高一數(shù)學(人教A版)必修4能力提升2-4-1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

高一數(shù)學(人教A版)必修4能力提高：2-4-1平面向量數(shù)目積的物理背景及其含義高一數(shù)學(人教A版)必修4能力提高：2-4-1平面向量數(shù)目積的物理背景及其含義高一數(shù)學(人教A版)必修4能力提高：2-4-1平面向量數(shù)目積的物理背景及其含義能力提高一、選擇題1．(2013煙臺模擬)已知向量a，b，此中|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，則向量a和b的夾角是()ππA.4B.23πC.4D．π[答案]A[分析]由題意知－·＝2－a·b＝2－a·b＝0，∴a·b＝2，設(ab)aaa·b2πa與b的夾角為θ，則cosθ＝|a||b|＝2，θ＝4.2．(2012泉州四校二次聯(lián)考)定義：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，此中θ為向量a與b的夾角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，則|a×b|等于()A．－8B．8C．－8或8D．6[答案]B[分析]由＝，＝，·＝－，得θ＝－3，sinθ＝4，∴|a|2|b|5ab6cos554|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×5＝8.．是△所在平面上一點，若→→→→→→，則3PABC·＝PB·＝PC·PAPBPCPAP是△ABC的()A．外心B．心里C．重心D．垂心[答案]D分析→→→→→→→＝，即→→＝0，∴[]由·＝PB·得PB·－PC·PAPBPC(PA)0PBCAPB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P為△ABC的垂心．4．已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a與b的夾角是()ππA.6B.32π5πC.3D.6[答案]B[分析]由－·＝及(b－·＝得，2＝b2＝2|a||b|cosθ，(a2b)a02a)b0aπcosθ＝2，θ＝3.→→→→→→→5．已知△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，則△ABC是()A．等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形[答案]C→→→→→→→[分析]由AB2－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，→→→→→→得AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)，→→→→→→→→即AB·CB＝BC·BC，∴AB·BC＋BC·BC＝0，→→→→→→→BC·(AB＋BC)＝0，則BC·AC＝0，即BC⊥AC，因此△ABC是直角三角形，應選C.→→6．如圖，O、A、B是平面上的三點，向量OA＝a，OB＝b，設P→為線段AB的垂直均分線上隨意一點，向量則p·(a－b)等于()

OP＝p.若|a|＝4，|b|＝2，A．1B．3C．5D．6[答案]D分析由圖知→→→→→→→→⊥BA，則CP·＝0，p＝OP＝OC＋CP＝1[]CPBA2(OA→→＋OB＋，)CP則p·(a－b)＝1→b)1→b)·－＝＋·－＋·－2a＋b＋CP(a2(ab)(ab)CP(a122→→122122＝＋·＝＋＝＝2(a－b)2(|a|－|b|)2(4－2)6.CPBA0二、填空題7．(2013·安徽文)若非零向量a，b知足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________．1[答案]－3[分析]此題主要考察了向量運算及夾角分式運用．|a|＝3|b|＝|a＋2b|，|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，a·b＝－|b|2，∴cos〈a·b〉＝a·b－|b|21|a||b|·＝3|b|·|b|＝－3.8．(2011～2012·北京東城高三第一學期期末)已知向量a、b知足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則a與b的夾角為________；|2a－b|＝________.1[答案]272[分析]因為a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，則a·b＝3.a·b1設a與b的夾角為θ，則cosθ＝|a||b|＝2，π又θ∈[0，π]，因此θ＝3.因為|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，因此|2a－b|＝27.9．(江西高考)已知向量a、b知足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|a－b|＝________.[答案]3[分析]－＝a2－2a·b＋b2|ab|1－4cos60°＋4＝3.三、解答題10．已知|a|＝10，|b|＝12，a與b的夾角為120°，求：1a·b；(2)(3a)·b；5(3)(3b－2a)·(4a＋b)．[分析](1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60.133(2)(3a)·b＝·＝×(－60)＝－36.55(ab)5(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.11．已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角為60°，試問：當k為什么值時，向量ka－b與a＋2b垂直？[分析]∵(ka－b)⊥(a＋2b)，(ka－b)·(a＋2b)＝0，即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，1414∴k＝15.∴當k＝15時，向量ka－b與a＋2b垂直．12．設向量、的夾角是，＝1，|b|＝3，m是b在a方向上ab