2022年江蘇省蘇州市吳江區(qū)初中教師專業(yè)素養(yǎng)測試數(shù)學(xué)試卷

初中數(shù)學(xué)素養(yǎng)試卷

（請把姓名寫在試卷的左上角）

一、選擇

1、互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知AC=2a+l,BC=a+4,AB=3a,這三點(diǎn)

的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)A在8、C兩點(diǎn)之間B.點(diǎn)B在A、C兩點(diǎn)之間

C.點(diǎn)C在4、8兩點(diǎn)之間D.無法確定r

2、某市舉行中學(xué)生黨史知識競賽，如圖用四個點(diǎn)分別描述甲、乙、

丙、丁四所學(xué)校競賽成績的優(yōu)秀率（該校優(yōu)秀人數(shù)與該校參加競賽：

人數(shù)的比值）V與該校參加競賽人數(shù)x的情況，其中描述乙、丁兩

所學(xué)校情況的點(diǎn)恰好在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則這四所學(xué)校

在這次黨史知識競賽中成績優(yōu)秀人數(shù)最多的是（）汁

A,甲B.乙C.丙D.T

3、已知點(diǎn)A（a,6）,8（4,c）在直線丁=履+3（人為常數(shù)，攵。0）上，若曲的最大值為9,

則c的值為（）

53

A.-B.2C.-D.1

22

4、已知二次函數(shù)y=2+1（人為常數(shù)），在自變量x的值滿足的情況下，與

其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5,則h的值為（）

A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或3

5、如圖，正方形4BCO內(nèi)接于00,線段MN在對角線8。上運(yùn)動，若0。

的面積為2兀，MN=1,則AAMN周長的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

6、在Rt/XABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)尸是AABC所在平面內(nèi)一

點(diǎn)，則出2+PB2+PC2取得最小值時，下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)尸是AABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.點(diǎn)P是AABC三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)

C.點(diǎn)P是△ABC三條高的交點(diǎn)D.點(diǎn)P是△4BC三條中線的交點(diǎn)

二、填空

1、在A4BC中，NC=90°，以。、c分別為NA、/B、NC的對邊，若從=ac，則sinA

的值為__________

2、正偶數(shù)2,4,6,8,10,按如下規(guī)律排列,

2

46

81012

14161820

則第27行的第21個數(shù)是_____.

3、已知二次函數(shù)丁=（工一加乂工一加一2）（加為常數(shù)）.點(diǎn)A（l,y）,8（2,%），C（3,%）在

二次函數(shù)的圖像上，當(dāng)y?%.%?（）時，機(jī)的取值范圍是.

4如圖，在廓形AOB中，點(diǎn)C,。在A8上，將CO沿弦C。折疊后恰好與。4，。8相切

于點(diǎn)E,F.已知44。3=120。，Q4=6,則折痕C。的長為—

5、如圖，AB=10,點(diǎn)C在射線BQ上的動點(diǎn)，連接AC,作CD_LAC,CD=AC,

動點(diǎn)E在AB延長線上，tanNQ8E=3,連接CE,DE，當(dāng)CE=DE,CELOE時，BE

的長是

6、已知△ABC,/8AC=4￡,—8,要使?jié)M足條件的

△ABC唯一確定，那么BC邊長度x的取值范圍為

三、解答題

1、如圖是4x4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

圖1圖2

（1）在圖1中作NABC的角平分線；

（2）在圖2中過點(diǎn)。作一條直線/,使點(diǎn)A,8到直線/的距離相等.

2、若函數(shù)G在〃（加<〃）上的最大值記為，最小值記為Znin，且滿足

>nw<->min=l，則稱函數(shù)G是在加WXW〃上的“最值差函數(shù)”.

（1）函數(shù)①y=,；②y=x+l；③y=f.其中函數(shù)是在14xW2上的“最值差

X

函數(shù)”；（填序號）

（2）已知函數(shù)G:y=以2-4ai+3a（a>0）.

①當(dāng)a=l時，函數(shù)G是在，WxWr+1上的“最值差函數(shù)"，求，的值；

②函數(shù)G是在m+2WxW2m+l（朋為整數(shù)）上的“最值差函數(shù)”，且存在整數(shù)匕使得

%=%紇，求a的取值范圍.

3/min

3、如圖，在。。中，A3為直徑，P為AB上一點(diǎn),%=1,尸5=〃？（機(jī)為常數(shù)，且〃7>0）.過

點(diǎn)尸的弦COL45,Q為BC上一動點(diǎn)、（與點(diǎn)8不重合），AHLQD,垂足為〃.連接A。、

BQ.

（1）若772=3.

①求證：NOA￡）=60°；

②求——的值；

DH

（2）用含，〃的代數(shù)式表示絲，請直接

寫出結(jié)果：

（3）存在一個大小確定的。。，對于點(diǎn)。的任意位置，都有的值是一個定

值，求此時/Q的度數(shù).

