新教材2021-2022學(xué)年蘇教版必修第一冊(cè)7.1.2弧度制作業(yè)

7.1.2弧度制基礎(chǔ)過關(guān)練題組一對(duì)弧度制概念的理解1.(2021江蘇常州第二中學(xué)高一月考)下列說法正確的是()弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑B.大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大C.所有圓心角為1弧度的角所對(duì)的弧長(zhǎng)都相等D.用弧度表示的角都是正角2.2弧度的角的終邊所在的象限是 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限題組二角度與弧度的互化3.(2020廣東梅州東山中學(xué)高一月考)將表的分針撥慢10分鐘,則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是 ()A.π4.時(shí)鐘的分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為 ()A.14π5.(2021江蘇常州前黃高級(jí)中學(xué)高一期中)下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是 ()°化成弧度是π6B.?°30'化成弧度是2π7D.6.已知α=15°,β=π10,γ=1,θ=105°,φ=7π12,則α,β,γ,θ,φ的大小關(guān)系為題組三用弧度制表示終邊相同的角7.下列各對(duì)角中,終邊相同的角是 ()A.20πC.3π2,-3π28.(多選)(2021江蘇揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)等八校高一上聯(lián)考)下列給出的各角中,與-5π3終邊相同的角有 (A.π9.若把-11π4表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,則使|θ|最小的θ的值是10.用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊重合于x軸的非負(fù)半軸,終邊落在陰影部分內(nèi)的角組成的集合(包括邊界,如圖所示). 易錯(cuò)題組四扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式11.(2020江蘇連云港板浦高級(jí)中學(xué)高一月考)已知扇形的圓心角為2π3,面積為4π3,則扇形的半徑為 (A.1212.(2021江蘇鎮(zhèn)江高一期末)已知扇形的面積為4,扇形圓心角的弧度數(shù)為2,則扇形的弧長(zhǎng)為 ()13.(2021江蘇常州調(diào)研)《九章算術(shù)》成書于公元一世紀(jì)左右,是一本綜合性的歷史著作.書中記載這樣一個(gè)問題:“今有宛田,下周三十步,徑十六步.問為田幾何?”(一步為1.5米)意思是現(xiàn)有扇形田,弧長(zhǎng)為45米,直徑為24米,那么扇形田的面積為 ()平方米平方米平方米080平方米14.如圖,以正方形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心,邊AB的長(zhǎng)為半徑作扇形EAB,若圖中兩塊陰影部分的面積相等,則∠EAD的弧度數(shù)大小為.

15.(2021江蘇宿遷泗洪中學(xué)高一期中)已知一扇形的圓心角為α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧長(zhǎng)l;(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積是4cm2,求扇形的圓心角;(3)若扇形的周長(zhǎng)為20cm,則當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大? 深度解析能力提升練題組一弧度制的應(yīng)用1.(2021江蘇連云港新海高級(jí)中學(xué)高一月考,)已知某中學(xué)上午第一節(jié)課的上課時(shí)間是8點(diǎn),那么當(dāng)?shù)谝还?jié)課上課鈴聲響起時(shí),時(shí)鐘的時(shí)針、分針把整個(gè)時(shí)鐘圓弧分成的劣弧所對(duì)的圓心角是 ()A.π2.()已知α是第三象限角,則α3不是 ()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.()已知角α的終邊與角π3的終邊相同,則在[0,2π)內(nèi),終邊與角α3終邊相同的角為4.()已知角α=1200°.(1)將α改寫成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第幾象限的角;(2)在區(qū)間[-4π,π]內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角.5.()若角α1=-570°,α2=750°,β1=3π10,β2=-7π3(1)將α1,α2用弧度制表示,并指出它們的終邊各在哪個(gè)象限;(2)將β1,β2用角度制表示,并在-720°~0°范圍內(nèi)找出與它們終邊相同的角.題組二扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式的應(yīng)用6.