九年級(jí)備課資源專題復(fù)習(xí)部分

專題部分第4課時(shí)簡(jiǎn)單的幾何計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)能在簡(jiǎn)單的幾何背景下求出線段的長(zhǎng)度或角的度數(shù).方法提煉1.求線段的長(zhǎng)的常用方法：QUOTE2.求角的度數(shù)的常用方法：（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理.（2）運(yùn)用三角函數(shù).（3）運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)或公式.方法應(yīng)用例1如圖4-1所示，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上F處，（1）求出DE的長(zhǎng).（2）求出∠EBF的正弦值.圖4-1解：矩形ABCD，，由折疊可得，，，在中，，，根據(jù)勾股定理得：，即，設(shè)，則有，根據(jù)勾股定理得：，解得：，則，（2）例2如圖4-2所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，∠DBC=∠BED.（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的長(zhǎng). 圖4-2（1）證明：是的直徑，是的切線；（2）解，即例3如圖4-3所示，四邊形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，DH⊥AB于點(diǎn)H，求線段BH的長(zhǎng).圖4-3四邊形ABCD是菱形，，，，，，，，，在中，.鞏固練習(xí)1.如圖4-4所示，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，連結(jié)PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)AC，AB=10，∠P=30°，則線段AC=__________.2.如圖4-5所示，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，OM//AB交AD于點(diǎn)M，若OM=3，BC=10，則OB的長(zhǎng)度為__________.圖4-4 圖4-5 圖4-63.如圖4-6所示，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，則tan∠EAF=________.4.如圖4-7所示，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，AM⊥ME，ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AB=12，BM=5，則線段DE的長(zhǎng)度為.圖4-75.如圖4-8所示，已知AC⊥BC，垂足為C，AC=4，，將線段AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到線段AD，連接DC，DB.（1）線段DC=___4_____；（2）求線段DB的長(zhǎng)度.圖4-8（1），答圖4-1是等邊三角形答圖4-1（2）如答圖4-1所示，作于點(diǎn).是等邊三角形，，又，，中，，，.中，5.如圖4-9所示，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在上.（1）求證：AE=AB（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的長(zhǎng).圖4-9答圖4-2如答圖4-2所示，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)答圖4-2，， 第14課時(shí)以圓為背景的綜合計(jì)算與證明學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合三角形、三角函數(shù)解決以圓為背景的綜合計(jì)算與證明方法提煉：正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（１）圓與切線有關(guān)的問(wèn)題（２）圓與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題（３）圓與相似三角形有關(guān)的問(wèn)題方法應(yīng)用：例1（2019?廣東）如圖14-1，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作∠BCD=∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使CF=AC，連接AF．（1）求證：ED=EC；（2）求證：AF是⊙O的切線；（3）如圖14-2，若點(diǎn)G是△ACD的內(nèi)心，BC·BE=25，求BG的長(zhǎng)．圖圖14-1圖14-2答圖14-1【解析】（1）∵AB=AC答圖14-1∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∴∠BCD=∠ADC，∴ED=EC．（2）如答圖14-1所示，連接OA，∵AB=AC，∴，∴OA⊥BC，∵CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，∵∠ACB=∠BCD，∴∠ACD=2∠ACB，答圖14-2∴∠CAF=∠ACB答圖14-2∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF為⊙O的切線．（3）∵∠ABE=∠CBA，∠BAD=∠BCD=∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2=BC·BE，∴BC·BE=25，∴AB=5，如答圖14-2，連接AG，∴∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠BGA=∠GAC+∠ACB，∵點(diǎn)G為內(nèi)心，∴∠DAG=∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG=∠GDC+∠ACB，∴∠BAG=∠BGA，∴BG=AB=5．例2如圖14-3，已知內(nèi)接于，是直徑，點(diǎn)在上，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接交邊于點(diǎn)．圖14-3（1）求證：∽；圖14-3（2）求證：；（3）連接，設(shè)的面積為，四邊形的面積為，若，求的值．【解析】（1）是⊙的直徑，.～.（2）～和是所對(duì)的圓周角，.（3），即，，，即.，，，即鞏固練習(xí)：圖14-41、如圖14-4，在中，BC=2,AB=AC，點(diǎn)D為AC上的動(dòng)點(diǎn)，且.圖14-4（1）求AB的長(zhǎng)度；（2）求AD·AE的值；【答案】（1）解：如答圖14-3所示，作AM⊥BC，

