大學(xué)物理第三章

第3章習(xí)題一、填空題越過(guò)定滑輪的細(xì)繩下端系質(zhì)量為m的物體，在物體以g/4的恒定加快度著落一段距離h的過(guò)程中，繩的拉力對(duì)物體做的功為g觀察物體以的恒定加快度著落一段距離h的過(guò)程。設(shè)初速率為vP，末速率vQ滿足4v2v22as2gh（3-1）QP4r物體遇到重力rmg和繩索的拉力T的作用，合外力

r做功為QrrQAFdrPP

rrQrrAmgATmgdrTdr（3-2）P注意到重力是守舊力，其做功為AmgEpQEpP(mghQmghP)mghPhQmgh（3-3）對(duì)物體使用動(dòng)能定理，有AEkQEkP1mvQ21mvP21mvQ2vP2（3-4）222聯(lián)立（3-1）～（3-4），可求出繩的拉力對(duì)物體所做的功為AT3mgh4高100m的瀑布每秒鐘著落1200m3水，假設(shè)水著落過(guò)程中動(dòng)能的75％由水力發(fā)電機(jī)變換成電能，則此發(fā)電機(jī)的輸出功率為。依題設(shè)，每秒鐘有質(zhì)量為mV1.0103kgm31200m31.2106kg的瀑布水著落。取水和地球?yàn)橄到y(tǒng)，在水從瀑布最高點(diǎn)著落h的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有Ekmgh經(jīng)水力發(fā)電機(jī)變換后的電能為Emgh75%1.21069.810075%8.82108(J)因?yàn)橐陨想娔苁敲棵腌姰a(chǎn)生的，因此發(fā)電機(jī)的輸出功率為PE8.821088.82108(W)t1質(zhì)量為1000kg的汽車(chē)以36km/h的速率勻速行駛，摩擦系數(shù)為。在水平路面上行駛發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為。小車(chē)的速率v36kmh361000m10ms13600s小車(chē)勻速行駛，故PFvfvmgv0.103(W)9.8(kW)以恒定速率拉一小船所需的力與速率成正比，使該小船速率達(dá)到1.2m/s所需的功率為N1，使小船速率達(dá)到3.6m/s所需的功率為N2，則N2是N1的倍。依題意，設(shè)以恒定速率拉船所需的力F與速率v滿足以下關(guān)系Fkv此中k為一常數(shù)。所需的功率為PFvkv2因此N2v22v2223.69N1v12v11.2速度為v0的子彈射穿木板后，速度恰好變成零。設(shè)木板對(duì)子彈的阻力恒定不變，那么，當(dāng)子彈射入木板的深度等于木板厚度的一半時(shí)，子彈速度的大小為。以質(zhì)量為m的子彈為對(duì)象，觀察子彈以初速v0從與厚度為d木板相碰至恰好射穿的過(guò)程，設(shè)木板對(duì)子彈的均勻阻力為f，依照動(dòng)能定理，可知fd01mv022v）的過(guò)程，仍舊對(duì)現(xiàn)觀察子彈從木板相碰至射入木板的深度為木板厚度的一半（設(shè)此時(shí)子彈的速率為子彈使用動(dòng)能定理，有fd1mv21mv02222由以上兩式，可解出所求子彈速率為v02質(zhì)量為

