2022年河南省豫北重點高中高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（文科）（3月份）（學(xué)生版+解析版）

2022年河南省豫北重點高中高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（文科）（3月份）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的．

1.(5分）已知集合A={xl2-3x-4<0},B={0,1,2,3,4,5}()

A.{O,L2}B.{O,I.2,3,4}C.{L2,3,4}D.{O,1.2,3}

2.(5分）已知復(fù)數(shù)z=i+2產(chǎn)＋3i3+4戶（其中i為虛數(shù)單位），則lzl=C)

A.2B.成c.4D.10

3.(5分）函數(shù)f(x)=xlnx-2.;`，在x=l處的切線方程為（)

A.y=-x-lB.y=x-IC.y=2.x-2D.y=2x+l

4.(5分）已知5°=8,4b=5,則ab=()

B34

一c一

A.223D.1

5.（5分）（必修5做）已知數(shù)列｛a，小S/l為(an}的前n項和，且有Sn=2an-l,則an=()

A.2n-lB.2nC.2'廣lD.2n

6.(5分）連續(xù)擲兩次骰子，則兩次所擲點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為()

1121

A.-B.-C.-D．一

2334

7.(5分）已知點A為拋物線滬＝4x上的動點，以點A為圓心的圓M與y軸相切，拋物線

的焦點為F,則IPn=()

D1

一

A.4B.2C.12

8.(5分）在前n項和為Sn的等差數(shù)列（伽｝中，S4=as+a6,m=15,則Ss=()

A.38B.37c.36D.35

9.(5分）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+cp)(cpE(O,衛(wèi)一））句）=f(2cp），則cp=()

3

王王D王

Ac.

12B千64

10.(5分）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x?:::O時，f(x)x-3X2x+2a.則關(guān)

千x的不等式f(x)~-6的解集為（)

A.(-00,-2)B.C-00,-I]

C.[-2,O)UCO,2)D.[-2,O)U(2,+00)

ll.(5分）奔馳汽車是德國的汽車品牌，奔馳汽車車標(biāo)的平面圖如圖(1)，圖(2)是工業(yè)

設(shè)計中按比例放縮的奔馳汽車車標(biāo)的圖紙．若向圖（I),則此點取自圖中黑色部分的概

率約為（

l80.0

200今。

圖(I)圖(2)

A.0.108B.0.237C.0.251D.0.526

12.(5分）如圖，三棱錐P-ABC的展開圖為四邊形ADFE,已知DF=EF=2,./虧J百，

、丿

BC=2,則三棱錐P-ABC的體積為（

A

D(P)以P)

八P)森丁森＿

Bc

A孕2D.竿

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13.(5分）已知X,y滿足約束條件［二：~:則z=x+2y的最大值為

y>-1,

_

L4.(5分）已知非零向量；，了滿足-;=(1,2),b=(t,t仁－1）（t>o)，則-a飛的-最

t

小值為.

15.(5分）已知點P為球0內(nèi)的一點，且OP=2.當(dāng)過點P的平面0:截球0所得截面面

冗

積為牡時，OP與平面0:所成的角為—-·

6

22

16.(5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線王＿＿工＿＝l(a>O,b>O)的左，B,

2.2

ab

若該雙曲線上存在點P,使得直線PA,則該雙曲線離心率的取值范圍為

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：

共60分．

17.(12分）某單位有A,B兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品．為了了解兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量的

穩(wěn)定性，要在兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)品中抽取一定數(shù)量的樣品進(jìn)行調(diào)查．每次在兩條生產(chǎn)線的

產(chǎn)品中各抽取100個樣品，A,B兩條生產(chǎn)線合格產(chǎn)品的數(shù)撇如下表：

第一次第二次第三次第四次第五次

A

9189二939592

B

9491879296

(I)分別計算五次抽取的樣品中兩條生產(chǎn)線合格產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)；

(2)試通過計算方差，說明哪條生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量更為穩(wěn)定．

18.(12分）在6ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c

(1)證明：6ABC為等腰三角形；

(2)若c=2,7cosC=2cosB,求叢ABC的面積．

19.(12分）如圖，O,01是圓柱底面的圓心，AA1,BB1,CC,均為圓柱的母線，AB是底

面直徑，E為AA1的中點．已知AB=4,BC=2-f§.

