的概率分別為0.8,0.8,0.9,若各地區(qū)是否下雨互不影響，

則明天至少有1個(gè)地區(qū)下雨的概率為（）

A.0.576B.0.648C.0.992D.0.996

6.如圖，四棱錐S-4BCD的底面4BCD是菱形，S.ABAD=ASAB=ASAD=60°,

AB=AS=1,貝ISC=（）

A.1B.y/2C.V3D.V6

7.某產(chǎn)品共有兩批，第一批的次品率為4%,第二批的次品率為8%.廈門中學(xué)生助手將

兩批產(chǎn)品混合，從中任取1件，取到次品的概率為7%.現(xiàn)從混合產(chǎn)品中任取1件，若

取到的產(chǎn)品是次品，則它取自第一批產(chǎn)品的概率為（）

A.；B.C.1D.；

7637

8.若過點(diǎn)（1,2）可作曲線y=/+ax的三條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-3,-1）B.（-2,-1）C.（1,2）D.（1,3）

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.廈門中學(xué)生助手的甲、乙研究某人1-18周歲的身高y(單位：厘米)與年齡x(單位:

周歲)的關(guān)系.甲用;=+a擬合得圖L記》與y的樣本相關(guān)系數(shù)為「1，決定系數(shù)

為暇;乙用y=dt+=)X)擬合得圖2,記X與y的樣本相關(guān)系數(shù)為「2,得y與X的

關(guān)系y=d1nx+)決定系數(shù)為形，則()

A.rx>r2B.rx<r2C.Rl>畤D.Rl<膨

10.定義在(0,4)上的函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，y=

尸(x)是y=/(%)的導(dǎo)函數(shù)，則()

A.當(dāng)xe(0,3)時(shí)，f(x)>0

B.f(%)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根

C.y=/'(X)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減

D.y=/''(X)的圖象是中心對(duì)稱圖形

11.已知?jiǎng)訄AC：(x—cosa)2+(y—sina)2=1.aG[0,2TT),則()

A.圓C與圓/+y2=4相切

B.圓(?與直線xsina+ycosa-1=0相切

C.圓C上一點(diǎn)M滿足麗=(0,1),則M的軌跡的長(zhǎng)度為4兀

D.當(dāng)圓C與坐標(biāo)軸交于不同的三點(diǎn)時(shí)，這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為1

12.如圖，直三棱柱ABC-&B1G中，44i=4B=3

AC=2,BC=逐.點(diǎn)P在線段BiC上(不含端點(diǎn))，則

()

A.存在點(diǎn)P,使得AB11BP

B.PA+PB的最小值為有6

C.AABP面積的最小值為?

D.三棱錐&-PAB與三棱錐G-PAC的體積之和為定值

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三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.設(shè)隨機(jī)變量X?N(3,C2),若P(X<6)=0.8,則尸(0<X<6)=.

14.廈門中學(xué)生助手的4名同學(xué)到2個(gè)地方參加暑期社區(qū)服務(wù)，每個(gè)地方至少有1名同學(xué)

去.若甲、乙兩名同學(xué)去同一個(gè)地方，則有種去法.(用數(shù)字作答)

15.雙曲線C：捻一3=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為0,瓦？=24"過點(diǎn)4作C的漸近

線的垂線，垂足為".若NM&。=30。，則C的離心率為.

16.分形幾何在計(jì)算機(jī)生成圖形和游戲中有廣泛應(yīng)用.廈門中學(xué)生助手按照如圖1所示

的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖.設(shè)圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為時(shí),則

a5=,數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式即=.

圖1圖2

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.記S”為公差不為零的等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，已知S3=12,a2是由與a4的等比中

項(xiàng).

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若％=an+3而,求數(shù)列｛務(wù)｝的前n項(xiàng)和

18.青少年時(shí)期是視覺發(fā)育的敏感期與關(guān)鍵期，這個(gè)階段的視覺發(fā)育容易受環(huán)境因素影

響，廈門中學(xué)生助手為研究學(xué)生每天使用手機(jī)時(shí)長(zhǎng)與近視率的關(guān)系，對(duì)某校高二年

600名學(xué)生進(jìn)行不記名問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：有20%的學(xué)生每天使用手機(jī)超過

l/i,這些人的近視率為50%；每天使用手機(jī)不超過1九的學(xué)生的近視率為37.5%.