100kg的貨物平放在卡車(chē)車(chē)廂底板上，卡車(chē)以

4m/s2的加快度起動(dòng)，

4秒內(nèi)摩擦力對(duì)該貨物所做的功為

。觀察貨物自靜止開(kāi)始隨汽車(chē)勻加快運(yùn)動(dòng)4秒內(nèi)的過(guò)程，明顯，初速率vP0ms1，而4秒末的速率為vQvPat04416(ms1)在該過(guò)程中，貨物遇到3個(gè)力的作用，即：重力rrrmg，車(chē)廂底板對(duì)它的支持力N和靜摩擦力f，對(duì)貨物r使用動(dòng)能定理，合外力F做功為AQrrQrrQrrQrrQrrQrrAfFdrmgdrNdrfdrmgvdtNvdtAfPPPPPP因此摩擦力做功為AfAEkQEkP1mvQ21mvP2110016211000222221.28104(J)以200N的水平推力推一個(gè)本來(lái)靜止的小車(chē)，使它沿水平路面行駛了5.0m。若小車(chē)的質(zhì)量為100kg，小車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦系數(shù)為，則小車(chē)的末速為。觀察小車(chē)從靜止出發(fā)至行駛5m的過(guò)程，小車(chē)遇到四個(gè)力的作用，分別為：重力rrmg,地面的支持力N和摩擦力fr，還有推力F。由動(dòng)能定理，有AAAAAfAAfEkQEkP1mv20mgNFF2而AFFs和Affs此中摩擦力fmg因此小車(chē)的末速為v2Fgs22000.109.85.03.2(ms1)m100從輕彈簧原長(zhǎng)開(kāi)始，第一次拉伸l，在此基礎(chǔ)上，第二次再拉伸l，既而，第三次又拉伸l，則第三次拉伸彈簧與第二次拉伸彈簧彈力所做功之比為。因?yàn)閺椈傻膹椥粤κ鞘嘏f力，其做功為A(EpQEpP)1kxQ21kxP222第一次拉伸l的過(guò)程，xP0，xQl，彈性力做功為A11kxQ21kxP21kl2222在此基礎(chǔ)上，第二次再拉伸l的過(guò)程，xPl，xQ2l，彈性力做功為A21kxQ21kxP23kl2222既而，第三次又拉伸l的過(guò)程，xP2l，x3l，彈性力做功為QA31kxQ21kxP25kl2222所求第三次拉伸彈簧與第二次拉伸彈簧彈性力所做功之比為A35kl252A23kl232功的大小不但與物體的始、末地點(diǎn)有關(guān)，并且還與物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)，這樣的力稱(chēng)。非守舊力有一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧，豎直擱置，下端懸一質(zhì)量為m的小球，先使彈簧為原長(zhǎng)，而小球恰好與地接觸，再將彈簧上端緩慢地提起，直到小球剛能離開(kāi)地面為止。在此過(guò)程中外力所作的的功為。觀察小球，地球和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)，對(duì)題設(shè)的過(guò)程應(yīng)用功能原理，有A外=E(Q)E(P)1kx22又kxmg可解出12A外=(mg)以初速率v0將質(zhì)量為9kg的物體豎直向上發(fā)射出去，物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受空氣阻力而消耗的能量為680J。假如不計(jì)空氣阻力，則物體上漲的高度將比有空氣阻力時(shí)增添。假如不計(jì)空氣阻力，設(shè)物體能達(dá)到的高度為H0。今取物體，地球?yàn)橄到y(tǒng)，在物體自初速率v0發(fā)射（P態(tài)，設(shè)高度為0）至最高點(diǎn)（Q態(tài)）的過(guò)程中，該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有1mv02mgH02相同的過(guò)程，考慮到空氣阻力f，設(shè)物體能達(dá)到的高度為H，對(duì)物體應(yīng)用動(dòng)能定理，有AAmgAfEkQEkP01mv022因重力是守舊力，它在此過(guò)程對(duì)物體做功Amg(EpQEpP)(mgH0)mgH由以上三式，可得AfHH0mg所求沒(méi)有空氣阻力時(shí)物體上漲的高度將比有空氣阻力時(shí)增添HH0Af680H7.7mmg99.8質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿豎直平面內(nèi)半徑為R的圓滑圓形軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在最低點(diǎn)時(shí)的速率為v0，使質(zhì)點(diǎn)能沿此圓形軌道運(yùn)動(dòng)而不離開(kāi)軌道，v0的值最少應(yīng)為。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)，其受力狀況如圖3-1所示，設(shè)此物體的速率為v，則有Nmgmv2R質(zhì)點(diǎn)能沿此圓形軌道運(yùn)動(dòng)而不離開(kāi)軌道的條件為軌道對(duì)物體的作用力N0取物體，圓形軌道和地球?yàn)橄到y(tǒng)，在物體從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)的過(guò)程，該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可知1mv2mg(2R)1mv02圖3-122由以上三式可求出v05gR一皮球從2.5m高處自由落下，與地面碰撞后，豎直上跳，起跳速率為落地速率的3/5，不計(jì)空氣阻力，皮球跳起能達(dá)到的最大高度為。取皮球，地球?yàn)橄到y(tǒng)，在皮球自高度為H02.5m自由著落至剛觸地（設(shè)此時(shí)皮球速率為v0）的過(guò)程中該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有mgH01mv0223vH）的過(guò)程，該系統(tǒng)機(jī)械能仍再觀察皮球自地面起跳（此時(shí)皮球速率為v0）至最高點(diǎn)（設(shè)高度為5然守恒，有1mv2mgH2由以上兩式，可求出皮球跳起能達(dá)到的最大高度為22HvH03v02.50.9(m)5二、選擇題一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力同時(shí)作用下的位移為

