數(shù)學(xué)能力取決于數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)能力取決于數(shù)學(xué)思想方法──由分析一道中考數(shù)學(xué)試題得到的啟示應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力既是“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中的一個(gè)重要的課程目標(biāo)，也是考查學(xué)生綜合素質(zhì)的一個(gè)重要依據(jù)．2022年安徽省中考數(shù)學(xué)試題就有這樣一個(gè)特點(diǎn)：不再只是考查學(xué)生積累了多少“雙基”，而是考查學(xué)生運(yùn)用“雙基”解決具體問(wèn)題的辦法與能力．重視對(duì)邏輯推理能力的考查，注意適度論證，加強(qiáng)了計(jì)算和推理的有機(jī)結(jié)合，入口容易，方法多樣，不求繁難，也沒(méi)有出現(xiàn)“偏題”、“怪題”．可以說(shuō)，與前兩年相比，在保持試題難度框架形式相對(duì)穩(wěn)定不變的前提下，仍趨向于通過(guò)創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情境，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題在運(yùn)用的過(guò)程中考查數(shù)學(xué)能力，其根本目的是在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法．不妨在此作些簡(jiǎn)單分析，與大家共同切磋，以利教學(xué)．

【試題分析】

2022中考數(shù)學(xué)試題繼續(xù)延續(xù)了2022年的命題思路，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力和數(shù)學(xué)思想方法的考查，沒(méi)有偏題和怪題，題目難易適中，繼續(xù)堅(jiān)持“穩(wěn)中求變，變中求新”這一特點(diǎn)．

首先，試卷整體布局合理，對(duì)知識(shí)的考查比較合理、全面，注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查．整張?jiān)嚲砉?3道題．其中選擇題共10道題，每題4分；填空題4道題，每題5分；最后三道題分值分別為12分、12分、14分．代數(shù)部分約占48%，幾何部分約占52%．其中代數(shù)部分對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的考查，如簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)大小比較（第1題）、科學(xué)記數(shù)法（第2題）、分式化簡(jiǎn)（第15題）、一元二次方程的解法（第8題）、一元一次方程的應(yīng)用（第16題）、新定義運(yùn)算（第2、14題）；函數(shù)部分考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（第21題）、二次函數(shù)的增減性（第23題的3問(wèn)）及統(tǒng)計(jì)與概率（第5、20題）．幾何部分考查了三角形、四邊形、圓及圖形的變換。其中三角形知識(shí)點(diǎn)考查面廣，如三角形的性質(zhì)（第6題）、全等三角形的性質(zhì)與判定（第23題）、相似三角形的性質(zhì)與判定（第9、10、22題）、等腰三角形的性質(zhì)（第22題）、直角三角形的性質(zhì)及解直角三角形（第13、19題）；四邊形知識(shí)點(diǎn)的考查較綜合（第5、6、9題），圓的知識(shí)考查了垂徑定理（第13題）、圓周角定理及弧長(zhǎng)公式（第7題）；圖形變換考查了旋轉(zhuǎn)、平移、位似（第17、22題）．

其次，試題延續(xù)2022年的平穩(wěn)趨勢(shì)，嚴(yán)格按照考綱出題，試題難易適中，沒(méi)有出現(xiàn)“怪、偏、繁”題，試卷難題分布合適．如第21題、22題和23題考查了幾何推理能力和數(shù)學(xué)綜合分析能力，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的考查很全面。第21題是把一次函數(shù)與反比例相結(jié)合，使二次函數(shù)融合在幾何題中，既淡化了這類考題的分量，同時(shí)又能考查考生的綜合能力，命題思路較好．第22題是幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，在旋轉(zhuǎn)中找角的度數(shù)，線段之間的關(guān)系，題目沒(méi)有突破常規(guī)，但是延續(xù)了學(xué)生在解數(shù)學(xué)題中的思維難點(diǎn)，讓學(xué)生“夠一夠能抓到”，是一道訓(xùn)練思考能力和思想方法的好幾何題。第23題，是在一個(gè)基本幾何圖形框架下考查全等三角形及二次函數(shù)的問(wèn)題，是一道代數(shù)與幾何相結(jié)合的好題．

此外，試卷新增了規(guī)律探索題、淡化了概率的運(yùn)用、二次函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用等中考熱點(diǎn)問(wèn)題．規(guī)律探索題是安徽省中考命題的一大特色，在前幾年中考中有著很重的分量，但是2022、2022年的考題基本上是把規(guī)律探索題放在選擇和填空中，而2022年的考題則加大了規(guī)律探索題的分量，且出現(xiàn)在大題中，很明顯，這是著重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查．