(l)證明：AC衛(wèi)BC;

(2)若AC心BE,求該圓柱的體積．

C

A1乙

E

A

一、上

20.(12分）已知函數(shù)f(x)＝入:3-3ax+a(aER).

(I)若f(x)僅有一個零點，求a的取值范圍；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值與最小值之差為g(a)(a)的最小值．

22

21.(12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:五＿h(yuǎn)=1(a>b>O)1,F2,直線l:y

2..2

ab

=kx+t與橢圓C交千A,B兩點．已知6ABF2周長的最大值為8，且當(dāng)k=l,t=O時生壓＿．

3

(l)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)LABO的面積為S,若IAB1=2{2，求S的取值范圍

選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=cosa+cost,

22.(10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為{（其中t

y=sina+sint

是參數(shù)，a.E[O,加））．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸，曲線0的極坐標(biāo)方程為

p2-4pcos0+3=0.

(l)證明：曲線C)過定點；

(2)若曲線C1與曲線0無公共點，求cosa的取值范圍．

選修4-5:不等式選講

23.已知困數(shù)f(x)=i2x+4日X-11-

(1)求酌數(shù)f(x)的最小值；

(2)若a~4時，證明：對任意的xE[-2,l],f(x-a)(x)恒成立．

2022年河南省豫北重點高中高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（文科）（3月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的．

1.(5分）已知集合A={xlx2-3x-4<0},B={0,L2,3,4,5}()

A.{0,I,2)B.(0,I,2,3,4)C.{l,2,3,4)D.{0,l,2,3)

【解答】解：集合A={x|入!-3x-2<0)={xl-1<x<S},

B=(O,L8,3,4,2),

.".AnB={O,l,3,3}.

故選：D.

2.(5分）已知復(fù)數(shù)z＝計2i2+3i3+414（其中i為虛數(shù)單位），則|zl=()

A.2B.對C.4D.10

【解答）解：由復(fù)數(shù)z=i+2i2+8i3+4戶（其中l(wèi)為虛數(shù)單位），

則z=i-2-3i+3=2-2i,

則LZL＝寸正(-2)8＝兇5,

故選：B.

3.(5分）函數(shù)f(x)=xln.x－紅在x=l處的切線方程為（)

A.y=-X-lB.y=x-Ic.y=2x-2D.y＝勾戶＋1

【解答】解：因為f(x)=xlnx-2x,所以f(x)=lnx-1,

又f'(l)=-3,所以函數(shù)f(x)在x=l處的切線方程為y+2=-(x-2),

即y=-X-I.

故選：A.

4.(5分）已知5°=8,4b=5,則ab=()

B34-

一c

A.223D.1

【解答】解：由5°=8,8b=5,

可得a=logs6,b=log心，

lg8lg2_3lg6_2

即ab=log68?log47=?==-,

lg5lg42lg22

故選：B.

5.（5分）（必修5做）已知數(shù)列{a，小品為{an}的前n項和，且有Sn=2an-1,則an=()

A.2n-lB.2nC.2'廠lD.2n

【解答】解：當(dāng)n=l時，m=S4=2a1-3,:.a1=l.

·:sn=5an-l,

:.當(dāng)n琴時，S口＝2a.“-l-8,

:.sn-Sn-1=2an-7a，尸I,

.·.an=2an-San-I,

:.a,、,=2an-5,

.an

.?------=-=2'

an-1

:.{an)是首項為6,公比為2的等比數(shù)列，

.·.“I,=2”-5,nEN*.

故選：C.

6.(5分）連續(xù)擲兩次骰子，則兩次所擲點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為()

1121

A-B-C．一D.一

2334

【解答］解：根據(jù)題意，連續(xù)擲一·枚骰子兩次，

兩次骰子正面向上的點數(shù)之和為奇數(shù)包含的基本事件有：

(I,2),2),4),1),2),1),

(3,3),3),4),5),6),3),

(6,2),5),8),5),6),4),

故則兩次所擲點數(shù)之和為奇數(shù)的概率P＝且i＝上

362

故選：A.