r(6i5j4k)m，此中一個(gè)力F(9i5j3k)N，則這個(gè)力在該位移過(guò)程中所做的功為：（）A.91JB.67JC.17JD.67J因?yàn)锳rrrrrrrr67(J)Fr9i5j3k6i5j4k選B。質(zhì)量為m的物體置于電梯底板上，電梯以加快度g/2勻加快下降距離h，在此過(guò)程中，電梯作用于物體的力對(duì)物體所做的功為：（）A.mghB.mgh11C.mghD.mgh22人遇到兩個(gè)力的作用，分別為重力rrmg和電梯地板對(duì)他的支持力N。法一：因人隨電梯有關(guān)于地面勻加快下降，故mgNmg2可知1mg，方向豎直向上。2在人下降h的過(guò)程中，支持力做功為ANh1mghN2h的過(guò)程，由動(dòng)能定理，有法二：觀察人隨電梯下降A(chǔ)ANAmgEkQEkP1mvQ21mvP222因重力是守舊力，故AmgEpQEpPmghQmghPmgh又，人以勻加快度g下降了h，其初、末速率滿足以下關(guān)系g2v2v22hQP2聯(lián)立以上三式，可知支持力做功為AN1mgh2選D。一單擺搖動(dòng)的最大角度為0，當(dāng)此單擺由0向均衡地點(diǎn)（0）搖動(dòng)過(guò)程中，重力做功功率最大的位置為：（）A.0B.0C.00D.因?yàn)闄C(jī)械能守恒，因此功率不變r(jià)rrrrrr，B除掉；當(dāng)0時(shí)，mg與v垂直，Pmgv0，A除掉；當(dāng)0時(shí)，v0，Pmgv0而當(dāng)00時(shí)，PrrrrD也排mgvmgvcos(g,v)一般大于0。說(shuō)明重力做功的功率是有變化的，除，應(yīng)選C。質(zhì)量完整相等的三個(gè)滑塊M、N和P，以相同的初速度分別沿摩擦系數(shù)不一樣的三個(gè)平面滑出，到自然停止時(shí)，M滑過(guò)的距離為l，N滑過(guò)的距離為2l，P滑過(guò)的距離是3l，則摩擦力對(duì)滑塊做功最多的是：（）A.MB.NC.PD.三個(gè)摩擦力的功相同觀察滑塊以初速滑到自然停止的過(guò)程，由動(dòng)能定理，知AAf01mv022因此三個(gè)摩擦力做功相同，選D。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)恒力F1和F2作用下，在位移(3i8j)m過(guò)程中，其動(dòng)能由零變成24J，已知F1(12i83j)N，則1和F2的大小關(guān)系為：（）FA.F1F2B.F1F2C.F1F2D.條件不足不可以判斷觀察質(zhì)點(diǎn)在兩恒力作用下發(fā)生位移的過(guò)程，因質(zhì)點(diǎn)的初始動(dòng)能為0，表示自靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，而所受的外力為恒力，故其運(yùn)動(dòng)為定向的直線運(yùn)動(dòng)，此過(guò)程外力做功為AFAF1AF2rrrrrrF2rF1rF2rF1rrcosrrrr3282F2cos12i83j3i8j對(duì)質(zhì)點(diǎn)的前述過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理，得AFEkQEkP29029(J)因此AFrrrr3282F2cos29(J)12i83j3i8j明顯F2與有關(guān)，而題設(shè)并無(wú)給出的值，因此預(yù)計(jì)F2的條件不足，選D。半徑為R的圓盤(pán)以恒定角速度繞過(guò)中心且垂直于盤(pán)面的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的人要從圓盤(pán)邊沿走到圓盤(pán)中心處，圓盤(pán)對(duì)他所做的功為：（）A.mR2B.mR2C.mR22/2D.mR22/2人遇到三個(gè)力的作用，分別是重力rrrmg，盤(pán)面對(duì)人的支持力N和摩擦力f。觀察人從圓盤(pán)邊沿走至中心的過(guò)程，由動(dòng)能定理，有AAmgANAfAfEkQEkP1mvQ21mvP2r時(shí)，他的速率為22當(dāng)人離盤(pán)心vr因此，圓盤(pán)對(duì)人做的功為Af1mvQ21mvP201mR21m2R22222選D。以以下4種方式將質(zhì)量為m的物體提高10m，提高力做功最小的是：（Ａ.將物體由靜止開(kāi)始勻加快提高10m，使速度達(dá)到5m/s；Ｂ.物體從初速度10m/s勻減速上漲10m，使速度達(dá)到5m/s；