(2021江蘇鹽城高一期末,)古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼(Eratosthenes,前275—前193)用下面的方法估算地球的周長(zhǎng)(即赤道周長(zhǎng)).他從書中得知,位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼(現(xiàn)在的阿斯旺,在北回歸線上),夏至那天正午立桿無影;同樣在夏至那天,他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城,立桿可測(cè)得日影角大約為7°(如圖),埃拉托色尼猜想造成這個(gè)差異的原因是地球是圓的,并且太陽距離地球很遠(yuǎn)(現(xiàn)代科學(xué)觀察得知,太陽光到達(dá)地球表面需要8.3s,光速300000km/s),太陽光平行照射在地球上.根據(jù)平面幾何知識(shí)知兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,因此日影角與兩地對(duì)應(yīng)的地心角相等,他又派人測(cè)得兩地距離大約5000希臘里,約合800km,按照埃拉托色尼所得數(shù)據(jù)可以測(cè)算地球的半徑約為 ()A.720007πkmC.1340007.(2021江西撫州高一期末,)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表,其中《方田》章給出了計(jì)算弧田(由圓弧和其所對(duì)弦圍成)面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式:弧田面積=12(弦×矢+矢2),公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng),“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.已知一塊弦長(zhǎng)為6m的弧田按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得面積為33+32m2,則該弧田的實(shí)際面積為8.(2021江蘇徐州第一中學(xué)高一月考,)某學(xué)校新校區(qū)擬建一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示),按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)的周長(zhǎng)為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米,設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米,圓心角為θ.(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)已知對(duì)花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí),直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米,弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米,設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用之比為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值.答案全解全析7.1.2弧度制基礎(chǔ)過關(guān)練1.A根據(jù)弧度的概念知1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑,故A正確;大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等,故B錯(cuò)誤;不在同圓或等圓中,1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是不相等的,故C錯(cuò)誤;用弧度表示的角可以是任意角,故D錯(cuò)誤.2.B∵π2<2<π,∴2弧度的角的終邊所在的象限為第二象限.故選B3.A將表的分針撥慢10分鐘,則分針逆時(shí)針轉(zhuǎn)過60°,所以分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是π3.故選4.D∵分針每分鐘轉(zhuǎn)-6°,∴分針在1點(diǎn)到3點(diǎn)20分這段時(shí)間里轉(zhuǎn)過的度數(shù)為-6°×(2×60+20)=-840°.-840°=-840×π180=?14π35.C30°化成弧度是π6,故A中結(jié)果正確-10π3化成度是-600°,故B中結(jié)果正確67°30'=67.5°=67.5×π180=3π8,8π5化成度是288°,故D中結(jié)果正確故選C.6.答案α<β<γ<θ=φ解析解法一(角度化為弧度):α=15°=15×π180=π12,θ=105°=105×π180=7π12,因?yàn)棣?2<π解法二(弧度化為角度):β=π10=π10×180π°=18°,γ=1≈57.30°,φ=7π12×180π°=105°,因?yàn)?5°<18°<57.30°<105°7.DA不符合題意,20π3=2π3+6π,29πB不符合題意,22π3=4π3+6π,其終邊與C不符合題意,因?yàn)?