縱觀以上試題結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，試題仍以考查學(xué)生的基本知識(shí)與基本能力為主，但考查知識(shí)點(diǎn)偏重于幾何部分，以凸顯學(xué)生的邏輯思維能力，其中第9、10、22題的第（3）問(wèn)有一定的區(qū)分度．最明顯的是，2022年安徽省中考數(shù)學(xué)的閱讀理解題能較好地考查學(xué)生的閱讀理解能力與日常生活體驗(yàn)，同時(shí)又能考查學(xué)生獲取信息后的抽象概括能力、建模能力、決策判斷能力，是一大亮點(diǎn)．如第12、14、18、20題，試題背景考生較熟悉，很容易入手，問(wèn)題設(shè)置有創(chuàng)新、有變化也是2022年命題的一大特點(diǎn)．

【考題再現(xiàn)】：

例1（2022安徽省中考數(shù)學(xué)第9題）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上．若點(diǎn)P到BD的距離為，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）

A．1

B．2

C．3

D．4

解析：選B。分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由勾股定理得，從△ABD的面積計(jì)算可得AB·ADAE·BD，，點(diǎn)P到BD的距離為，因此，在邊AD、AB上可以分別找到一個(gè)點(diǎn)P；而,即，亦即，所以，在邊BC、CD上均找不到點(diǎn)P；綜上符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)只有兩個(gè)，分別在邊AD、AB上各一個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題設(shè)題較為簡(jiǎn)明，思考方法靈活，體現(xiàn)了由一般到特殊的命題特色，能較好地引導(dǎo)學(xué)生掌握從一般到特殊的思想方法．

例2（2022安徽省中考數(shù)學(xué)第10題）如圖2，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P垂直于AC的直線交菱形ABCD的邊于M、N兩點(diǎn)．

設(shè)，，，△AMN的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致形狀是（

）

解析：選C。點(diǎn)P在AC的左半邊移動(dòng)時(shí)，即時(shí)，，則，即；當(dāng)點(diǎn)P在AC的右半邊移動(dòng)時(shí)，即時(shí)，，則，即，綜上，選C．

點(diǎn)評(píng)：此題圖形較為美觀，包含了很多幾何、代數(shù)知識(shí)，能真正考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想方法及計(jì)算能力．但筆者在中考閱卷中也發(fā)現(xiàn)這樣的問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在AC的左半邊移動(dòng)時(shí)，即時(shí)，多數(shù)考生都可以得到函數(shù)的解析式；當(dāng)點(diǎn)P在AC的右半邊移動(dòng)時(shí)，即時(shí)，不少考生產(chǎn)生困難，難以得到函數(shù)解析式，從而難以在B、C兩個(gè)選項(xiàng)中抉擇，這反映出有些考生計(jì)算能力差的弱點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想體會(huì)也不夠深．

例3（2022安徽省中考數(shù)學(xué)第18題）在平面直角坐標(biāo)系中，一螞蟻從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位，其行走路線如圖3所示．

(1)填寫下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A4(

，

)、A8(

，

)、A12(

，

)；

(2)寫出點(diǎn)A4n的坐標(biāo)(n是正整數(shù))；

(3)指出螞蟻從點(diǎn)A100到點(diǎn)A101的移動(dòng)方向．

解析：（1）A4(

2

，

0

)、A8(

4

，

0

)、A12(

6

，

0

)；

（2）A4n=(

2n

，

0

)．

易得規(guī)律為：每4步，則向右行進(jìn)兩個(gè)單位長(zhǎng)度，因此橫坐標(biāo)為2n，且第四步都回到軸，因此縱坐標(biāo)為0．

（3）向上．因?yàn)?00是4的倍數(shù)，因此A100到點(diǎn)A101的移動(dòng)方向與點(diǎn)A4到點(diǎn)的移動(dòng)方向相同．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查考生觀察、歸納等數(shù)學(xué)推理能力．但若發(fā)現(xiàn)不了第（2）小題的規(guī)律或得出錯(cuò)誤的規(guī)律后，則影響第（3）小題的解答．自新課程改革實(shí)施以來(lái)，幾乎每年都會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納推理考查題，不可否認(rèn)，學(xué)生在這方面的能力已經(jīng)增強(qiáng)，但還應(yīng)繼續(xù)重視．