）以5m/s的速度勻速提高；以10m/s的速度勻速提高。rr10m的過(guò)程，由動(dòng)能定理，得物體遇到重力mg和拉力F的作用，觀察物體提高AAmgAN1mvQ21mvP222因重力是守舊力，故AmgEpQEpPmghQmghPmgh因此A1mv21mv2mghN2Q2P可知B選項(xiàng)支持力做功最小。下邊關(guān)于守舊力的說(shuō)法，正確的選項(xiàng)是：（）Ａ.只有守舊力作用的系統(tǒng)，動(dòng)能與勢(shì)能之和保持不變；守舊力老是內(nèi)力；守舊力做正功，系統(tǒng)勢(shì)能必定增添；質(zhì)點(diǎn)沿任一閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周，作用于它的某種力所做的功為零，則這類(lèi)力稱(chēng)為守舊力。選D。在同一高度以相同速率同時(shí)將質(zhì)量相同的兩個(gè)物體拋出，一個(gè)豎直上拋，一個(gè)平拋，不計(jì)空氣阻力，由拋出到落地過(guò)程中，以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是：（）A.重力對(duì)兩物體做功相等；B.重力對(duì)兩物體做功的均勻功率相等；C.兩物體的動(dòng)能增量不相等；D.兩物體落地時(shí)的機(jī)械能相等。選A、D。跳傘運(yùn)動(dòng)員在剛跳離飛機(jī)，其下降傘還沒(méi)有打開(kāi)的一段時(shí)間內(nèi)，以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是：（）A.空氣阻力做正功；B.重力勢(shì)能增添；C.動(dòng)能減小；D.空氣阻力做負(fù)功。選D。當(dāng)重力對(duì)物體做正功時(shí)，物體的：（）A.重力勢(shì)能必定增添，動(dòng)能必定減少；B.重力勢(shì)能必定減少，動(dòng)能必定增添；C.重力勢(shì)能必定減少，動(dòng)能不必定增添；D.重力勢(shì)能不必定減少，動(dòng)能必定增添。選C。以相同的初速度將質(zhì)量相等的三個(gè)小球P、Q、N斜上拋，P、Q、N的初速度方向與水平面之間的夾角挨次是450，600，900。不計(jì)空氣阻力，三個(gè)小球到達(dá)同一高度時(shí)，速度最大的是：（）A.P球；B.Q球；C.N球；D.三個(gè)球速率相等。因?yàn)槊總€(gè)球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，又初始時(shí)刻三球的機(jī)械能相等，因此選D。將一小球系于豎直懸掛的輕彈簧下端，均衡時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為d，現(xiàn)用手托住小球，使彈簧不伸長(zhǎng)，而后釋聽(tīng)任其自己著落，忽視全部阻力，則彈簧的最大伸長(zhǎng)量為：（）A.d2B.dC.2dD.2d因掛載小球的彈簧伸長(zhǎng)d即可均衡，有mgkd（3-5）以彈簧，小球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，觀察彈簧在原長(zhǎng)時(shí)對(duì)小球放手，至小球著落h（設(shè)此時(shí)小球速率為v）的過(guò)程，由機(jī)械能守恒，有mgh1kh21mv222H時(shí)，小球的速率瞬時(shí)為當(dāng)彈簧的伸長(zhǎng)量達(dá)到最大值0，則上式改為mgH1kH2（3-6）2聯(lián)立（3-5）和（3-6）兩式，可得彈簧的最大伸長(zhǎng)量H2d選D。假如一個(gè)系統(tǒng)在一個(gè)過(guò)程中只有守舊力做功，那么該過(guò)程中：（）A.動(dòng)能守恒；B.機(jī)械能守恒；C.動(dòng)量守恒；D.角動(dòng)量守恒。