π2的終邊在y軸的非正半軸上,-3π2的終邊在y軸的非負(fù)半軸上,D符合題意,因?yàn)?25π9=?7π9-2π,所以8.ABD與-5π3終邊相同的角為α=?5π3+2k當(dāng)k=1時(shí),α=π3,故選項(xiàng)A符合題意當(dāng)k=3時(shí),α=13π3,故選項(xiàng)B符合題意令-5π3+2kπ=?2π3,解得k=12當(dāng)k=-2時(shí),α=-17π3,故選項(xiàng)D符合題意故選ABD.9.答案-3π解析-11π4可表示為?3π4-2π,此時(shí)|θ|最小10.解析(1)α-π6+2kπ≤α≤5π12+2k(2)απ易錯(cuò)警示角度制與弧度制是兩種不同的度量制度,在表示角時(shí)不能混用,例如:α=k·360°+π6(k∈Z),β=2kπ+30°(k∈Z)等寫法都是不規(guī)范的11.C設(shè)扇形的半徑為R(R>0),則扇形的面積S=12×2π3×R2=4π312.B設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,扇形所在圓的半徑為r.由題意可得12lr13.答案B信息提取扇形田的弧長(zhǎng)為45米,直徑為24米.數(shù)學(xué)建模以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化《九章算術(shù)》中的問題為背景,構(gòu)建與扇形面積有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.根據(jù)扇形田的弧長(zhǎng)為45米,直徑為24米,利用扇形的面積公式求出扇形田的面積.解析根據(jù)扇形的面積公式,得扇形田的面積S=12×45×242=270(平方米14.答案2-π解析設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,∠EAD=α,由已知可得a2-14πa故α=2-π215.解析(1)∵α=60°=π3,∴l(xiāng)=αR=π3×10=10π(2)由題意得2解得R=1,α=8(故扇形的圓心角為12(3)由已知得l+2R=20,則l=20-2R,所以扇形的面積S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以當(dāng)R=5時(shí),S取得最大值25,此時(shí)l方法總結(jié)運(yùn)用弧度制下扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式比用角度制下的公式要簡(jiǎn)單得多,若角是以“度”為單位的,通常先將其化為弧度,再計(jì)算.能力提升練1.C8點(diǎn)時(shí)時(shí)鐘的時(shí)針正好指向“8”,分針正好指向“12”,由于時(shí)鐘每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的圓心角是30°,即π6,所以此時(shí)時(shí)針、分針把整個(gè)時(shí)鐘圓弧分成的劣弧所對(duì)的圓心角是π2.B因?yàn)棣潦堑谌笙藿?所以2kπ+π<α<2kπ+3π2,k∈Z所以23kπ+π3當(dāng)k=3n,n∈Z時(shí),2nπ+π3<α3<2nπ+π2當(dāng)k=3n+1,n∈Z時(shí),2nπ+π<α3<2nπ+7π6,n∈當(dāng)k=3n+2,n∈Z時(shí),2nπ+5π3<α3<2nπ+11π6所以α3不是第二象限角.故選3.答案π9,7π9解析由題意得α=π3+2kπ(k∈Z故α3=π9+2因?yàn)?≤α3<2π,所以k的值取0,1,2,α3分別為π94.解析(1)∵α=1200°=1200×π180=20π3=3×2π+2π3,∵π2<2π3<π,∴(2)與角α終邊相同的角(含角α)可表示為2π3+2kπ,k∈Z.令-4π≤2π3+2kπ≤π(k∈Z),得-73≤k∴k=-2或k=-1或k=0,∴在區(qū)間[-4π,π]內(nèi)與角α終邊相同的角有-10π3,-4π3,5.解析(1)-570°=-570×π180=?19π750°=750×π180=25π(2)β1=3π10=3π10×180°π=54°,54°-360°=-306β2=-7π3=?7π3×180°π=-420綜上,在-720°~0°范圍內(nèi)與β1終邊相同的角為-306°,-666°,與β2終邊相同的角為-60°.6.D由題意得∠AOB=7°,對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為800km.設(shè)地球的周長(zhǎng)為Ckm,半徑為Rkm,則7360=800C,解得又C=2πR,所以2πR=2880007,解得R所以按照埃拉托色尼所得數(shù)據(jù)可以測(cè)算地球的半徑約為1440007πkm7.答案4π-33解析如圖所示,弦長(zhǎng)AB=6m,設(shè)矢CD=xm,則弧田的面積S=12×(6x+x2)=33+32,即6x+x2解得x=3或x=?6?3設(shè)OA=Rm,則OD=(R-3)m,所以R2=(R-3)2+(6÷2)2,解得R=23,則∠AOB=2π3所以該弧田的實(shí)際面積為S扇形-S△AOB=12×2π3×(23)2-1