(1)從該校高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求其近視的概率；

(2)請(qǐng)完成2x2列聯(lián)表.根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校高二

年學(xué)生每天使用手機(jī)時(shí)長(zhǎng)與近視有關(guān)聯(lián)？

每天使用手機(jī)時(shí)長(zhǎng)

視力合計(jì)

超過1九不超過lh

近視

不近視

合計(jì)600

附./二_____n(ad-bc^_____

A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下表是22獨(dú)立性檢驗(yàn)中兒個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

19.為貫徹落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉，某市委托廈門中學(xué)生助手調(diào)查學(xué)生

對(duì)足球的喜愛程度，調(diào)查顯示該市喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生占全市學(xué)生的|,喜愛足球

運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中男、女生人數(shù)比例為3：2.

(1)在喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中按性別比例分配樣本，用分層抽樣的方法抽取5人，再

從中隨機(jī)選取3人進(jìn)行訪談.設(shè)隨機(jī)選出的3人中女生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望E(X)；

(2)學(xué)生甲斷言“在全市學(xué)生中隨機(jī)選取3人，這3人中喜愛足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)至少比

不喜愛足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)多1的概率超過50%”.該學(xué)生判斷是否正確？說明理由.

20.如圖，在三棱錐V—ABC中，P是棱匕4的中點(diǎn)，PBu平面a,且也?〃a.

(1)在圖中畫出a與三棱錐V-ABC表面的交線，寫出畫法并說明理由；

(2)若匕4平面ABC,BC1VB,VA=AB=BC,求a與平面1MB夾角的余弦值.

21.已知橢圓C：,+y2=ig>0)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)4,直線/交C于M,N兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)

原點(diǎn).當(dāng)四邊形4M0N為菱形時(shí)，其面積為正.

2

(1)求C的方程；

(2)若NM4N=90。，是否存在直線I,使得4,M,0,N四點(diǎn)共圓？若存在，求出

直線，的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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22.已知函數(shù)f(x)=(%—a—l)ex—1x2+ax,aER.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有極小值點(diǎn)%1，極大值點(diǎn)%2，且對(duì)任意Q>0，f(%l)-f(%2)V求

實(shí)數(shù)k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：??,正項(xiàng)等比數(shù)列｛冊(cè)｝中，a2a6=9=

'3，

故選：C.

由題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由題意可得：不同的掛法有照=30種，

故選：B.

利用排列的意義即可得出結(jié)論.

本題考查了排列的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：拋物線C：y2=16%的焦點(diǎn)為尸(4,0),準(zhǔn)線為x=-4,

設(shè)M的坐標(biāo)為(m,n),\MF\=12,

-m4-4=12,m=8,

M到y(tǒng)軸的距離是8.

故選：B.

利用已知條件,求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程,設(shè)M的坐標(biāo)為(m,n),由已知可求小,

從而可求M到y(tǒng)軸的距離.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：展開式中含有爐項(xiàng)的系數(shù)為：/+4=7,

故選：C.

利用二項(xiàng)式定理的展開式，即可解出.

本題考查了二項(xiàng)式定理的展開式，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

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【解析】解：明天至少有1個(gè)地區(qū)下雨的對(duì)立事件為一個(gè)地區(qū)都沒有下雨，

一個(gè)地區(qū)都沒有下雨的概率為(1-0.8)(1-0.8)(1-0.9)=0.004,

則明天至少有1個(gè)地區(qū)下雨的概率為1一0.004=0.996.

故選：D.

求得明天至少有1個(gè)地區(qū)下雨的對(duì)立事件一個(gè)地區(qū)都沒有下雨的概率，用1減去對(duì)立事件

概率即可.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式

的靈活運(yùn)用.

6.【答案】B

【解析】解：如圖，連接AC,BD,且4CnBD=M,連接SM,

由條件可知△力BD,^SAB,△S4D都是全等的等邊三角形，

SBD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

SM=AM=―,

2

cosZ-SAM=(2)+1重)=與且AC=2AM=小,

2X1X—§

△SAC中,SC2=SA2+AC2-2SA-AC-coszSAC=1+3-2x1xV3xy=2>

???SC—y/2-

故選：B.

根據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理求出cos/SAC,再結(jié)合余弦定理能求出結(jié)果.

本題考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)從混合產(chǎn)品中任取1件，取到第一批產(chǎn)品的概率為p,則取到第二批產(chǎn)品

的概率為1-p.由題意得，0.04p+0.08(1-p)=0.07,解得p=0.25.

