2019北京五中分校初三（上）期中數(shù)學(xué)含答案

27/272019北京五中分校初三（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿分16分）1．（2分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則tanA＝（）A． B． C． D．2．（2分）一個(gè)扇形的圓心角為90°，半徑為2，則這個(gè)扇形的面積是（）A．6π B．4π C．2π D．π3．（2分）已知點(diǎn)A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1、y2的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．無法確定4．（2分）拋物線y＝（x﹣4）2﹣5的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向分別是（）A．（4，﹣5），開口向上 B．（4，﹣5），開口向下 C．（﹣4，﹣5），開口向上 D．（﹣4，﹣5），開口向下5．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，則的值為（）A． B． C． D．6．（2分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是圓O的直徑，BD交AC于點(diǎn)E，連結(jié)DC，則∠AEB等于（）A．70° B．90° C．110° D．120°7．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以點(diǎn)A為圓心，BC長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A、D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是（）A． B． C． D．8．（2分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，正方形CDEF的頂點(diǎn)D、F分別在AC、BC上，C、D兩點(diǎn)不重合，設(shè)CD的長度為x，Rt△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y，則下列中能表示y與x之間的關(guān)系的是（）A． B． C． D．二、填空題（共8小題，每小題2分，滿分16分）9．（2分）二次函數(shù)y＝x2+2x+3的最小值是．10．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（3，4）是⊙O上一點(diǎn)，B是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，請你寫出一個(gè)符合要求的點(diǎn)B的坐標(biāo)：．11．（2分）為了測量校園里水平地面上的一棵大樹的高度，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)們開展如下活動(dòng)：某一時(shí)刻，測得身高1.6m的小明在陽光下的影長是1.2m，在同一時(shí)刻測得這棵大樹的影長是3.6m，則此樹的高度是m．12．（2分）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AD＝2，BC＝5，則△ABC的周長為．13．（2分）已知y與x的函數(shù)滿足下列條件：①它的圖象經(jīng)過（1，1）點(diǎn)；②當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減?。畬懗鲆粋€(gè)符合條件的函數(shù)：．14．（2分）走進(jìn)中國科技館，同學(xué)們會(huì)在數(shù)學(xué)區(qū)發(fā)現(xiàn)截面為“萊洛三角形”的輪子．如圖，分別以等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑畫弧，則，，組成的封閉圖形就是“萊洛三角形”．若AB＝3，則此“萊洛三角形”的周長為．15．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：x…﹣101234…y…61﹣2﹣3﹣2m…下面有四個(gè)論斷：①拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（2，﹣3）；②m＝﹣3；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解為x1＝1，x2＝3；④當(dāng)x＝﹣0.5時(shí)，y的值為正．其中，正確的有．16．（2分）如圖，反比例函數(shù)y＝的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC＝BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y＝的圖象上運(yùn)動(dòng)，tan∠CAB＝2，則k＝．三、解答題（共12小題，滿分68分）17．（5分）計(jì)算：4cos30°?tan60°﹣sin245°．18．（5分）下面是小元設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，⊙O及⊙O上一點(diǎn)P．求作：過點(diǎn)P的⊙O的切線．作法：如圖2，①作射線OP；②在直線OP外任取一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作⊙A，與射線OP交于另一點(diǎn)B；③連接并延長BA與⊙A交于點(diǎn)C；④作直線PC；則直線PC即為所求．根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：∵BC是⊙A的直徑，∴∠BPC＝90°（）（填推理的依據(jù)）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線（）（填推理的依據(jù)）．19．（5分）如圖，∠B＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的長．20．（5分）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如圖EM經(jīng)過圓心交⊙O于點(diǎn)E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半徑．21．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象與直線y＝2x﹣2交于點(diǎn)Q（2，m）．（1）求m，k的值；（2）已知點(diǎn)P（a，0）（a＞0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交直線y＝2x﹣2于點(diǎn)M，交函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)N．①當(dāng)a＝4時(shí)，求MN的長；②若PM＞PN，結(jié)合圖象，直接寫出a的取值范圍．22．（6分）已知拋物線C1：y1＝2x2﹣4x+k與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）求k的值；（2）怎樣平移拋物線C1就可以得到拋物線C2：y2＝2（x+1）2﹣4k？請寫出具體的平移方法；（3）若點(diǎn)A（1，t）和點(diǎn)B（m，n）都在拋物線C2：y2＝2（x+1）2﹣4k上，且n＜t，直接寫出m的取值范圍．23．（5分）某景區(qū)商店銷售一種紀(jì)念品，每件的進(jìn)貨價(jià)為40元．經(jīng)市場調(diào)研，當(dāng)該紀(jì)念品每件的銷售價(jià)為50元時(shí)，每天可銷售200件；當(dāng)每件的銷售價(jià)每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10件．（1）當(dāng)每件的銷售價(jià)為52元時(shí)，該紀(jì)念品每天的銷售數(shù)量為件；（2）當(dāng)每件的銷售價(jià)x為多少時(shí)，銷售該紀(jì)念品每天獲得的利潤y最大？并求出最大利潤．24．（6分）問題呈現(xiàn)如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)D，N和E，C，DN和EC相交于點(diǎn)P，求tan∠CPN的值．方法歸納求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM＝∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．