4、問題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三

角板莊戶（/尸=90°,//=60。）的一個頂點(diǎn)放在正方形中心。處,并繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)，

探究直角三角板PEF與正方形ABC￡）重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖3

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板頂點(diǎn)P放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)O尸與0B重

合時，重疊部分的面積為；當(dāng)可與垂直時，重疊部分的面積為；

一般地，若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積面與S的關(guān)系為；

（2）類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)廠放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE,OP分別與正方形

的邊相交于點(diǎn)M,N.

①如圖2,當(dāng)=時.，試判斷重疊部分AOMN的形狀，并說明理由；

②如圖3,當(dāng)CM=QV時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號）；

（3）拓展應(yīng)用：若將任意一個銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心。處，該銳角記為NGO”（設(shè)

NGOH=a）,將NGOH繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，NGOH的兩邊與正方形

的邊所圍成的圖形的面積為邑，請直接寫出邑的最小值與最大值（分別用含a的式

子表示），

（參考數(shù)據(jù)：sinl5°=，——，cosl5o=W+3,tanl5°=2-G）

44

5、如圖，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD，。。向點(diǎn)

。運(yùn)動，A,。關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)分別為M,N,連結(jié)M/V.

E_D

備用圖

(1)如圖，當(dāng)E在邊AO上且?！?2時，求NA￡M的度數(shù).

(2)當(dāng)N在BC延長線上時，求OE的長，并判斷直線MN與直線的位置關(guān)系，說明

理由.

(3)當(dāng)直線MN恰好經(jīng)過點(diǎn)。時，求DE的長.

6、閱讀材料：十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦?韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的

關(guān)系，可表述為“當(dāng)判別式△'()時，關(guān)于x的一元二次方程依區(qū)+c=o(a/0)的兩個

bc

根X］、々有如下關(guān)系：玉+%=---,%工2=—”,此關(guān)

系通常被稱為“韋達(dá)定理”.已知二次函數(shù)

y=ax1+ZZY+C(Q>0).

（1）若a=l,b=3,且該二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1,1）,求。的值;

（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點(diǎn)

A（x，0）、B（%2,0），其中％＜0＜馬、㈤＞同，且該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在矩形ABFE

的邊防上，其對稱軸與x軸、3E分別交于點(diǎn)M、N,跳與y軸相交于點(diǎn)P,且滿足

3

tanZABE=-.

4

①求關(guān)于x的一元二次方程潑+fex+c=0的根的判別式的值；

②若NP=2BP,令7=工+嶼。，求T的最小值.

a'5

參考答案

一選擇

1.A2.C3.B4.B5.B6.D

二、填空

—1+yj5

1、22、7443、6＜一1或0＜加＜2或相23

圖1圖2

2、（1）②

（2）①解：當(dāng)。=1時，二次函數(shù)G:y=ar?-4依+3〃（〃>0）

為y=f-4工+3,對稱軸為直線x=2.

當(dāng)x=P時，y=產(chǎn)-4，+3,

當(dāng)x=t+l時，%="+l）2—4（f+l）+3=r_2f,

當(dāng)x=2時，％=-1.

若1>2,則%一y1=1，解得，=2（舍去）；

3

若在42,則%-%=1，解得1=0（舍去），f=2；

3

若1</<一，則%一出=1，解得「=1，1=3（舍去）；

若則％-%=1，解得1=1（舍去）.

綜上所述，t=\t=2.

②;二次函數(shù)y=cue2-Aax+3a[a>0）的對稱軸為直線x=2,

又m+2,/.m>l,

2<m+2<x<2m+l,

???當(dāng)x=2m+1時取得最大值，x=〃z+2時取得最小值，

.一%”，（2〃?+1）2一4。（2〃2+1）+3。4機(jī)彳4

??K————今,

Win+2）~—4。（m+2）+3〃m+1M+1

，小，%為整數(shù)，且相>1,?的值為3,又丁Nmax一為由=1，，.

3、（1）①如圖，連接0。則。4=0。

VAB=B4+PB=1+3=4

:.OA=—AB=2

2

OP=AP=\

即點(diǎn)尸是線段OA的中點(diǎn)

?：CD1,AB

??.CO垂直平分線段OA

OD=AD：.OA=OD=AD即△OAQ是等邊三角形

：.ZOAD=60°

②連接AQ

TAB是直徑

：.AQ±BQ

根據(jù)圓周角定理得：ZABQ=ZADH,

cosZABQ-cosZADH

9：AH.LDQ

在Rt/XABQ和Rt/\ADH中

cosZABQ=挺=cosZADH=-

ABAD

.BQAB

"15H~^D

'：AD=OA^2,AB=4

.%JB=4=2

''DH~AD~2~

(2)連接AQ、BD

與(1)中的②相同，有絲=絲

DHAD

TAB是直徑

：.AD±BD

：.ZDAB+ZADP=ZDAB+ZABD=90°

：.ZADP=ZABD

:.Rt叢APDsRt叢ADB

.PAAD

?,茄一耘

'：AB=PA+PB=\+m

AD=>/PA?AB=yj\+m

BQAB1+mr------

-1=y]+/%

~DH~~AD

(3)由(2)知，——=Jl+田

DH

：.BQ=6Tm.DH

即BQ2=（1+m）DH2

：.BQ2-2￡）"+「82=（1+加）?！?—2?！?+療=（加一］）?！?+小

當(dāng)m=l時，8。2-2￡>/+282是一個定值，且這個定值為1,此時%=P8=1,即點(diǎn)尸與圓心

。重合

,JCDVAB,OA=OD=\.?.△A。。是等腰直角三角形：.ZOAD=45°

?.?/。4。與/。對著同一條弧.?.NGNOAO=45°

故存在半徑為1的圓，對于點(diǎn)。的任意位置，都有BQ?-2O/+P82的值是一個定值1,此

時/。的度數(shù)為45.

