第11講正態(tài)分布3種?？碱}型-【題型講義】高二數(shù)學(xué)教學(xué)題型講義（人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)）

第11講正態(tài)分布3種?？碱}型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：正態(tài)曲線①正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈(－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù)，φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．②正態(tài)曲線φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R有以下性質(zhì)：1.曲線位于x軸上方，與x軸不相交；2.曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；3.曲線在x＝μ處達(dá)到最大值eq\f(1,σ\r(2π))；4.曲線與x軸之間的面積為1；5.當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①；6.當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮胖”，如圖②.考點(diǎn)二：正態(tài)分布的性質(zhì)①正態(tài)分布：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)等于正態(tài)分布曲線與軸所圍成的區(qū)域面積，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)，如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為。（此時(shí)，X不是離散型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量。）②X～N(μ，σ2)中μ，σ的統(tǒng)計(jì)意義1.μ可取任意實(shí)數(shù)，表示平均水平的特征數(shù)，E(X)＝；2.σ>0表示標(biāo)準(zhǔn)差，D(X)＝σ2當(dāng)μ一定時(shí)，σ越小，正態(tài)曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散考點(diǎn)三：正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.②由P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi).而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.③在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值，并簡(jiǎn)稱之為3σ原則.【題型目錄】題型一：正態(tài)曲線題型二：利用正態(tài)分布求概率題型三：正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【典型例題】題型一：正態(tài)曲線【例1】設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖像，且，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（????）．A．10與8 B．10與2 C．8與10 D．2與10【例2】甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布，，其相應(yīng)的分布密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（????）（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為，）A．甲類水果的平均質(zhì)量B．乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量大D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)【例3】已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（????）A．， B．，C．， D．，【例4】若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記為，則關(guān)于的密度函數(shù)及其圖象，下列說法中錯(cuò)誤的是（????）A．當(dāng)時(shí)，正態(tài)曲線關(guān)于軸對(duì)稱B．正態(tài)曲線一定是單峰的C．曲線的峰值為D．當(dāng)無限增大時(shí)，曲線無限接近軸【題型專練】1．李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是（????）A． B．C． D．2．（多選題）已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為(，)，且的極大值點(diǎn)為，記，，則（????）A．B．C．D．3．（多選題）關(guān)于正態(tài)密度曲線，下列說法正確的是（????）A．曲線關(guān)于直線對(duì)稱B．曲線的峰值為C．越大，曲線越“矮胖”D．對(duì)任意，曲線與軸圍成的面積總為14．設(shè)隨機(jī)變量，X的正態(tài)密度函數(shù)為，則______.題型二：利用正態(tài)分布求概率【例1】某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（????）A．越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．越大，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【例2】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（????）附：概率P(μ－σ≤X＜μ＋σ)P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)近似值0.68270.95450.9973A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759【例3】隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為（????）A． B． C． D．【例4】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（????）A．0.3 B．0.3 C．0.2 D．0.1【例5】已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（????）A． B． C． D．【例6】（多選題）設(shè)X是隨機(jī)變量，那么（????）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，則【例7】（多選題）將二項(xiàng)分布X~B（100，0.5）近似看成一個(gè)正態(tài)分布，其中，.設(shè)，則Y~N（0，1），記，已知，，則（????）A．， B．C． D．【例8】（多選題）已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（????）A． B．C． D．【例9】已知隨機(jī)變量X，Y分別滿足，，且均值，方差，則________.【題型專練】1．已知兩個(gè)隨機(jī)變量，，其中，（），若，且，則（????）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.12．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（????）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.43．下列說法正確的是（????）A．“與是互斥事件”是“與互為對(duì)立事件”的充分不必要條件B．隨機(jī)變量，若，，則C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則D．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且滿足，則隨機(jī)變量服從正態(tài)分布4．隨機(jī)變量，已知其概率分布密度函數(shù)在處取得最大值為，則（????）附：．A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.95455．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（????）A． B． C． D．6．（多選題）某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（????）A．越大，則產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率越大B．該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于50的概率為0.5C．該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值大于50.01的概率與小于49.99的概率相等D．該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等7．（多選題）下列說法正確的有（????）．A．從10名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為B．若隨機(jī)變量，則方差C．若隨機(jī)變量，，則D．已如隨機(jī)變量X的分布列為，則題型三：正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例1】某地組織普通高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽.初賽共有20000名學(xué)生參賽，統(tǒng)計(jì)得考試成績(jī)（滿分150分）服從正態(tài)分布.考試成績(jī)140分及以上者可以進(jìn)入決賽.本次考試可以進(jìn)入決賽的人數(shù)大約為（????）附：.A．26 B．52 C．456 D．13【例2】已知在體能測(cè)試中，某校學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布，其中60分為及格線，則下列結(jié)論中正確的是（????）附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則A．該校學(xué)生成績(jī)的均值為25 B．該校學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為C．該校學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為70 D．該校學(xué)生成績(jī)及格率超過95%【例3】某班一次數(shù)學(xué)考試（滿分150分）的成績(jī)服從正態(tài)分布，若，則估計(jì)該班這次數(shù)學(xué)考試的平均分為（????）A．85 B．90 C．95 D．105【例4】小明上學(xué)有時(shí)做公交車，有時(shí)騎自行車，他記錄多次數(shù)據(jù)，分析得到：坐公交車平均用時(shí)30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時(shí)34min，樣本方差為4，假設(shè)做公交車用時(shí)，騎自行車用時(shí)，則（????）A． B．C．