因題設(shè)守舊力并未限于內(nèi)力，這樣未能保障系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故此題無(wú)解。水平拋出一物體，物體落地時(shí)速度的方向與水平方向的夾角為，取地面為零勢(shì)能面，則物體剛被拋出時(shí)，其重力勢(shì)能和動(dòng)能之比為：（）A.tanB.cotC.cot2D.tan2rh落地（設(shè)落地速度為r觀察物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)，則在物體以初速v0自拋出點(diǎn)著落v）的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有1mv02mgh1mv222r再由運(yùn)動(dòng)的疊加性原理，即初速為v0的平拋運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻速（v0）直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。對(duì)落地時(shí)的速度作如圖3-2的分析，有v0vcos聯(lián)立以上兩式，可知圖3-2mgh1mv02tan22因此有mghtan2mv02選D。關(guān)于機(jī)械能能否守恒，以下表達(dá)中正確的選項(xiàng)是：（）Ａ.作勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體的機(jī)械能必定守恒；作勻變速運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能不行能守恒；Ｃ.外力對(duì)物體做功為零時(shí)，機(jī)械能必定守恒；只有重力對(duì)物體做功，物體機(jī)械能必定守恒。若系統(tǒng)包括物體和地球，則可選D。一物體靜止在起落機(jī)的地板上，在起落機(jī)加快上漲的過(guò)程中，地板對(duì)物體的支持力所做的功等于：（）A.物體勢(shì)能的增添量；B.物體動(dòng)能的增添量；C.物體動(dòng)能的增添量減去物體勢(shì)能的增添量；D.物體動(dòng)能的增添量加上戰(zhàn)勝重力所做的功。選D。以以下圖，經(jīng)過(guò)定滑輪懸掛兩個(gè)質(zhì)量為m1、m2的物體（m1m2），不計(jì)繩索質(zhì)量及繩索與滑輪間的摩擦。在m1向下運(yùn)動(dòng)一段距離的過(guò)程中，以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是：（）Ａ.m1勢(shì)能的減少許等于m2動(dòng)能的增添量；Ｂ.m1勢(shì)能的減少許等于m2勢(shì)能的增添量；Ｃ.m1機(jī)械能的減少許等于m2機(jī)械能的增添量；Ｄ.m1機(jī)械能的減少許大于m2機(jī)械能的增添量。因?yàn)閮晌矬w，定滑輪，繩，地球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，若不計(jì)定滑選擇題圖示輪的質(zhì)量，可選C。若考慮定滑輪的質(zhì)量，則有一部分機(jī)械能能將變?yōu)槎ɑ喌霓D(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，因此選D。自由落下的小球從接觸豎直放在地上的彈簧開(kāi)始，到彈簧被壓縮到最短的過(guò)程中：（）A.小球的動(dòng)能先減小后增大；B.小球的機(jī)械能守恒；C.小球的重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增添；D.小球的機(jī)械能減小，小球與彈簧的總機(jī)械能守恒。因?yàn)樾∏?，彈簧和地球?gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此不嚴(yán)格的狀況下可選D。三、計(jì)算題沿傾角為