由條件概率可知，若從混合產(chǎn)品中任取1件，取到的產(chǎn)品是次品，則它取自第一批產(chǎn)品

的概率為0.25x0.041

0.077

故選：A.

先求出從混合產(chǎn)品中任取1件，取到第一批產(chǎn)品的概率，再由條件概率公式即可求解.

本題主要考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：y=3x2+a,設(shè)切點(diǎn)為(t/3+at),

則切線方程為：y-(t3+at)=(3t2+a)(x-t),

由已知得2-(t3+at)=(3/+a)(l-t)有三個(gè)不等實(shí)根,

即a=2t3-3t2+2,令f?=2t3-3t2+2,

令/''(￡)=6t2—6t=0,所以t=0,或1,

當(dāng)t<0,或t>l時(shí)，f(t)>0,此時(shí)f(t)在(一8,0),(1,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)0<t<1時(shí)，f(t)<0,此時(shí)<t)在(0,1)上單調(diào)遞減,

故/?)的極小值為f(l)=1.極大值為f(0)=2,

故要使原方程有三個(gè)不等實(shí)根，只需1<a<2.

故選：C.

設(shè)切點(diǎn)為。￡3+妙)，然后求出導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式求出切線方程，將(1,2)代入，得

到關(guān)于t的方程，該方程有三個(gè)不等實(shí)根，最終結(jié)合分離參數(shù)法研究函數(shù)的極值求解.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法及應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：由兩個(gè)擬合圖形可知，圖1中直線的斜率小于圖2中直線的斜率，且都為正

相關(guān)，

???<r2；

又決定系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方，可得R：<咚

故選：BD.

根據(jù)擬合圖形可得相關(guān)系數(shù)的大小，再由決定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系判斷決定系數(shù)的大

小.

本題考查線性回歸方程及有關(guān)概念，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：結(jié)合圖象，

/(x)在(0,1)遞增，在(1,3)遞減,在(3,4)遞增，

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故Xe(0,1)時(shí),f(x)>o,

xe(1,3)時(shí)，［(x)<0,

x6(3,4)時(shí)，f(x)>0,故A錯(cuò)誤，

y=f'(x)的圖象不是中心對(duì)稱圖形，故。錯(cuò)誤,

畫出函數(shù)［。)的草圖，如圖示：

故［(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故B正確，

y-f'(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，故C正確，

故選：BC.

根據(jù)函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)函數(shù)的圖象，從而求出答案即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解：圓C的圓心為C(cosa,sina),半徑為1,圓好+丫2=4的圓心為。(0,0),半

徑為2,

因?yàn)?。C—A/COS2a+sin2a=1=2—1，所以兩圓內(nèi)切，A正確；

圓心C(cosa,sina)到直線rsina+ycosa—1=。的距離為d=⑸"=

\sin2a-1|6［0,2］,

d不一定等于1,故圓C與直線xsina+ycosa-1=0不一定相切，B錯(cuò)誤；

設(shè)M(x,y)>則CA/=(x—cosa,y-sina)=(0,1)>

所以｛仁祥ina,所以/+⑶一1)2=1,

所以點(diǎn)M的軌跡為以點(diǎn)(0,1)為圓心，1為半徑的圓，其周長(zhǎng)為2兀，。錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，令％=0得：(0—cosa)2+(y-sina)?=1,解得：7=0或7=25%防

令y=0得：(％-cosa)?+(0-s沅a)?=1,解得：%=0或%=2cosa,

所以圓C與坐標(biāo)軸交于不同的三點(diǎn)，分別記為。(0,0),4(2cosa,0),8(0,2s譏a),

則這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積S=||0i4|?\0B\=^\4sinacosa\=\sin2a\,

當(dāng)。=?或@=亨時(shí)，三角形面積取得最大值，最大值為1,。正確；

故選：AD.

4選項(xiàng)，得到圓C的圓心和半徑，求出兩圓圓心距等于半徑之差，從而兩圓內(nèi)切；

B選項(xiàng)，求出圓心到直線距離d不一定等于1,故8錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)出M(x,y),得到M的軌跡為以點(diǎn)(0,1)為圓心，1為半徑的圓，其周長(zhǎng)為2兀；

。選項(xiàng)，求出圓C與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，得到S=|sin2a|,從而得到面積的最大值.