問題解決（1）直接寫出圖1中tan∠CPN的值為；（2）如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P，求cos∠CPN的值；思維拓展（3）如圖3，AB⊥BC，AB＝4BC，點(diǎn)M在AB上，且AM＝BC，延長CB到N，使BN＝2BC，連接AN交CM的延長線于點(diǎn)P，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求∠CPN的度數(shù)．25．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的圓交AB于點(diǎn)D，O是該圓圓心，E為線段AC上一點(diǎn)，且ED＝EA．（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若ED＝，∠B＝60°，求⊙O的半徑．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)C，D在x軸上（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且與點(diǎn)B的距離都為2，若該拋物線與線段CD有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．27．（6分）如圖所示，點(diǎn)P位于等邊△ABC的內(nèi)部，且∠ACP＝∠CBP．（1）∠BPC的度數(shù)為°；（2）延長BP至點(diǎn)D，使得PD＝PC，連接AD，CD．①依題意，補(bǔ)全圖形；②證明：AD+CD＝BD；（3）在（2）的條件下，若BD的長為2，求四邊形ABCD的面積．28．（7分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：連接PC交⊙C于點(diǎn)N，若點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)Q在⊙C的內(nèi)部，則稱點(diǎn)P是⊙C的外應(yīng)點(diǎn)．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)D（﹣1，﹣1），E（2，0），F(xiàn)（0，4）中，⊙O的外應(yīng)點(diǎn)是；②若點(diǎn)M（m，n）為⊙O的外應(yīng)點(diǎn)，且線段MO交⊙O于點(diǎn)，求m的取值范圍；（2）⊙T的圓心為T（t，0），半徑為1，直線y＝﹣x+b過點(diǎn)A（1，1），與x軸交于點(diǎn)B．若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙T的外應(yīng)點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．

2019北京五中分校初三（上）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿分16分）1．【分析】在直角△ABC中利用正切的定義即可求解．【解答】解：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．2．【分析】利用扇形的面積公式即可求解．【解答】解：根據(jù)扇形的面積公式可得：扇形的面積＝＝π．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的面積公式的計(jì)算，正確理解公式是解題的關(guān)鍵．3．【分析】直接利用反比例函數(shù)的增減性分析得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，∴每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∴y1＜y2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確把握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．【分析】根據(jù)y＝a（x﹣h）2+k，a＞0時(shí)圖象開口向上，a＜0時(shí)圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是x＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得開口方向向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，﹣5）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0時(shí)圖象開口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；a＜0時(shí)圖象開口向下，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是x＝h，5．【分析】條件可以求出AD：AB＝2；3，再由條件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．【解答】解：∵AD＝6，DB＝3，∴AB＝9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵．6．【分析】因?yàn)椤螦＝50°，∠ABC＝60°，所以利用三角形的內(nèi)角和可得∠ACB＝70°，利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠A＝∠D＝50°，又因?yàn)椤螧CD是直徑所對(duì)的圓周角，所以等于90°，因此可得∠ECD＝20°，利用內(nèi)角和與對(duì)頂角相等可得∠AEB等于110°．【解答】解：∵∠A＝50°，∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵BD是圓O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝20°，∴∠ABD＝∠ACD＝20°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣（50°+20°）＝110°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了圓周角定理、三角形的內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等．7．【分析】設(shè)BC＝x，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AC＝2BC＝2x，求出AB＝BC＝x，根據(jù)題意得出AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性質(zhì)得出AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：設(shè)BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，根據(jù)題意得：AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，則AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)；通過作輔助線求出AM是解決問題的關(guān)鍵．8．【分析】分類討論：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，根據(jù)正方形的面積公式得到y(tǒng)＝x2；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重疊的面積等于正方形的面積減去等腰直角三角形MNE的面積得到y(tǒng)＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y(tǒng)＝﹣（x﹣2）2+2，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y＝x2，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，ED交AB于M，EF交AB于N，如圖，CD＝x，則AD＝2﹣x，∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴△ADM為等腰直角三角形，∴DM＝2﹣x，∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，∴y＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．二、填空題（共8小題，每小題2分，滿分16分）9．【分析】化成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可解答．