300的斜面拉一質(zhì)量為

200kg的小車(chē)勻速上坡，拉力的方向與斜面間成

300角，小車(chē)與斜面間的摩擦系數(shù)為，使小車(chē)行進(jìn)

100m拉力所做的功為多少解：如圖3-3所示，小車(chē)遇到四個(gè)力的作用，分別為rrr重力mg，拉力F，斜面對(duì)它的支持力N和摩擦力rf，因?yàn)樾≤?chē)在斜面上作勻速運(yùn)動(dòng)，在xOy坐標(biāo)系下，有Fcosmgsinf0NFsinmgcos0注意到摩擦力fN，則拉力圖3-3sincosmgFsincos所求拉力做功為rrFscossincosmgsAFr1tansin3000.2cos3009.810010.2tan3002001.18105(J)其余，300也切合題意，則拉力做功為rrFscossincosmgsAFr1tansin3000.2cos3009.810010.2tan3002001.49105(J)一地下蓄水池深3m，面積為100m2，池中水面低于地面2m。（取g10m/s2）（1）要用一臺(tái)抽水機(jī)將池中的水所有吸到地面，最少應(yīng)做多少功（2）若抽水機(jī)所耗費(fèi)的電功率為625W，效率80％，抽完這池水所需的時(shí)間為多少解：觀察質(zhì)量為m的水被抽水機(jī)抽高h(yuǎn)米（并設(shè)出口水速為ru）的過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)能定理，有AA抽+Amg1mu202因重力是守舊力，其做功為Amgmgh因此抽水機(jī)做功為A抽1mu2mgh2為使抽水機(jī)做功最少，可設(shè)抽水機(jī)出水口水速很低u0ms1），此時(shí)A抽mgh并且抽水機(jī)的進(jìn)水口置于水面（這樣達(dá)致h最?。Ｈ鐖D3-4所示，在地面上取原點(diǎn)并取圖3-4豎直向下為z軸，在z處取dz薄層水為研究對(duì)象，這部分水的體積為dVSdz，此中S為池塘地面積。設(shè)水的密度為，則這薄層水的質(zhì)量為dmdVSdz將其抽出池塘，抽水機(jī)最少需做功dAgzdmgSzdz因此，把池塘的水所有抽完，抽水機(jī)最少做功AH1gSH2H0211.0103101003222AdAgSzdz0H0222.5106(J)（2）設(shè)所求時(shí)間為t，因抽水機(jī)的電功率P0以效率轉(zhuǎn)變成抽水功率P，故APtP0t所求時(shí)間tA2.51065.0103(s)P080%625用鐵錘將一根鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，第一次擊釘時(shí)，鐵釘被擊入木板1cm，設(shè)每次錘擊時(shí)，鐵釘獲取的速度均相等，則第二次擊釘，能將鐵釘擊入多深解：取鐵釘進(jìn)入木板的方向?yàn)閤軸，依題設(shè)，當(dāng)鐵釘進(jìn)入木板的深度為x時(shí)，遇到木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇rfkxi觀察第一次擊釘?shù)倪^(guò)程，在此過(guò)程中，設(shè)質(zhì)量為m的鐵釘從錘子獲取的速度為rv，釘子從木板表面（x00m）進(jìn)入到深度為x11cm的地點(diǎn)，對(duì)鐵釘應(yīng)用動(dòng)能定理，有Qrrx111Af2EkQEkPmv2fdrkxdxkx10P022即1kx121mv2（3-7）22再應(yīng)用在第二次擊打的過(guò)程，有QAfP即

