量化與量化誤差第二節(jié)

量化與量化誤差第二節(jié)第一頁，共三十頁，2022年，8月28日5．2．1二進(jìn)制數(shù)的表示（1）定點(diǎn)表示整個運(yùn)算中，小數(shù)點(diǎn)在數(shù)碼中的位置固定不變，稱為定點(diǎn)制；定點(diǎn)制總是把數(shù)限制在±1之間；最高位為符號位，0為正，1為負(fù)，小數(shù)點(diǎn)緊跟在符號位后；數(shù)的本身只有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”；第二頁，共三十頁，2022年，8月28日定點(diǎn)數(shù)作加減法時結(jié)果可能會超出±1，稱為

“溢出”；乘法運(yùn)算不溢出，但字長要增加一倍。為保證字長不變，乘法后，一般要對增加的尾數(shù)作截尾或舍入處理，帶來誤差。另外一種定點(diǎn)數(shù)的表示是總把數(shù)看成整數(shù)。缺點(diǎn)：動態(tài)范圍小，有溢出。第三頁，共三十頁，2022年，8月28日定點(diǎn)數(shù)的表示分為三種（原碼、反碼、補(bǔ)碼）：設(shè)有一個（b+1）位碼定點(diǎn)數(shù)：β0β1β2┄βb，則①原碼所代表的十進(jìn)制表示為例：1.111→-0.875,0.010→0.25第四頁，共三十頁，2022年，8月28日

②反碼表示：（反碼和補(bǔ)碼的正數(shù)表示和原碼沒有區(qū)別，負(fù)數(shù)的反碼表示就是將該數(shù)正數(shù)表示形式中的所有位取反）例：正數(shù)表示：0.101其反碼為：1.010原碼和反碼的總和1-末尾加1進(jìn)位成最大值1第五頁，共三十頁，2022年，8月28日

③補(bǔ)碼表示（正數(shù)同原碼，負(fù)數(shù)則將原碼中的尾數(shù)求反加1，即）例：正數(shù)表示：0.110取反：1.001x的補(bǔ)碼：1.010原碼加減法運(yùn)算要考慮符號位；補(bǔ)碼加法運(yùn)算規(guī)律：正負(fù)數(shù)可直接加減，符號位同樣參加運(yùn)算，結(jié)果仍是補(bǔ)碼。若結(jié)果沒有超出字長范圍，則符號位丟棄不影響結(jié)果的正確性。若超出字長范圍，如符號位發(fā)生雙進(jìn)位，可以自然丟棄，若是單進(jìn)位，丟掉則發(fā)生溢出；第六頁，共三十頁，2022年，8月28日補(bǔ)碼又稱“2的補(bǔ)碼”。補(bǔ)碼中負(fù)數(shù)是采用2的補(bǔ)數(shù)來表示的，即先把負(fù)數(shù)加上2，以便將正數(shù)與負(fù)數(shù)的相加轉(zhuǎn)化為正數(shù)與正數(shù)的相加，從而克服原碼表示法做加減法的困難。X=-0.625在原碼中表示為1.101，在補(bǔ)碼中為2-0.625=1.375，因此補(bǔ)碼的表示為1.011.第七頁，共三十頁，2022年，8月28日（2）浮點(diǎn)表示

尾數(shù)指數(shù)階數(shù)浮點(diǎn)制運(yùn)算:相加對階相加歸一化,并作尾數(shù)處理相乘:尾數(shù)相乘,階碼相加,再作截尾或舍入。優(yōu)點(diǎn):動態(tài)范圍大,一般不溢出.缺點(diǎn):相乘、相加，都要對尾數(shù)作量化處理。一般，浮點(diǎn)數(shù)都用較長的字長，精度較高，所以我們討論誤差影響主要針對定點(diǎn)制。第八頁，共三十頁，2022年，8月28日

對于任意一個二進(jìn)制數(shù)n，可用N=S×2P表示，其中S為尾數(shù)，P為階碼，2為階碼的底，P、S都用二進(jìn)制數(shù)表示，S表示N的全部有效數(shù)字，P指明小數(shù)點(diǎn)的位置。當(dāng)階碼為固定值時，數(shù)的這種表示法稱為定點(diǎn)表示，這樣的數(shù)稱為“定點(diǎn)數(shù)”；當(dāng)階碼為可變時，數(shù)的這種表示法稱為浮點(diǎn)表示，這樣的數(shù)稱為“浮點(diǎn)數(shù)”。

通常定點(diǎn)數(shù)有兩種表示法，均設(shè)P=0，小數(shù)點(diǎn)是隱含的，若數(shù)值部分為n位：

當(dāng)S為純整數(shù)時，此時定點(diǎn)數(shù)只能表示整數(shù)，所能表示的N范圍是（2n-1）≥N≥-（2n-1）；當(dāng)S為純小數(shù)時，此時定點(diǎn)數(shù)只能表示小數(shù)，所能表示的N范圍是（1-2-n）≥N≥-（1-2-n）。