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴最小值是2；故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，把解析式化成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．10．【分析】連結(jié)OA，根據(jù)勾股定理可求OA，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得一個(gè)符合要求的點(diǎn)B的坐標(biāo)．【解答】解：連結(jié)OA，OA＝＝5，∵B為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，∴符合要求的點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，0）答案不唯一．故答案為：（0，0）答案不唯一．【點(diǎn)評(píng)】考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得到OA的長．11．【分析】設(shè)此樹的高度是hm，再根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)此樹的高度是hm，則＝，解得h＝4.8（m）．故答案為：4.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)刻物高與影長成正比是解答此題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)切線長定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE，∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝5，∴△ABC的周長＝AD+DB+BC+CF+AF＝AD+AF+BC+（BD+CF）＝14，故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．13．【分析】可考慮一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，本題答案不唯一，只要符合條件即可．【解答】解：符合條件的函數(shù)可以是一次函數(shù)、二次函數(shù)，如y＝﹣x，y＝﹣（x﹣1）2+1等．故答案為：y＝﹣（x﹣1）2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，是開放性題目，答案不唯一，只要滿足條件即可．14．【分析】連接OB、OC，作OD⊥BC于D，根據(jù)正三角形的性質(zhì)求出弧的半徑和圓心角，根據(jù)弧長的計(jì)算公式求解即可．【解答】解：連接OB、OC，作OD⊥BC于D，∵△ABC是正三角形，∴∠BAC＝60°，∴的長為：＝π，∴“萊洛三角形”的周長＝π×3＝3π．故答案為3π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓的知識(shí)，理解“萊洛三角形”的概念、掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．15．【分析】①由當(dāng)x＝1，x＝3時(shí)y值相等，可得出拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，進(jìn)而可得出拋物線的頂點(diǎn)為（2，﹣3），結(jié)論①正確；②利用拋物線的對(duì)稱性，可得出m＝1，結(jié)論②錯(cuò)誤；③由當(dāng)x＝1，x＝3時(shí)y＝﹣2，可得出關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解為x1＝1，x2＝3，結(jié)論③正確；④根據(jù)拋物線的性質(zhì)的得到：結(jié)論④正確；綜上，此題得解．【解答】解：①∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣2，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝2，∴拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（2，﹣3），結(jié)論①正確；②∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴當(dāng)x＝4時(shí)y值與當(dāng)x＝0時(shí)的y值相等，∴m＝1，結(jié)論②錯(cuò)誤；③∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝﹣2，∴拋物線與直線y＝﹣2交于點(diǎn)（1，﹣2）和（3，﹣2），∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解為x1＝1，x2＝3，結(jié)論③正確；④由以上推知，該拋物線開口方向向上，頂點(diǎn)為（2，﹣3），拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）．則當(dāng)x＝﹣0.5時(shí)，y＞0．結(jié)論④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析四條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．16．【分析】連接OC，作CM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N，如圖，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得OA＝OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OC⊥AB，利用正切的定義得到＝2，再證明Rt△OCM∽R(shí)t△OAN，利用相似的性質(zhì)得＝4，然后根據(jù)k的幾何意義求k的值．【解答】解：連接OC，作CM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N，如圖，∵A、B兩點(diǎn)為反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的兩交點(diǎn)，∴點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA＝OB，∵CA＝CB，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝2，∵∠COM+∠AON＝90°，∠AON+∠OAN＝90°，∴∠COM＝∠OAN，∴Rt△OCM∽R(shí)t△OAN，∴＝（）2＝4，而S△OAN＝×3＝，∴S△CMO＝6，∵|k|＝6，而k＜0，∴k＝﹣12．故答案為﹣12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．也考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．三、解答題（共12小題，滿分68分）17．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，可得答案．【解答】解：原式＝4××﹣（）2＝6﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．18．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠BPC＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；（2）證明：∵BC是⊙A的直徑，∴∠BPC＝90°（圓周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線（切線的判定）．故答案為：圓周角定理，切線的判定．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證明．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出AB即可解決問題．【解答】（1）證明：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ABC∽△ACD．（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝，∴＝，∴AB＝9，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣4＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．