rdr

x21kx121kx221mv2kxdxEkQEkP0x12221kx121kx221mv2（3-8）222聯(lián)立（3-7）和（3-8），可解x22x1所求第二次擊打，能將鐵釘擊入xx2x121x1210.010.41(cm)質(zhì)量為6105kg的機(jī)車(chē)，由車(chē)站出發(fā)沿水平軌道行駛，經(jīng)過(guò)2.5103m后速度增添為16.7m/s，經(jīng)歷的時(shí)間為300s，若機(jī)車(chē)所受摩擦阻力是車(chē)重的0.005倍，求機(jī)車(chē)的均勻功率。解：機(jī)車(chē)遇到四個(gè)力的作用，分別為牽引力rrrrF，重力mg，路軌對(duì)它的支持力N和摩擦力f，由動(dòng)能定理，有AAmgANAFAfAFmgs1mv202機(jī)車(chē)的牽引力做功AF1mv2mgs2因此機(jī)車(chē)的均勻功率AF1mv2mgsP2tt16.010516.720.0056.01059.82.510323005.24105(W)質(zhì)量為m的物體，從高度為4m，長(zhǎng)為m的斜面頂端由靜止開(kāi)始向下滑動(dòng)，物體到達(dá)斜面下端后，沿表面性質(zhì)相同的水平面連續(xù)向前滑行。已知摩擦系數(shù)為，試求：（1）物體滑到斜面下端時(shí)的速率；（2）物體在水平面上能滑行的最大距離。解：對(duì)斜面上的物體進(jìn)行受力分析，如圖3-5所示，有Nmgcos因此斜面對(duì)物體的摩擦力fNmgcos關(guān)于高h(yuǎn)，長(zhǎng)l的斜面，有sinh4l13.6（1）觀察物體自斜面頂端滑至斜面底端的過(guò)程，對(duì)物體使用動(dòng)能定理，有圖3-5AANAmgAfAmgAf1mv202而Amgmgh和Afflmglcos因此物體滑到斜面底端的速率為v2ghlcos2ghl2h229.842426.1(ms1)（2）觀察物體自斜面底端沿水平面滑行s至靜止的過(guò)程，由動(dòng)能定理，有AANAmgAfAf01mv22而Affsmgs因此mgs1mv2mghl2h22所求物體在水平面上滑行的最大距離為1l2121h13.6sh0.161412(m)4質(zhì)量為10kg的炮彈，以500m/s的初速度射出。1）假如炮彈是豎直向上發(fā)射的，炮彈到達(dá)最高點(diǎn)的勢(shì)能是多少2）假如炮彈以450仰角發(fā)射，炮彈到達(dá)最高點(diǎn)的勢(shì)能是多少解：一般地，設(shè)炮彈以仰角和初速v0發(fā)射，則依照運(yùn)動(dòng)疊加原理，可將炮彈的運(yùn)動(dòng)視為水平方向作v0xv0cos的勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向作初速為v0yv0sin的上拋運(yùn)動(dòng)的合成。于是，水平方向分運(yùn)動(dòng)的重力勢(shì)能恒為0，以炮彈和地球?yàn)橄到y(tǒng)，炮彈豎直方向分運(yùn)動(dòng)的過(guò)程機(jī)械能守恒，觀察炮彈從發(fā)射至到達(dá)最高點(diǎn)的過(guò)程，有1mv02ymgh2當(dāng)炮彈處于最高點(diǎn)時(shí)，它的重力勢(shì)能為各分運(yùn)動(dòng)勢(shì)能之和，即Epmgh01mv02y1mv02sin222（1）當(dāng)仰角900時(shí)，炮彈到達(dá)最高點(diǎn)的勢(shì)能為Ep1mv02sin290011050021.25106(J)22（2）當(dāng)仰角450時(shí)，炮彈到達(dá)最高點(diǎn)的勢(shì)能為1mv02sin2450122Ep1050026.25105(J)222在半徑為R的固定球面極點(diǎn)處，一物體由靜止開(kāi)始下滑。h；（1）假如為圓滑球面，求物體走開(kāi)球面處距離球面極點(diǎn)的高度（2）假如物體與球面之間存在摩擦，物體走開(kāi)球面處距球面極點(diǎn)的高度H大于還是小于h解：（1）在圓滑球面的條件下，如圖3-6（a）所示，物體在球面上滑行時(shí)，遇到兩個(gè)力的作用，分別為重力rrmg，球面對(duì)物體的支持力N，且有mgcosNmv2（3-9）R，且Hh，當(dāng)物體恰好走開(kāi)球面時(shí)，球面對(duì)物體的支持力N0，代入上式，得mgcosmv2（3-10）R以物體，球面和地球?yàn)橄到y(tǒng)，觀察物體從球面圖3-6（a）頂端滑至恰好走開(kāi)球面的過(guò)程，該系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即mgh1mv2（3-11）而h與2的關(guān)系為hRRcos（3-12）由以上三式，可解出hR3（2）在物體與球面之間存在摩擦力的條件下，如圖3-6（b）所示，物體在球面上滑行時(shí)，遇到三個(gè)力的作用，分別為重力rrrmg，球面對(duì)物體的支持力N和摩擦力fmgcosNmV2（3-13）R

