小波與小波分析初步

小波與小波分析初步2012-2-23Waveletsanalysis1第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis2第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日小波分析簡史小波分析是自1986年以來由于Y.Meyer，S.Mallat及I.Daubechies等的奠基工作而迅速發(fā)展起來的一門新興科學(xué)。它是Fourier變換劃時(shí)代發(fā)展的結(jié)果。應(yīng)用十分廣泛。它的發(fā)展歷史可以追朔到1909年Haar的工作。從現(xiàn)代小波分析的觀點(diǎn)看，1930年前后有許多與小波的新方向出現(xiàn)。但是此后的進(jìn)展一直不大。1960年Caldero’n及20年后1980年Grossmann與Morlet的研究的”原子分解”是小波分析的新開端。3第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis4什么是小波小波

對(duì)于函數(shù)，稱ψ(t)是小波，如果小波(函數(shù))特點(diǎn)在整個(gè)實(shí)軸上可得，所以在無窮遠(yuǎn)處為零。圖像是振蕩的，即圖像與x軸所夾的上半平面中的面積和下半平面的面積是相等的。小波英文中為Wavelet或Wavelets。研究的信號(hào)都是能量有限的，所以第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis5Haar小波Haar小波

Haar小波函數(shù)定義為h(t)的Fourier變換第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis6Haar小波及它的Fourier變換第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis7Shannon小波Shannon函數(shù)s(t)是由下述它的Fourier變換定義的函數(shù)取Fourier逆變換得到s(t)滿足小波的定義。第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis8Shannon小波及它的Fourier變換第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日Gauss小波與Mexic帽小波Gauss小波是Gauss函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)Mexic帽小波是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)9第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis10Mexic帽小波及它的Fourier變換第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis11Haar小波，高斯概率密度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)生成的小波，墨西哥帽小波第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日小波族(Wavelets)其中a為尺度參數(shù)，b為位移參數(shù)。引入小波函數(shù)ψ(t)的平移與伸縮構(gòu)成函數(shù)族12第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日13第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis14連續(xù)小波變換小波變換是對(duì)Fourier變換、Gabor變換的進(jìn)一步伸延。連續(xù)小波變換

設(shè)，稱積分小波變換，也稱為連續(xù)小波變換。連續(xù)小波變換也可寫為內(nèi)積形式第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的Matlab命令Cwt函數(shù)-----一維連續(xù)小波變換函數(shù)語法格式：Coefs=cwt(S,scales,’wname’,‘plot’)Coefs=cwt(S,scales,’wname’,plotmode,xlim)S是信號(hào)；scales是正的實(shí)尺度；wname小波名，計(jì)算向量一維小波系數(shù)；plot畫圖；plotmode是圖形著色，它的有效值是：’lvl’—scale-by-scale著色模式,‘glb’—所有尺度的著色模式,‘a(chǎn)bslvlorlvlabs’—使用系數(shù)絕對(duì)值的scale-by-scale著色模式,‘a(chǎn)bsglborglbabs’—使用系數(shù)絕對(duì)值并考慮所有尺度的著色模式。Xlim＝[x1x2]并且1<=x1<=x2<=length(S)。15第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日%設(shè)置有效支撐和網(wǎng)格參數(shù)，就是自變量的取值范圍和在這個(gè)范圍內(nèi)的取值點(diǎn)的個(gè)數(shù)lb=-5;ub=5;n=1000;%計(jì)算并畫出Mexicanhat小波[psi,x]=mexihat(lb,ub,n);figure(1);subplot(311);plot(x,psi,'r','LineWidth',2);legend('Mexicanhat')title('連續(xù)小波變換');%裝載實(shí)際信號(hào)loadvonkochvonkoch=vonkoch(1:510);lv=length(vonkoch);subplot(312);plot(vonkoch,'LineWidth',2);legend('被分析信號(hào)');subplot(313);%執(zhí)行連續(xù)小波Mexicanhat變換，ccfs=cwt(vonkoch,1:32,'mexh','abslvl',[200400]);16第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的圖示用墨西哥帽小波計(jì)算出的小波變換作業(yè)任給一個(gè)信號(hào)，計(jì)算小波變換，并繪圖17第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日一個(gè)實(shí)際信號(hào)的小波變換18第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的頻域表示的Fourier變換對(duì)連續(xù)小波變換用Parseval恒等式意思是連續(xù)小波變換關(guān)于b的Fourier變換為19第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis20小波變換重構(gòu)原來函數(shù)的條件在Fourier變換中，給出了函數(shù)f(t)的Fourier變換，還可以用Fourier逆變換再變回到f(t)，即可以由重構(gòu)f(t)。在小波變換中，有無逆變換，或者說，如何用小波變換重構(gòu)f(t)呢？要解決這一問題，除假定外，還需要ψ(t)滿足容許性條件第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis21基小波基小波

如果并且滿足容許性條件，則稱ψ是一個(gè)基小波。相應(yīng)的連續(xù)小波變換稱為關(guān)于這個(gè)基小波的連續(xù)小波變換(或積分小波變換)。在以后談到小波時(shí)，如無特別聲明，就指的是基小波。前邊幾個(gè)小波例子都是基小波?；〔ㄅc積分為0差別并不大，只需加上稍微強(qiáng)一點(diǎn)的條件。第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis22函數(shù)用連續(xù)小波變換重構(gòu)定理如果ψ是一個(gè)基小波，由它定義了一個(gè)連續(xù)小波變換，那么對(duì)所有成立。而且對(duì)任何和f的連續(xù)點(diǎn)，有第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis23重構(gòu)定理證明由Parseval恒等式得類似地第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日代入定理第1式左邊

是Fourier逆變換24第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日這就證明了第一式。如果f在連續(xù)，取則由Gauss函數(shù)卷積結(jié)論，得而這就證明了第二式。25第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日2012-2-23Waveletsanalysis26正交小波記正交小波定義

一個(gè)小波稱為是一個(gè)正交小波，如果是的一個(gè)規(guī)范正交基，即而且每個(gè)能寫為而上面級(jí)數(shù)的收斂是中的收斂。