7.(5分）已知點A為拋物線滬＝4x上的動點，以點A為圓心的圓M與y軸相切，拋物線

的焦點為F,則IPn=()

D1_

A.4B.2C.I2

【解答】解：點A為拋物線l=4x上的動點，以點A為圓心的圓M與y軸相切，線段

AF與圓M相交千點P,

 ，所以|PFI=|杠|-r=|~1-xA奇＝1·

故選：C.

8.(5分）在前n項和為品的等差數(shù)列｛徹｝中，＆＝as+a6,m=l5,則S5=()

A.38B.37c.36D.35

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列（a葉的公差為d,

葉S4=a5+a6，得｛4a8+6d=2a2+9d，解得氣＝3,

a7=15al+5d=15{d=7

所以Ss=5as+l0d=3X5+2X10=35.

故選：D.

9.(5分）已知函數(shù)f(x)=sin(2x＋妒匈E(O,衛(wèi)~))句）=f(2q>)'則cp=()

3

A王c冗飛D衛(wèi)

12B千4

【解答】解：因為f(x)=sin(2x+<p),

所以f叩）=sin(2<p+<p)=sin5<p,f(2<p)=sin(4<p刊））＝sin7炯

因為f(<p)可（2<p),所以sin3<p=sin4<p,

TT5TT

因為OE(0，一一），所以6￠E(0,TT),5￠E(8,—),

33

TT

所以叩＝TI-3<p,解得0一—·

8

故選：B.

10.(5分）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x;::o時，f(X)x-3X2x+2a.則關(guān)

、丿

于x的不等式f(x)~-6的解集為（

A.(-=,-2]B.(-00,-1)

C.[-2,O)U(0,2)D.[-2,0)U(2,+=)

【解答】解：因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x~O時x_3x7x+2a,

由奇函數(shù)性質(zhì)可得fCO)=1-4+2a=O,

所以a=3,

故當(dāng)x~O時，f(x)=4x-sx2x+2,

令f(x)=2x-3X2入＋6:::;-6，此時x不存在，

當(dāng)x<O時，－x>8,

所以f(-x)=4·x-3x7勹＼嘈＋2=寸(x),

所以fCx)=-4·x+7X2飛:-2:::;-8,

解得，2·x~4,

所以x:c:;-5.

故選：A.

11.(5分）奔馳汽車是德國的汽車品牌，奔馳汽車車標(biāo)的平面圖如圖（］），圖(2)是工業(yè)

設(shè)計中按比例放縮的奔馳汽車車標(biāo)的圖紙．若向圖（1)'則此點取自圖中黑色部分的概

率約為（)

5-g

圖(l)圖(2)

A.0.108B.0.237C.0.251D.0.526

【解答】解：最大圓的面積Sn＝冗=TTR2=TTR＝冗（(100)100)5o,

。

叩圈面積趴＝冗R2頃r6動(R+r）（R-r)＝冗(100+90)(100-90)=1900冗，

11

每個黑色三角形s=--X90X（一X21.4)?

282

71

s1+3s51900冗＋3X[—X90X(—X21.7)]

黑色面積與總面積的比值為~=~=0.237,

S。10000亢

也可以借助TI~5找到最接近的答案）

故選：B.

12.(5分）如圖三棱錐P-ABC的展開圖為四邊形ADFE,已知DF=EF=2,J5{罰，

BC=2,則三棱錐P-ABC的體積為（)

A

D(P)E(P)

只P)五五

Bc

A孕42D.羊

【解答】解：如困所示，連接AF,且AFnBC=M,

由已知，得AD=AE,

故BD=DF=CF=CE=\15,DE=2BC=7,

則6ADE與6FDE均為等腰三角形，且AFl.DE,

趴P)E(P)

F(n

故點M為BC的中點，點N為DE的中點上FN=4,

2

又AB=AC={百，所以AM=3,

故AD=AE="./5,

還原三棱錐如圖所示，

?I

C

B

可得PA=PB=PC='\17,AB=AC＝寸百，

所以PA2+Pc2=AC,PA2+PB2=AB氣

即AP..LPB,AP..LPC,

故V＝上SL:,PBc?AP＝立．上．BC?PM?AP＝上x立石＝墜且

338323

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．

13.(5分）已知X,y滿足約束條件［：二：則z=x+2y的最大值為~．

y>-1,

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

y

x

聯(lián)立{x-y+1=0，解得A(l,

x+y-8=0

由z=x+8y，得y=－玉＃i，當(dāng)直線y=－五4i,

2252

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為l+3X1=5.