4、如圖1中，設(shè)OF交A3于點(diǎn)J,0E交BC于點(diǎn)、K,過點(diǎn)。作0AMA8于點(diǎn)M,ONLBC

于點(diǎn)N.

?/0是正方形ABCD的中心,

：.OM=ON,

?：ZOMB=ZONB=NB=90。,

四邊形OMBN是矩形，

'：OM=ON,

四邊形OMBN是正方形，

NMON=/EOF=90。,

：.ZMOJ=ZNOK,圖1

?：NOMJ=NONK=9G°,：.XOMJmMONK(AAS),

:?S4PM產(chǎn)SAONK，S四邊彩OKR/=S正方彩0，”B2-S正方形ABCD,.,?Si=-S.

44

故答案為：1,1,Si=-S.

4

【小問2詳解】

①如圖2中，結(jié)論：△OMN是等邊三角形.

理由：過點(diǎn)0作OTLBC,

；0是正方形ABCQ的中心，

，BT=CT,

,；BM=CN,：.MT=TN,

VOTA.MN,：.OM=ON,

；/MON=60。，.?.△MON是等邊三角形；圖2

②如圖3中，連接。C,過點(diǎn)。作OJLBC于點(diǎn)J.

?:CM=CN,NOCM=NOCN,OC=OC,

:.AOCM2△OCN(SAS),

/COM=/CON=30。，

ZOMJ=ZCOM+Z0CM=15°,

'COJLCB,

NJOM=90°-75°=15°,

?：BJ=JC=OJ=\,

圖3

JM=QAtan15°=2-6，CM=CJ-MJ=1-(2-石)=石-1,

??S四色彩OMCN=2X—xCMxOJ=^3~1?

【小問3詳解】

如圖，將NHOG沿O"翻折得到N"OG'，則

△MONGAMON,此時則當(dāng)M,N在BC上時，邑比四邊

形NQW'C的面積小，

設(shè)M'C=a,CN=b,則當(dāng)'的“最大時，$2最小，

■:S.MNM，,即MC=NC時'S-MNAT最

22J

大，

此時OC垂直平分M2V,即ON=W,則OM=ON

如圖4-1中，過點(diǎn)。作。Q_L2C于點(diǎn)Q,

：OM=ON,OQ1MN

■■■BM=CN

?,.當(dāng)BM=CN時，△OMN的面積最小，即S2最小.

.aa

在Rt/A\MOQ中，MQ=OQ?tan—=tan—,

???MN=2MQ=2tan—,

2

ia

S2=S^OMN=-xMNxOQ=tan—.

如圖4-2中，同理可得，當(dāng)CM=CN時，S2最大.

???OC=OC,ZOCN=ZOCM.CN=CM

則△COM之△COM

G

圖?1-2

a

：.ZCOM=—,

2

???ZCOQ=45°f

a

，ZMOQ=45°-—,

aa

QM=OQ?tan(45°--)=tan(45°--),

'-22

,a

：.MC=CQ-MQ=\-tan(45°--),

2

a

S2=2SACWO=2XxCM^OQ=\-tan(450-1).

5、解：V￡>￡=2,：.AE=AB=6,'??四邊形48CD是矩形，AZA=90°,

???ZAEB=ZABE=45°f由對稱性知/BEM=45。,

???/AEM=NAEB+NBEM=90。；

(2)如圖1,

???AB=6,AO=8,

???由勾股定理得8Q=10,

???當(dāng)N落在BC延長線上時，BN=BD=10,

：.CN=2,

由對稱性得，/ENC=/BDC,

26

，cosNENC=----=—,

EN10

1010

???EN=—,DE=EN=—；

33

直線MN與直線BD的位置關(guān)系是MN//BD.

由對稱性知BM=A8=CO,MN=AD=BC,

又,：BN=BD,：./\BMN沿/XDCB(SSS),:?/DBC=/BNM,

所以MN〃BD?,

(3)①情況1：如圖2,當(dāng)E在邊AO上時，直線MN過點(diǎn)C,

???NBMC=90。，

JMC=』BC?-BM?=2g.

VBM=AB=CDf/DEC=/BCE,ZBMC=ZEDC=90°

:?ABCM邊/XCED(AAS),

：.DE=MC=277;

BC

圖2

②情況2：如圖3,點(diǎn)E在邊。上時，

,:BM=6,BC=8,

:?MC=2幣,CN=8-23,

?.?/BMC=/CNE=ZBCD=90°,

:?/BCM+/ECN