，且有圖3-6（b）此中fN。當(dāng)物體恰好走開(kāi)球面時(shí)，球面對(duì)物體的支持力N0，代入上式，得mgcosmV2（3-14）R觀察物體從球面頂端滑至恰好走開(kāi)球面的過(guò)程，如圖3-6（b），對(duì)物體應(yīng)用動(dòng)能定理，有AAmgANAfmgHAf1mV202即mgHAf1mV2（3-15）2而H與的關(guān)系為HRRcos（3-16）比較（3-10）～（3-12）和（3-14）～（3-16），設(shè)若hH，即，注意到Af0，可知Vv，由（3-10）和（3-13），可得N0，表示此時(shí)物體還壓在球面上。此時(shí)連續(xù)增大，則由（3-16）可知，H也增大，且Af也增大，由（3-15）知V也增大，再由（3-13）知N減小?？芍?dāng)合適地將增大到某一值時(shí)，則N為零，此時(shí)物體恰好走開(kāi)物體。因此Hh。質(zhì)量為0.1kg的小球懸掛在勁度系數(shù)為1N/m、原長(zhǎng)為0.8m的輕彈簧一端，彈簧另一端固定。開(kāi)始時(shí)，彈簧水平擱置且為原長(zhǎng)，而后將小球靜止釋聽(tīng)任其著落，當(dāng)彈簧經(jīng)過(guò)鉛垂地點(diǎn)時(shí)其長(zhǎng)度為1m，求此時(shí)小球的速度。解：觀察彈簧從水平擱置且為原長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)至彈簧經(jīng)過(guò)鉛垂地點(diǎn)的過(guò)程，則由彈簧，小球和地球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有mgh1mv21kx222則小球的速率為v2ghkx21(1.00.8)24.4(ms1)m0.1將質(zhì)量為m的小球系于長(zhǎng)度為l的細(xì)線下端構(gòu)成單擺。開(kāi)始時(shí)，單擺懸線與豎直向下方向成0角（00），擺球的初速率為v0，試求：21）取擺球最低地點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)的總機(jī)械能是多少2）擺球在最低地點(diǎn)的速率是多少3）使此單擺的懸線能達(dá)到水平川點(diǎn)，初始時(shí)刻擺球應(yīng)擁有的最小速率是多少4）使單擺不搖動(dòng)，而不停地沿豎直圓周運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻擺球應(yīng)擁有地最小速率是多少解：（1）以擺球，細(xì)繩和地球?yàn)橄到y(tǒng)，該系統(tǒng)的機(jī)械能為E1mv2mgh20此中hllcos0因此系統(tǒng)的機(jī)械能為E1mv02mgl(1cos0)2（2）在單擺從0地點(diǎn)擺到最低地點(diǎn)（設(shè)此時(shí)擺球的速率為v）的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有1mv2mgl(1cos0)1mv2202可解出vv022gl(1cos0)（3）在單擺從0地點(diǎn)擺到擺線恰好達(dá)到水平川點(diǎn)（設(shè)此時(shí)擺球的速率為v）的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，一般有1mv02mgl(1cos0)mgl1mv2220，即為使擺球的初速率最小，可令單擺的擺線恰好達(dá)到水平川點(diǎn)時(shí)，擺球的速率為1mv02mgl(1cos0)mgl2所求擺球的初速率最低為，v02glcos0（4）設(shè)擺球在最高地點(diǎn)時(shí)的速率為v，并設(shè)擺線對(duì)擺球的拉力為T(mén)，則有mgTmv2R為使擺球的初速率最小，可令T0，即2mgmv在單擺從0地點(diǎn)擺到小球到達(dá)最高地點(diǎn)（設(shè)此時(shí)擺球的速率為v）的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有1mv02mgl(1cos0)mg2l1mv222聯(lián)立前兩式，可得所求初始時(shí)刻擺球應(yīng)擁有地最小速率是v0gl(32cos0)勁度系數(shù)為40N/m的彈簧豎直擱置，把一枚質(zhì)量為2103kg的硬幣放在此彈簧上端，而后向下壓硬幣，使彈簧再被壓縮0.01m，試求開(kāi)