故答案為：6.

........

14.(5分）已知非零向亞....飛滿足一a,ba=(1,2),一b=(t,t+--1)（t>o)，則a飛的最

t

小值為---1-ffJ_.

令時2t2Lt

[解答]觶因為『-bp因為>。故尸

5t5A責(zé)

a恤且=tt-5f__t_'值,t

取得最I(lǐng)、

當(dāng)且僅當(dāng)3t:J句，_

t

故答案為：汃廳．

15.(5分）已知點P為球0內(nèi)的一點，且OP=2．當(dāng)過點P的平面a截球0所得截面面

亢

積為嚇時，OP與平面a所成的角為—-2Olt

6

【解答】解：作與a平面垂直平面的投影團(tuán)：

其中ED即為a平面的投影，過球心0作a平面的垂線OC,

由題意可知CD?互尸＝2,乙CPO二巴，．．．OC=l,

冗4

球的半徑產(chǎn)寸忍豆飛了五寸石i＝寸于

球的表面積為S=4T[產(chǎn)＝20TT;

故答案為：2OT[.

22

16.(5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線..!__~=l(a>O,b>O)的左，B,

2.2

ab

若該雙曲線上存在點P，使得直線隊，則該雙曲線離心率的取值范圍為＿（1,丈~)-·2,-

【解答】解：設(shè)點P(xo,yo)，其中x7土土a,易知點A(-a、B(a,

22

且有蘭江＝，2

571則寸＝a2~百灼

abb

22

y8y。Y。y2b2

kpAk=.===—

PB-x。+ax2-a-x~-a2-~v2-a2,

6yJ0

—b

當(dāng)點P在第一象限時，xo>a,滬＞0,則kpA=-;_。>o,KPB=Y。>o,

x2+a---rox4-a

且kPA=FkP凡

由基本不等式可得kPA+kps五石石芒

因為存在點P,使得直線PA,則旦~<1,即6<_}?_<.l,

aa2

:.e乒言；E(1,立

a2

故答案為：（1,丈~)-

2)

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：

共60分．

17.Cl2分）某單位有A,B兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品．為了了解兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品質(zhì)量的

穩(wěn)定性，要在兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)品中抽取一定數(shù)量的樣品進(jìn)行調(diào)查．每次在兩條生產(chǎn)線的

產(chǎn)品中各抽取100個樣品，A,B兩條生產(chǎn)線合格產(chǎn)品的數(shù)量如下表：

第一次第二次第三次第四次第五次

I

AB

9189939592

9491879296

(1)分別計算五次抽取的樣品中兩條生產(chǎn)線合格產(chǎn)品數(shù)員的平均數(shù)；

(2)試通過計算方差，說明哪條生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量更為穩(wěn)定．

［解答】解：（1)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)可知：

A生產(chǎn)線的平均數(shù)為91+89+93+95+92

=92'

5

B生產(chǎn)線的平均數(shù)為94+91+87+92+96=92;

5

(2)A生產(chǎn)線的方差31+9+3+9+0

SA-6=4,

B生產(chǎn)線的方差25+1+25+0+1646

SB-7~—'5

因為式<s;，所以A生產(chǎn)線更穩(wěn)定．

18.(12分）在6ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c

(1)證明：6ABC為等腰三角形；

(2)若c=2,7cosC=2cosB,求6ABC的面積．

［解答】（l)證明：因為b=2acosC,由正弦定理可知，

即sin(A+C)=2sinAcosC,所以sinCcosA=sinAcosC,

所以tanA=tanC,所以A=C,即6ABC為等腰三角形；

(2)解：由(1)可知，A=C,

所以2cosC=2cosB=2cos(n-8C)=-2cos2C=8-4cos2C,

175

整理得7cos2C+7cosC-4=0,解得cosC=~cosB=—cosC=-,

728

所以sinB=?了二了飛立正，

8

所以叢ABC的面積s斗acsinB=丈正

34

19.(12分）如圖，O,01是圓柱底面的圓心，AA,,BB1,CC1均為圓柱的母線，AB是底

面直徑，E為AA1的中點．已知AB=4,BC=2\j3.