∵AB=AC,BC=2，AM⊥BC，

∴BM=CM=BC=1,在Rt△AMB中，

∵cosB=,BM=1,

∴AB=BM÷cosB=1÷=.答圖14-3（2）解：連接CD，∵AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，

∴∠ADC+∠ABC=180°,

又∵∠ACE+∠ACB=180°,

∴∠ADC=∠ACE，

∵∠CAE=∠CAD，

∴△EAC∽△CAD，

∴,

∴AD·AE=AC2=AB2=（）2=10.

答圖14-3圖14-52、如圖14-5，平行四邊形ABCD中，AC=BC，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙O與AD相交于點(diǎn)E，連接CE圖14-5（1）證明：AB=CE；（2）證明：DC與⊙O相切；（3）若⊙O的半徑r=5，AB=8，求sin∠ACE的值．【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，∵四邊形ABCE是圓的內(nèi)接四邊形，答圖14-4∴∠DEC=∠B答圖14-4∴∠D=∠DEC，∴CD=CE，∴AB=CE．（2）如答圖14-4所示，連接CO，并延長(zhǎng)CO交AB于E，∵AC=BC，∴，且CO是半徑，∴CE⊥AB，AE=BE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，且CE⊥AB，∴CE⊥CD，且CO是半徑，∴DC與⊙O相切．（3）如答圖14-5所示，連接OE，OA，過(guò)點(diǎn)F作CF⊥AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AE于點(diǎn)E，答圖14-5∵AE=BE，AB=8答圖14-5∴AE=BE=4，且AO=5，CE⊥AB，∴OE==3，∴CE=CO+OE=5，∴AC=，∴AC=BC=AD=，∵∠B=∠D，∠CFD=∠CEB，∴△CDF∽△CBE，∴，∴，∴DF=，∵CD=CE，CF⊥DA，∴DF=EF=，∴AE=AD-DF-EF=，∵OE=OA，OM⊥AD，∴AM=EM=AE=，∠EOM=∠AOE，∵∠ACE=∠AOE，∴∠ACE=∠EOM，∴sin∠ACE=sin∠EOM=．3、如圖14-6，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，連接AC，OD交于點(diǎn)E．（1）證明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切；（3）在（2）條件下，連接BD交于⊙O于點(diǎn)F，連接EF，若BC=1，求EF的長(zhǎng)．圖14-6解：（1）如答圖14-6所示，連接OC圖14-6在△OAD和△OCD中，∵，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO=∠CDO，又AD=CD，答圖14-6∴DE⊥AC答圖14-6∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OD∥BC；（2）∵tan∠ABC==2，∴設(shè)BC=a、則AC=2a，∴AD=AB==，∵OE∥BC，且AO=BO，∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，在△AED中，DE==2a，在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，∴AO2+AD2=OD2，∴∠OAD=90°，則DA與⊙O相切；（3）連接AF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴=，即DF?BD=AD2①，又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴=，即OD?DE=AD2②，由①②可得DF?BD=OD?DE，即=，又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∵BC=1，∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，∴=，即=，解得：EF=．第15課時(shí)構(gòu)造輔助圓（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能運(yùn)用兩種方法構(gòu)造輔助圓來(lái)解決一些綜合題（1）模型1：定斜邊直角三角形構(gòu)造圓；（2）模型２：定線定角構(gòu)造圓。【規(guī)則提煉】圖15-２模型圖15-２圖圖15-1基本原理1：如圖15-1，在⊙O中，AB為直徑，則始終有AB所對(duì)的∠C=90°。圖15-3基本原理2：如圖15-2，若AB是固定線段，且總有∠C=90°，則點(diǎn)C在以AB圖15-3模型2：定線定角構(gòu)造圓基本原理3：如圖15-3，若AB為固定值，則AB所對(duì)的圓周角都相等（優(yōu)?。?。