例4（2022安徽省中考數(shù)學(xué)第20題）一次學(xué)科測(cè)驗(yàn)，學(xué)生得分均為整數(shù)，滿分為10分，成績(jī)達(dá)到6分以上（包括6分）為合格，成績(jī)達(dá)到9分為優(yōu)秀.這次測(cè)驗(yàn)中甲乙兩組學(xué)生成績(jī)分布的條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

（1）請(qǐng)補(bǔ)充完成下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表：

平均分方差中位數(shù)合格率優(yōu)秀率甲組

%%乙組

%%（2）甲組學(xué)生說(shuō)他們的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組，所以他們的成績(jī)好于乙組.但乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生的說(shuō)法，認(rèn)為他們組的成績(jī)要好于甲組，請(qǐng)你給出三條支持乙組學(xué)生觀點(diǎn)的理由．

解析：（1）

平均分方差中位數(shù)合格率優(yōu)秀率甲組

7%%乙組

7

7%%（2）①乙組的平均分比甲組高；

②乙組的方差比甲組小；

③乙組學(xué)生成績(jī)不低于7分的人數(shù)比甲組多．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于基礎(chǔ)考查題，但在閱卷中發(fā)現(xiàn)考生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤是：乙組學(xué)生成績(jī)7分以上的人數(shù)比甲組多．本題由完成成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表出發(fā)，到探究分析乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生說(shuō)法的原因，進(jìn)而給出三條支持乙組學(xué)生觀點(diǎn)的理由，由淺入深，無(wú)形之中，既照顧到不同層次的學(xué)生，又含有樂(lè)趣。這是科學(xué)研究、科學(xué)探究的重要方法．這種研究、思維模式對(duì)學(xué)生是十分有益的．學(xué)生自我探究后，既有成就感，增強(qiáng)自信心，又可有效地改善、提升思維水平．

例5（2022安徽省中考數(shù)學(xué)第21題）如圖，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

（1）求函數(shù)的表達(dá)式和B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）觀察圖象，比較當(dāng)時(shí)，與的大?。?/p>

解析：（1）由直線過(guò)A、C兩點(diǎn)得：

解得，∴

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，∴

設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），

∵B是函數(shù)與圖象的交點(diǎn)，

∴，由題知，此時(shí)

∴B的點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．

（2）由圖知：

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，；

③當(dāng)時(shí)，．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于基礎(chǔ)考查題，難度適中，重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的應(yīng)用．試題立足于學(xué)生發(fā)展，體現(xiàn)出人文關(guān)懷，既考查了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況，又考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力、思維能力、創(chuàng)新能力、實(shí)踐能力，是一道極富思維含量的好題．此題命題意圖明確，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值，這對(duì)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)以及引領(lǐng)初中數(shù)學(xué)教與學(xué)方面都有著較好的導(dǎo)向作用．

例6（2022安徽省中考數(shù)學(xué)第22題）在△ABC中，∠ACB，∠ABC，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為()，得到△A1B1C．

(1)如圖1，當(dāng)AB∥CB1時(shí)，設(shè)A1B1與BC相交于點(diǎn)D．證明：△A1CD是等邊三角形；

(2)如圖2，連接AA1、BB1，設(shè)△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．求證：S1∶S21∶3；

(3)如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A1B1的中點(diǎn)為P，，連接EP．當(dāng)

°時(shí)，EP的長(zhǎng)度最大，最大值為

．

解析：（1）因?yàn)椤螦CB，∠ABC，所以∠BAC，所以∠A1，∠B1；因?yàn)锳B∥CB1，所以∠BCB1∠ABC，所以∠A1CB∠A1CB—∠BCB1，∠A1DC∠DCB1∠CB1D，所以∠A1∠A1CB∠A1DC，所以△A1CD是等邊三角形．

（２）易證得∽,且相似比為，得證．

（３）；．連接CP，易知，∠A1CP．當(dāng)點(diǎn)E，C，P不在同一直線上時(shí)，則EC，CP，EP能構(gòu)成三角形，在△ECP中，總有EP＜ECCP，因此，當(dāng)點(diǎn)E，C，P在同一條直線上時(shí)，即EPECCP時(shí)，EP最大，且等于．此時(shí)，．

點(diǎn)評(píng)：第（1）小題的難度不大，不再贅述；第（2）小題的關(guān)鍵有兩處：一是證明等腰△ACA′∽等腰△BCB′，二是發(fā)現(xiàn)相似比等于tan，難度不是很大；最大的問(wèn)題是在第（3）小題，不少考生找不到等于多少度時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，這反映出兩個(gè)問(wèn)題：一是空間想象能力差，二是平時(shí)動(dòng)手能力差．不少考生根本就想不到去剪下兩個(gè)直角三角形轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，只要轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隨著旋轉(zhuǎn)角的不斷增大，EP的長(zhǎng)度不斷增大．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角達(dá)到時(shí)，EP的長(zhǎng)度最大，若再旋轉(zhuǎn)下去，EP的長(zhǎng)度將減?。纱丝梢?jiàn)動(dòng)手操作能力的重要性．