如果有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇坐公交車 D．如果有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇自行車【例5】（多選題）某校對(duì)高一學(xué)生進(jìn)行了一次物理測(cè)試，得到學(xué)生的物理成績(jī)，其中60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀．則下列說法正確的是（????）參考數(shù)據(jù)：隨機(jī)變量，則，，．A．該校高一學(xué)生物理成績(jī)的方差為10B．該校高一學(xué)生物理成績(jī)的期望為70C．該校高一學(xué)生物理成績(jī)的及格率不到85%D．該校高一學(xué)生物理成績(jī)的優(yōu)秀率超過5%【例6】（多選題）在網(wǎng)課期間，為了掌握學(xué)生們的學(xué)習(xí)狀態(tài)，某省級(jí)示范學(xué)校對(duì)高二一段時(shí)間的教學(xué)成果進(jìn)行測(cè)試．高二有1000名學(xué)生，某學(xué)科的期中考試成績(jī)(百分制且卷面成績(jī)均為整數(shù))Z服從正態(tài)分布，則(人數(shù)保留整數(shù))（????）參考數(shù)據(jù)：若，．A．年級(jí)平均成績(jī)?yōu)?2.5分B．成績(jī)?cè)?5分以上(含95分)人數(shù)和70分以下(含70分)人數(shù)相等C．成績(jī)不超過77分的人數(shù)少于150D．超過98分的人數(shù)為1【例7】已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量，則隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約___________袋（質(zhì)量單位：）.（附：，則，，）.【例8】現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做n次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，則為使的概率控制在0.0456以下，至少要測(cè)量的次數(shù)為（????）A．32 B．64 C．128 D．256【例9】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國(guó)家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內(nèi)，某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過程中，檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時(shí)對(duì)該藥品進(jìn)行檢測(cè)，每天檢測(cè)4次：每次檢測(cè)由檢驗(yàn)員從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量其主要藥理成分含量（單位：）根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的其主要藥理成分含量服從正態(tài)分布.(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示某次抽取的20件產(chǎn)品中其主要藥理成分含量在之外的藥品件數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；(2)在一天的四次檢測(cè)中，如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)異常情況，需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查；如果有兩次或兩次以上出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品，則需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測(cè).①下面是檢驗(yàn)員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：10.029.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.9510.099.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12經(jīng)計(jì)算得，，，其中為抽取的第件藥品的主要藥理成分含量，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)本次的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？②試確定一天中需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測(cè)的概率（精確到0.001）.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，，，，.【例10】為了切實(shí)維護(hù)居民合法權(quán)益，提高居民識(shí)騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開展“全民反詐在行動(dòng)——反詐騙知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該活動(dòng)的居民中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)出他們競(jìng)賽成績(jī)分布如下：成績(jī)（分）人數(shù)242240284(1)求抽取的100名居民競(jìng)賽成績(jī)的平均分和方差（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)以頻率估計(jì)概率，發(fā)現(xiàn)該社區(qū)參賽居民競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本成績(jī)平均分，近似為樣本成繢方差，若，參賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書”；若，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，①若該社區(qū)有3000名居民參加本次競(jìng)賽活動(dòng)，試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；②試判斷競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?6分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”．附：若，則，，．【題型專練】1．近年來中國(guó)進(jìn)入一個(gè)鮮花消費(fèi)的增長(zhǎng)期，某農(nóng)戶利用精準(zhǔn)扶貧政策，貸款承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚，種植銷售紅玫瑰和白玫瑰．若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布和，則下列選項(xiàng)不正確的是(????)附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則．A．若紅玫瑰日銷售量范圍在的概率是0.6826，則紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250B．紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C．白玫瑰日銷售量范圍在的概率約為0.8413D．白玫瑰日銷售量范圍在的概率約為0.34132．（多選題）趙先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行．趙先生從家到公交站或地鐵站都要步行5min．公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經(jīng)常擁堵，所需時(shí)間（單位：min）服從正態(tài)分布，下車后從公交站步行到公司要12min；乘坐地鐵暢通，但路線長(zhǎng)且乘客多，所需時(shí)間（單位：min）服從正態(tài)分布，下地鐵后從地鐵站步行到公司要5min．從統(tǒng)計(jì)的角度，下列說法中正確的是（????）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A．若8：00出門，則乘坐公交上班不會(huì)遲到B．若8：02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C．若8：06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大D．若8：12出門，則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到3．（多選題）楊明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)，樣本方差為36；騎自行車平均用時(shí)，樣本方差為4，假設(shè)坐公交車用時(shí)（單位：）和騎自行車用時(shí)（單位：）都服從正態(tài)分布，正態(tài)分布中的參數(shù)用樣本均值估計(jì)，參數(shù)用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)，則（????）A． B．C． D．若某天只有可用，楊明應(yīng)選擇坐公交車4．（多選題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則（????）A．該正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱B．越大，該正態(tài)分布對(duì)應(yīng)的正態(tài)密度曲線越尖陡C．越小，在一次測(cè)量中，的取值落在內(nèi)的概率越大D．在一次測(cè)量中，的取值落在與落在的概率相等5．（多選題）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給作出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）近似服從正態(tài)分布.已知時(shí)，有，，.下列說法正確的是（????）A．該地水稻的平均株高約為 B．該地水稻株高的方差約為100C．該地株高超過的水稻約占68.27％ D．該地株高低于的水稻約占99.87％6．（多選題）設(shè)X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（????）A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X>t)>P(Y>t)7．正態(tài)分布概念是由德國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moivre在1733年首先提出的，由于德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯率先把其應(yīng)用于天文學(xué)研究，故我們把正態(tài)分布又稱作高斯分布．早期的天文學(xué)家通過長(zhǎng)期對(duì)某一天體的觀測(cè)收集到大量數(shù)據(jù)，對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)變量X近似服從．若，則______．8．某地有6000名學(xué)生參加考試，考試后數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，若，則估計(jì)