(l)證明：AC1上BC;

(2)若AC1..lBE，求該圓柱的體積．

c

A1乙｝

E

A

、叢＿，

【解答】（1)證明：連接AC,因為AB為直徑，

因為CCIJ_平面ABC,BCc平面ABC讓BC,

又ACnCC2=C,AC1c平面ACC!，所以BC..l_平面ACCs,

因為AC1c平面ACC!，所以AC4上BC;

(2)解：由(1)可知，AC心BC,

又因為AC1..l_BE,BCnBE=B,BEc平面BCE,

所以AC過平面BCE,

又因為CEc平面BCE,所以AC1上CE,

由乙C1AC=90°-乙ACE＝乙ECC6＝乙AEC,可得i::,ACEV>i::,CCtA,

所以墜-坒＿，

ACCC1

因為AB=8,BC=2森，所以AC=\幾了巨;豆=2'

1

因為E為A凡中點，所以lAE::,--CC7CC1=2森

2

所以圓柱的體積V＝冗X22X8'V2=8?7冗．

20.(12分）已知函數(shù)f(x)=..\:3-3ax+a(aER).

(1)若f(x)僅有一個零點，求（t的取值范圍；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[O,3]上的最大值與最小值之差為g(a)(a)的最小值．

【解答】解：（1)因為f(x)=x3-3釭＋a(aER),

所以J(x)=62-3a=5(2-a).

O當(dāng)a~O時，f(x)~4恒成立，易知其有1個零點；

＠當(dāng)a>O時，xE(-00,－寸示尺，＋00）時；xE(-Va,Va,f(x)<3;

故f(x)在（－oo,-Va)和（Va'在(-Va'Va'

旬(-Va)=2八尺，f(J示幾＋a,

由題意知：f(x)僅有1個零點，所以f("/a"/a+a>4,

1

即O<a＜一·

6

綜上，a的取值范圍為(-oo,1.J.

4

(2)由Cl)可知：

(D當(dāng)咚5時，f(x)在[0,g(a)=f(3)寸（0)=27-9a;

＠當(dāng)J；乏3,f(x)在[O,g(a)=f(0)-J(a)=9a-27;

＠當(dāng)3<'1/a<3,f(x)在［o,?;，在(Va'

旬CO)=a,f(3)=27-2a,尺）＝-2a~.

故當(dāng)O<a<7時，g(a)=27-9a+2a"la,g(a)=3a"/a;

綜上可得：當(dāng)a~O時，gCa)=27-9a,g(a)=27-3a+2a"/a;

當(dāng)3冬a<7時，g(a)=2a"/a,g(a)=9a-27.

故g(a)的最小值為g(3)=8-[3.

22

2l.（l2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：王＿h(yuǎn)=ICa>b>O)1,F2,直線l:y

2..2

ab

＝虹＋t與橢圓C交于A,B兩點．已知LABF2周長的最大值為8，且當(dāng)k=l,t=O時生壓＿．

3

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)LABO的面積為S,若IAB1=2V2,求S的取值范圍

【解答】解：（1)由橢圓定義可知IAF21=2a-IAF41,IBF習(xí)＝2a-IBF升，

故三角形LAB歷的周長IAF2l+IBF6廿IAB1=4a-(IAFil+IBFsl)+IABI,

又IAFil+IBF店習(xí)AB|，當(dāng)直線l經(jīng)過點戶時，等號成立，

副AF2l+IBF21+IAB1=3a-CIAF舊BF11)+IABl~8a-IABl+IAB1=4a=8,

即a=3,

28

故橢圓方程為上＿＃~=1,

4.b21

又當(dāng)k=2,t=O時，設(shè)點A(xo,xs),xo>O

故IABI=5IOA|＝對可三孚

解得x4五，故盧A(塵巨＿2互＿，

3-377)

葫27{4