20．【分析】因?yàn)镸是⊙O弦CD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，EM⊥CD，則CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，進(jìn)而可求得半徑OC．【解答】解：連接OC，∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理：EM⊥CD，又CD＝4則有：CM＝CD＝2，設(shè)圓的半徑是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圓的半徑長是cm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形．21．【分析】（1）將點(diǎn)Q（2，m）代入y＝2x﹣2，求出m＝2，那么Q（2，2），再將Q的坐標(biāo)代入y＝，即可求出k的值；（2）①當(dāng)a＝4時(shí)，P（4，0），再求出M（4，6），N（4，1），那么MN可求；②當(dāng)PM＞PN時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，根據(jù)函數(shù)y＝的圖象與直線y＝2x﹣2交于點(diǎn)Q（2，2），結(jié)合圖象即可得出a的取值范圍．【解答】解：（1）∵直線y＝2x﹣2經(jīng)過點(diǎn)Q（2，m），∴m＝2．∴Q（2，2）．∵函數(shù)y＝經(jīng)過點(diǎn)Q（2，2），∴k＝4；（2）①當(dāng)a＝4時(shí)，P（4，0）．∵反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，∴M（4，6），N（4，1）．∴MN＝5；②∵函數(shù)y＝的圖象與直線y＝2x﹣2交于點(diǎn)Q（2，2），又點(diǎn)P（a，0）（a＞0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交直線y＝2x﹣2于點(diǎn)M，交函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)N，∴當(dāng)PM＞PN時(shí)，a＞2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．22．【分析】（1）拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則判別式△＝0，據(jù)此即可求得k的值；（2）把C1化成頂點(diǎn)式的形式，利用函數(shù)平移的法則即可確定；（3）首先求得t的值，然后求得等y＝t時(shí)C2中對(duì)應(yīng)的自變量的值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：△＝16﹣8k＝0，解得：k＝2；（2）C1是：y1＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，拋物線C2是：y2＝2（x+1）2﹣8．則平移拋物線C1就可以得到拋物線C2的方法是向左平移2個(gè)單位長度，向下平移8個(gè)單位長度；（3）當(dāng)x＝1時(shí)，y2＝2（x+1）2﹣8＝0，即t＝0．在y2＝2（x+1）2﹣8中，令y＝0，解得：x＝1或﹣3．則當(dāng)n＜t時(shí)，即2（x+1）2﹣8＜0時(shí)，m的范圍是﹣3＜m＜1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)的確定，以及函數(shù)的平移方法，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定m的范圍是關(guān)鍵．23．【分析】（1）根據(jù)“當(dāng)每件的銷售價(jià)每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10件”，即可解答；（2）根據(jù)等量關(guān)系“利潤＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷量”列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【解答】解：（1）由題意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），故答案為：180；（2）由題意得：y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250∴每件銷售價(jià)為55元時(shí)，獲得最大利潤；最大利潤為2250元．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出二次函數(shù)的最值是中考中考查重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．24．【分析】（1）連接格點(diǎn)M，N，可得MN∥EC，則∠DNM＝∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中．（2）如圖2中，取格點(diǎn)D，連接CD，DM．那么∠CPN就變換到等腰Rt△DMC中．（3）利用網(wǎng)格，構(gòu)造等腰直角三角形解決問題即可；【解答】解：（1）如圖1中，∵EC∥MN，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，故答案為2．（2）如圖2中，取格點(diǎn)D，連接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN＝∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM＝∠D＝45°，∴cos∠CPN＝cos∠DCM＝．（3）如圖3中，如圖取格點(diǎn)H，連接AH、HN．∵PC∥HN，∴∠CPN＝∠ANH，∵AH＝HN，∠AHN＝90°，∴∠ANH＝∠HAN＝45°，∴∠CPN＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、平行線的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．25．【分析】（1）連接OD．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到ED＝EC，求得ED＝EC＝EA＝．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD．∵ED＝EA，∴∠A＝∠ADE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°．∴∠ADE+∠BDO＝90°，∴∠ODE＝90，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵∠ACB＝90°，BC為直徑，∴AC是⊙O的切線．∵DE是⊙O的切線，∴ED＝EC，∵ED＝，∴ED＝EC＝EA＝．∴AC＝2，∵Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝2．∴⊙O的半徑為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．26．【分析】（1）求出x＝0時(shí)y的值即可得出點(diǎn)A坐標(biāo)，將解析式配方成頂點(diǎn)式，得出其對(duì)稱軸可得點(diǎn)B坐標(biāo)；（2）分m＞0和m＜0兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象可得．【解答】解：（1）由題意，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2．∴A（0，2）．∵y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2+2﹣m，∴對(duì)稱軸為直線x＝1．∴B（1，0）．（2）由題意，C（﹣1，0），D（3，0）．①當(dāng)m＞0時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象可知，滿足題意的拋物線的頂點(diǎn)須在x軸下方，即2﹣m＜0．∴m＞2．②當(dāng)m＜0時(shí)，過C（﹣1，0）的拋物線的頂點(diǎn)為E（1，）．結(jié)合函數(shù)圖象可知，滿足條件的拋物線的頂點(diǎn)須在點(diǎn)E上方或與點(diǎn)E重合，即2﹣m≥．∴m≤．綜上所述，m的取值范圍為m＞2或m≤．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①利用射線的作法得