例7（2022安徽省中考數(shù)學(xué)第23題）如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)．

（1）求證：h1h3；

（2）設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證：；

（3）若h1h21，當(dāng)h1變化時(shí)，說(shuō)明正方形ABCD的面積S隨h1的變化情況．

解析：（1）過(guò)A點(diǎn)作AF⊥分別交、于點(diǎn)E、F，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥分別交、于點(diǎn)H、G，證△ABE≌△CDG即可．

（2）易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且兩直角邊長(zhǎng)分別為h1、h1h2，四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為h2的正方形，所以：

．

(3)由題意，得，所以：

又

解得0＜h1＜

∴當(dāng)0＜h1＜時(shí)，S隨h1的增大而減??；

當(dāng)時(shí)，S取得最小值；

當(dāng)＜h1＜時(shí)，S隨h1的增大而增大．

點(diǎn)評(píng)：本題作為壓軸題，其難度在第（2）小題和第（3）小題，看似代數(shù)式的變化，其實(shí)倚重于幾何圖形，數(shù)形結(jié)合相當(dāng)完美．第（2）小題其實(shí)就是用、的代數(shù)式來(lái)表示正方形的邊長(zhǎng)，但這種表示一定要通過(guò)圖形來(lái)實(shí)現(xiàn)，而不是通過(guò)代數(shù)式的變形來(lái)完成；第（3）題其實(shí)就是二次函數(shù)的解析式與增減性問(wèn)題，只不過(guò)是借助幾何圖形這個(gè)載體來(lái)呈現(xiàn)的。因思維方式多樣，不僅僅局限于由已知探求未知，還促使考生采取由未知到已知的逆向思維方法，既關(guān)注了不同數(shù)學(xué)水平學(xué)生的解題需要，又突出了題目應(yīng)有的選拔作用。因此說(shuō)該試題的命題技術(shù)含量較高，能照顧到考生不同的思維方式和習(xí)慣．

【感悟反思】

“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，主要是概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法”．掌握數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)提升數(shù)學(xué)素質(zhì)的必要條件．?dāng)?shù)學(xué)思想方法很多，最基本的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程的思想、函數(shù)的思想等．教學(xué)中，突出這些基本的思想方法，就相當(dāng)于抓住了數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓。因此作為教師，平時(shí)一定要遵循數(shù)學(xué)教學(xué)理念，有意識(shí)地在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的情境，這是發(fā)展學(xué)生思維能力的關(guān)鍵一環(huán)，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的好途徑，同時(shí)又可有效地克服學(xué)生的思維定勢(shì)．

但由于初中學(xué)生認(rèn)知能力和初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，而對(duì)有些數(shù)學(xué)思想方法就不宜要求過(guò)高，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想方法落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中．

此外，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過(guò)程的教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是頭腦中構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程．而基本知識(shí)、基本技能是培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和發(fā)展的必備條件．

因此我們教師應(yīng)改變學(xué)生單純接受的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生會(huì)采用探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、體驗(yàn)學(xué)習(xí)等多樣化的學(xué)習(xí)方式，逐步學(xué)會(huì)“提出問(wèn)題──實(shí)驗(yàn)探究──開(kāi)展討論──形成新知──應(yīng)用反思”的學(xué)習(xí)方法．這樣不僅能使學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、探究性、合作性得到加強(qiáng)，而且又能使學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣．具體有以下幾點(diǎn)建議：

1.繼續(xù)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．從2022年安徽省的數(shù)學(xué)中考試題來(lái)看，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查力度相當(dāng)大，對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)的沖擊也是相當(dāng)大的．要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，只講解題方法，只講題型訓(xùn)練是不夠的，要想以不變應(yīng)萬(wàn)變，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，就必須注意數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力上下功夫．

2.繼續(xù)落實(shí)過(guò)程性教學(xué)．過(guò)程性教學(xué)包含兩個(gè)方面：一是課堂教學(xué)中不能滿足于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)結(jié)論的理解與記憶，要十分重視教學(xué)過(guò)程，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，這就要求老師積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與活動(dòng)過(guò)程，在參與的過(guò)程中理解、掌握知識(shí)，逐步理解數(shù)學(xué)思想方法，并用于