本題主要考查了兩圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題以及三角形面

積的最值問題，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：直三棱柱48。一&81的中，因?yàn)?48=

1,所以lAiB,

因?yàn)?B=1MC=2,BC=VI所以BC2=AB2+AC2,

即AB1BC,

所以AC1面4B1B4,AB1面4CC14,

對(duì)于4如圖1,連接由4c_L面&B1B4可得4G即可得_L平面8必6,

■.AB11BC1；故當(dāng)P為為C與BQ的交點(diǎn)時(shí)AB】1BP,故A正確；

對(duì)于B,將平面B&C和平面AB1。沿&C展開，使得平面BBiC和平面力/C重合，如圖,

P2+P8的最小值為有|4B|,在△力BBi中，由余弦定理可得|48|毛花，故8不正確；

對(duì)于C,如圖2,P到AB的距離的最小值等于直線AB與&C之間的距離d,

因?yàn)榱〃面4BiC,所以d等于點(diǎn)4到平面&&C的距離，

由匕-A81C=%-4祖4,叫x|xlxV5=^xlx2,：.d=-^=,

故A8P面積的最小值為工xlx*=^,故C正確；

2v55

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對(duì)于。，如下圖，過P作直線PM〃CC「交BiG于點(diǎn)M,可得P到面為B1B4的距離等于M

到平面面4B1B4的距離得P到面41cle4的距離等于M到平面面ACiCA的距離d2，

???三棱錐Bi-P4B與三棱錐的一P4c的體積之和等于?di+|5A41CC1-d2=

5Cdi+d2)=?&Bi|為定值，故。正確.

故選：ACD.

對(duì)于4,可得4晶，平面BAiG，ABXLBCX,直線P為aC與的交點(diǎn)時(shí)ZB】1BP；

對(duì)于B,將平面B&C和平面ZB1。沿&C展開，使得平面和平面A&C重合，PA+PB

的最小值為有|4B],解三角形即可；

對(duì)于C,P到4B的距離的最小值等于直線4B與B]C之間的距離d,d等于點(diǎn)4到平面

的距離，利用等體積法求解；

對(duì)于。，過P作直線PM〃CC「交&C1于點(diǎn)M,可得P到面4兄84的距離等于例到平面

面AiBiBA的距離均，得P到面為GC4的距離等于M到平面面為GC4的距離d2,即可得

三棱錐a—PAB與三棱錐G-P4C的體積之和等于]?必+&2)為定值，故選：ACD.

本題考查線線垂直的證明，考查簡(jiǎn)單立體幾何的展開圖，考查拋物線和橢圓的概念，考

查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于難題.

13.【答案】0.6

【解析】解：?.?隨機(jī)變量X?NR,/),P(X<6)=0.8,

AP(0<X<6)=2P(3<X<6)=2[P(X<6)-P(X<3)]=2x(0.8-0.5)=0.6.

故答案為：0.6.

根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.

本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】6

【解析】解：由題意可得有兩類去法：一類是甲、乙兩名同學(xué)去同一個(gè)地方，另外2名

同學(xué)去另外一個(gè)地方；另一類是從去掉甲乙剩下的2名同學(xué)中任選1位同學(xué)與甲、乙兩名

同學(xué)去同一個(gè)地方，剩下的1名同學(xué)去另外一個(gè)地方.

共有題+(?2^2=6種,

故答案為：6.

分類討論可得有兩類去法：一類是甲、乙兩名同學(xué)去同一個(gè)地方，另外2名同學(xué)去另外

一個(gè)地方；另一類是從去掉甲乙剩下的2名同學(xué)中任選1位同學(xué)與甲、乙兩名同學(xué)去同一

個(gè)地方，剩下的1名同學(xué)去另外一個(gè)地方.利用排列與組合的有關(guān)知識(shí)即可得出結(jié)論.

本題考查了排列與組合的應(yīng)用、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

15.【答案】2

【解析】解：由題意，設(shè)F(c,O),?.?刃=2用》，4(2c,0),

又AM與雙曲線的漸近線垂直，且tanzM04=，

故C0SNMO4=篇^=psin/MOA=-^==\OM=OA-coszMOX=2a,

故M(2acos/MO42as譏4Mo力)，即M(當(dāng),等)，又4“居。=30。，

2ab

-^―=tan30°,即2a2+c2=2y/3ab,

——c+c

???3a2—2y/3ab+爐=o,???(遮Q—b)2=0,??.b=遮a,

故離心率6=處空=2.

a

aF

M

入JX

故答案為：2.