實(shí)際數(shù)值不一定都是純整數(shù)或純小數(shù)，運(yùn)算前可選擇比例因子，使所有原始數(shù)據(jù)化成純小數(shù)或純整數(shù)，運(yùn)算后再用比例因子恢復(fù)成實(shí)際值。第九頁，共三十頁，2022年，8月28日

定點(diǎn)制中的乘法，運(yùn)算完畢后會使字長增加，例如原來是b位字長，運(yùn)算后增長到b1位，需對尾數(shù)作量化處理使b1位字長降低到b位。量化處理方式：截尾：保留b位，拋棄余下的尾數(shù)；舍入：按最接近的值取b位碼。兩種處理方式產(chǎn)生的誤差不同，另外，碼制不同，誤差也不同。

定點(diǎn)制的量化誤差第十頁，共三十頁，2022年，8月28日1、截尾處理Truncated

：

1）正數(shù)（三種碼形式相同）一個b1位的正數(shù)為：用[·]T表示截尾處理，則截尾誤差可見，ET≤0，βi全為1時，ET有最大值，“量化寬度”或“量化階”q=2-b：代表b位字長可表示的最小數(shù)。一般2-b1<<2-b,因此正數(shù)的截尾誤差為-q<ET≤0第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日2）負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)的三種碼表示方式不同，所以誤差也不同。原碼（β0=1）：

0≤ET<q第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日反碼（）

第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日

補(bǔ)碼（）因所以

第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日補(bǔ)碼的截尾誤差全是負(fù)值，原碼和反碼的截尾誤差與數(shù)的正負(fù)有關(guān)，正數(shù)時為負(fù)，負(fù)數(shù)時為正，并且都以正負(fù)q為界第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日2.舍入處理Rounding

通過b+1位上加1后作截尾處理實(shí)現(xiàn)。就是通常的四舍五入法，按最接近的數(shù)取量化，所以不論正數(shù)、負(fù)數(shù)，還是原碼、補(bǔ)碼、反碼，誤差總是在之間，以表示對x作舍入處理。舍入處理的誤差比截尾處理的誤差小，所以對信號進(jìn)行量化時多用舍入處理。也就是超過0.5進(jìn)位，小于則舍去第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日5.2.3A/D變換的量化效應(yīng)A/D變換器分為兩部分：采樣：時間離散，幅度連續(xù)；量化：數(shù)字編碼，對采樣序列作舍入或截尾處理，得有限字長數(shù)字信號。本節(jié)討論這一過程中的量化效應(yīng)。

第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日對一個采樣數(shù)據(jù)作截尾和舍入處理，則截尾量化誤差：

舍入量化誤差：

上兩式給出了量化誤差的范圍，要精確知道誤差的大小很困難。一般，我們總是通過分析量化噪聲的統(tǒng)計(jì)特性來描述量化誤差?？梢杂靡唤y(tǒng)計(jì)模型來表示A/D的量化過程。

以補(bǔ)碼為例第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日

圖A/D變換器模型第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日

其中e(n)就是量化誤差，對其統(tǒng)計(jì)特性作如下假定:：①e(n)是平穩(wěn)隨機(jī)序列；②e(n)與信號x(n)不相關(guān)；③e(n)任意兩個值之間不相關(guān)，即為白噪聲；④e(n)具有均勻等概率分布。由上述假定知，量化誤差是一個與信號序列完全不相關(guān)的白噪聲序列，稱為量化噪聲（是一個加性白噪聲）。第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日

誤差的均值和方差：截尾量化噪聲：

有直流分量，會影響信號的頻譜結(jié)構(gòu)。舍入量化噪聲：可見，量化噪聲的方差與A/D變換的字長直接有關(guān)，字長越長，量化噪聲越小。

第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日

定義量化信噪比：

用對數(shù)表示：

字長每增加1位，量化信噪比增加6個分貝；信號能量越大，量化信噪比越高。注：因信號本身有一定的信噪比，單純提高量化信噪比無意義。第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日例：已知x(n)在-1至1之間均勻分布，求b=8、b=12位時A/D的SNR。因均勻分布，所以有：均值：方差：當(dāng)b=8位，則SNR=54dB，當(dāng)b=12位，則SNR=78dB.第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日5.2.4量化噪聲通過線性系統(tǒng)

為了單獨(dú)分析量化噪聲通過系統(tǒng)后的影響，將系統(tǒng)近似看作是完全理想的（即具有無限精度的線性系統(tǒng)）。在輸入端線性相加的噪聲，在系統(tǒng)的輸出端也是線性相加的。系統(tǒng)的輸出第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日輸出噪聲為如為舍入噪聲，則輸出噪聲的方差為：由于是白色的，各變量之間互不相關(guān)，即代入上式，得

由Parseval定理,第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日H(z)全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，表示沿單位圓逆時針方向的圓周積分。由留數(shù)定理：如為截尾噪聲，則輸出噪聲中還有一直流分量第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日

例3：一個8位A/D變換器（），其輸出作為IIR濾波器的輸入，求濾波器輸出端的量化噪聲功率，已知IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

解：由于