弦AB在劣弧上也有圓周角。∠C=∠D=∠AOB。圖圖15-4４基本原理4：如圖15-4，若有固定線段AB及線段AB所對(duì)的∠C大小固定，易知點(diǎn)C不是唯一確定。若∠C＜90°，則點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)；若∠C＞90°，則點(diǎn)C在劣弧AB上運(yùn)動(dòng)；若∠C=90°，則為模型1所示.圖15-5基本原理5：如圖15-5，AB為⊙O圖15-5則定點(diǎn)C到AB的最大值為當(dāng)CO⊥AB時(shí)CE的長(zhǎng)度。（圖中已經(jīng)證明CE＞CF）【規(guī)則應(yīng)用】例1如圖15-6，在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB=90°，圖15-6則DP的最小值是圖15-6解題思路：運(yùn)用模型1-定斜邊直角三角形構(gòu)造圓?！摺螦PB=90°∴以ＡＢ為直徑構(gòu)造⊙O∵AB=2∴ＡＯ＝1DP的最小值為當(dāng)Ｄ、Ｐ、Ｏ三點(diǎn)共線時(shí)，ＤＰ＝ＯＤ－ＯＰ＝例題2如圖15-7，△ABC為等邊三角形，AB=2，P為三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為多少？圖15-7解題思路：P點(diǎn)是如何運(yùn)動(dòng)的？由題目條件可知AC是固定線段，又告訴我們∠PAB=∠ACB，且△ABC是等邊三角形，是否存在固定角度？如存在固定角度，則滿足了固定線段和固定角度，則可以運(yùn)用模型2—定弦定角構(gòu)造圖15-7解：∵∠PAB=∠ACP，∴∠PAB+∠PAC=∠ACP+∠PAC=60°，即得∠APC=120°。利用定弦定角構(gòu)造過(guò)A，P，C三點(diǎn)的⊙O，容易計(jì)算得∠AOC=120°，PB長(zhǎng)度的最小值為當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時(shí)PB的長(zhǎng)度等于?！眷柟叹毩?xí)】1、如圖15-8，在Rt△ACB中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=90°，則線段CP的最小值2。2、如圖15-9，點(diǎn)A是直線y=-x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=2，則△AOB面積最大值為（D）A.2B.C.D.圖圖15-8圖圖15-93、如圖15-10，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)是其邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從C向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)F從D向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且它們的速度相同，連接AF，DE交于點(diǎn)G，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)及CG的最小值。圖圖15-10解：∵動(dòng)點(diǎn)E從C向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)F從D向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，且它們的速度相同∴ＥＣ＝ＦＤ∵四邊形ＡＢＣＤ是正方形∴ＡＤ＝ＣＤ，∴△ＡＤＦ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ）∴∵∴，即∴點(diǎn)Ｇ的運(yùn)動(dòng)路徑是以ＡＤ為直徑的圓所在的圓弧的一部分?！邉?dòng)點(diǎn)E、F分別到達(dá)Ｂ、C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)Ｇ的運(yùn)動(dòng)路徑是以ＡＤ為直徑的圓所在的圓弧所對(duì)的圓心角為90度?！帱c(diǎn)Ｇ的運(yùn)動(dòng)路徑為：設(shè)ＡＤ的中點(diǎn)為點(diǎn)Ｍ，連接ＣＭ，當(dāng)Ｃ、Ｇ、Ｍ三點(diǎn)共線是，ＣＧ有最小值。在Rt△ＣＤＭ中，，根據(jù)勾股定理得，∴ＣＧ的最小值為。答圖答圖15-14、如圖15-11，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.(1)∠A+∠C的度數(shù)為270°。（2）若AB=1，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)