設(shè)F(c,O),則4(2c,0),再根據(jù)4M與漸近線垂直可得M的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)NM&。=30°,

利用正切值列式計(jì)算即可.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率，屬中檔題.

第12頁，共19頁

16.【答案】41三一出

62

【解析】解：記第n行白圈的個(gè)數(shù)為幻，

==

由題思可得匕1=0,即=1,n724-iQn+bn，b0+i4a九+bn>

a

則an+2-n+i=4即+an+1-Qn,

所以0n+2=2*+3%,所以伊+2+7+1=3(a；+i+”)

lOn+2-3an+l=-(?n+i-3an)

4._c_14s(an+l+a=2x3n1

由做1=1，得匕+1_3n冊(cè)=-2'(-1尸’

所以一空展二即.卜智，

故。5=---=41.

562

故答案為：41；:一零二

62

記第n行白圈的個(gè)數(shù)為b，推導(dǎo)出『n+2+h+i=3(yi+”)由此能求出結(jié)果.

本題考查簡(jiǎn)單的歸納推理、數(shù)列遞推公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.【答案】解:(1)記等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

S=3?I+—d=12叱…3al+3d=12

由條件得312，所以

底=?1?4(。1+d)?=Qi(即+3d)'

因?yàn)閐H0,所以僧二，，所以a九=24-(n-1)-2=2n.

IQ—N

an

(2)6n=an+3?=2n+9,

2n

所以7；=瓦+為+???+bn=(2+9)+(4+9)+…+(2n+9)

=2(1+2+-+n)+(9+92+-+9n)

=31)+曙

=n2+n+

88

【解析】(1)記等差數(shù)列｛an｝的公差為d，利用己知條件，列出方程組求解首項(xiàng)與公差,

然后求解通項(xiàng)公式.

(2)利用分組求和，求解即可.

本題考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等知識(shí)；考查運(yùn)算求解

能力、邏輯推理能力；考查函數(shù)與方程思想.

18.【答案】解：(1)設(shè)B="任選1名學(xué)生近視”，A="任選1名學(xué)生每天使用手機(jī)超

過1九”,

則PQ4)=0.2,p(A)=0.8>P(B|4)=0.5,P(B|A)=0.375-

由全概率公式得P(B)=P(A)P(BjA)+P(4)P(B|4)=0.2x0.5+0.8x0.375=0.4>

所以從該校高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生其近視的概率為0.4.

(2)列聯(lián)表為：

超過1九不超過合計(jì)

近視60180240

不近視60300360

合計(jì)120480600

零假設(shè)為％：該校高二年學(xué)生每天使用手機(jī)時(shí)長(zhǎng)與近視無關(guān)聯(lián)，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到f=至=625>3.841=x0o5,

A240x360X120x4804UUb

依據(jù)小概率值a=0。5的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷，。不成立，即認(rèn)為該校高二年學(xué)生每天

使用手機(jī)時(shí)長(zhǎng)與近視有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解.

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式，以及全概率公式，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)在喜愛足球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中按性別比例分配分層抽樣抽取5人，其中

男生3人，女生2人，

則隨機(jī)選出的3人中女生人數(shù)X的可能取值為0,1,2,

P(X=0)=烏=—,p(X=1)=粵=P(X=2)=萼=

\，琦10'，馥5'Jcl10

X的分布列為:

X012

133

P

10510

二E(X)=0xF1X—F2X——

''ios105

(2)設(shè)全市學(xué)生隨機(jī)選取的3人中喜愛足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為y,則丫?B(3,|),

設(shè)事件4="喜愛足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)至少比不喜愛足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)多1"，則PQ4)=

P(Y=3)+P(Y=2)=口.(|)3+Cj-(|)2-(j)=g.

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所以p(a)>50%,

所以該學(xué)生判斷正確.

【解析】(I)求得隨機(jī)變量X的可能取值及對(duì)應(yīng)概率，即可求得分布列及期望;

(2)設(shè)全市學(xué)生隨機(jī)選取的3人中喜愛足球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為丫，貝亞?B(3,1),由二項(xiàng)分布的

概率公式列式求解即可.

本題考查超幾何分布、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，是中

檔題.

20.【答案】解：⑴如圖，在平面VAC中，過點(diǎn)P作PC的平行線交4c于點(diǎn)0,連接OB、

OP,

則線段08、OP、PB為與三棱錐U—表面的交線.

理由如下：因?yàn)閁C〃a,UCu平面

所以VC必平行于平面IMC與平面a的交線，

因?yàn)辄c(diǎn)Pea,且點(diǎn)PW平面UAC,所以交線必過點(diǎn)P且平行于UC.

(2)解法一：因?yàn)樨?,平面4BC,BCu平面4BC,所以IM1BC.

因?yàn)锽C_LVB,VAQVB=V,所以BC_L平面1MB.

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,設(shè)4B=2,

貝(e,0,0)，。(0,0,0),P(0,-V2,l).C(0,V2,0).

所以礪=(e,0,0)，OP=(0,-V2,l).BC=(-V2,V2,0).

設(shè)平面PB。的法向量為記=(x,y,z),則有［變,里=。，即得［經(jīng)=°.

(0P?記=0(-V2y+z=0

取y=l,則沆=(0,1,遮)，

因?yàn)锽C1平面匕4B,

所以於=（一夜，四,0）是平面憶48的一個(gè)法向量，

所以cos（記，配）=高薪=所以a與平面VAB夾角的余弦值為彳.

（2）解法二：因?yàn)镮M1平面ABC,BCu平面48C,所以IM1BC.

因?yàn)锽C_LVB,VAQVB=V,所以BC_L平面匕4B,所以BC_L4B.

取4B的中點(diǎn)D,連接0D,

所以O(shè)D〃BC,所以。D_L平面1MB.又PBu平面%4B,所以0D1PB,

過點(diǎn)。作DEJLP8,垂足為點(diǎn)E,連接0E,

又ODCDE=D,所以PB1平面ODE,所以PB_LEO,

所以ZOEO為a與平面1MB的夾角.

設(shè)4B=2,在△ODE中，。。=1,OE=—.DE=—.

55

因?yàn)椤！?DE,所以COSNOE

。=—0E=—6.

所以a與平面1MB夾角的余弦值為漁.

6

【解析】（1）過點(diǎn)P作UC的平行線交4c于點(diǎn)0,連接OB、0P,則有線段08、OP、PB為

與三棱錐ABC表面的交線.再利用線面平行的判定定理證明即可；

（2）解法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBO的法向量沆，則a與平面匕4B夾角的余

弦值即為COS⑹硝==,

解法二：利用線面關(guān)系可證得匕41BC,BC1AB,取4B的中點(diǎn)D,連接0D,可證得1

PB,過點(diǎn)。作DE1PB,連接0E,進(jìn)而又可證得PB1E。，所以N0ED為Q與平面IMB的

夾角，因?yàn)?。1。凡代入數(shù)據(jù)即可求得cos/OEC="=在.

OE6

本題主要考查空間中直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的夾角、空間向量的應(yīng)用等知

識(shí)；考查空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力：考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)

化思想、函數(shù)與方程思想等，屬于難題.

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21.【答案】解：（1）因?yàn)樗倪呅?M0N為菱形，所以MN垂直平分。4,

不妨設(shè)M為x軸上方的點(diǎn)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為梟

代入橢圓方程可得M的縱坐標(biāo)為更，

2

根據(jù)菱形AMON的面積為工ax遮=正，解得a=而，

22

聯(lián)立方程號(hào)+7+二二。,

22

得(m2+5)y4-2mty4-1-5=0,則%+y2=一懸y，2=會(huì)1，

且4=4m2c2—4(m2+5)(產(chǎn)—5)=4(5m2—St2+25)=20(m2—t2+5),

因?yàn)?。，M,N,4四點(diǎn)共圓，所以4MON=zCMAN=90。，

則有甌而=詞.前=。,即喘:獴+九月=°,

所以卜1+刀2=花，即(血31+、2)+21=6(，)，

%1切+71/2=0,'1(機(jī)力+0(^72+t)+7172=。5)'

由(i)得-之：，+2t==場(chǎng)，即m2+5=2V^t，

m2+Sm2+5

2

由(五)得(血2+l)yiy2+nit(yi+y2)+t="：：?『)+mt'+戶=

-5m2+6t2-5八

?—(J,

m2+5

即5nI2+5=6t2,

聯(lián)立護(hù)2”5=2汽t,

15m2+5=6產(chǎn)

解得q=苧，12=通(此時(shí)直線l過點(diǎn)4，舍去)，

將￡=延代入巾2+5=263解得機(jī)2=9,即^?=土叵，

3