2022年中考數(shù)學(xué)壓軸大題押題附答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖1,在中，NZCB為銳角，點(diǎn)。為射線5c上一點(diǎn)，連接/￡),以AD為一邊

且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

(1)如果/8=/C,/B4c=90°,

①當(dāng)點(diǎn)。在線段8c上時(shí)(與點(diǎn)8不重合)，如圖2,線段CR8。所在直線的位置關(guān)系

為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為相等；

②當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長線上時(shí)，如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

(2)如果NBWZC,/8/C是銳角，點(diǎn)。在線段8c上，當(dāng)/ZC8滿足什么條件時(shí)，CF

L8C(點(diǎn)C、尸不重合)，并說明理由.

證明：（1）①正方形ZOEF中，AD=AF,

■:NBAC=ND4F=9Q°,

：.ZBAD=ZCAF,

又,.78=/C,

:.AD4B注/\E4C,

：.CF=BD,NB=NACF,

：.ZACB+ZACF=90°,即CF_L8O.

②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.

由正方形/OE尸得4。=4尸，ND4F=90陵.

'：ZBAC=9Qa,

：.ZDAF=ZBAC,

：.NDAB=NFAC,

5L'：AB=AC,

：./\D4B公AFAC,

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：.CF=BD,ZACF=AABD.

\'ZBAC^90°,AB=AC,

，//8C=45°,

AZJCF=45°,

，NBCF=ZACB+ZACF=90度.

即CF±BD.

（2）當(dāng)乙4c8=45°時(shí)，CFLBD（如圖）.

理由：過點(diǎn)4作/GL/C交C8的延長線于點(diǎn)G,

則NG/C=90°,

VZACB=45°,4GC=90°-ZACB,

：.ZAGC=90°-45°=45°,

AZACB=ZAGC=45°,

：.AC^AG,

（同角的余角相等），AD=AF,

：./\GAD^/\CAF,

：.ZACF=ZAGC=45Q,

NBCF=NACB+NACF=45°+45°=90°,BPCFYBC.

2.如圖，O。的直徑48=26,尸是Z8上（不與點(diǎn)/、8重合）的任一點(diǎn)，點(diǎn)C、。為。。

上的兩點(diǎn)，若NAPD=NBPC,則稱NC尸。為直徑Z8的“回旋角”.

（1）若/8PC=NDPC=60°,則NCPO是直徑的"回旋角”嗎？并說明理由：

13

（2）若麗的長為不，求“回旋角”NC尸。的度數(shù)；

（3）若直徑的“回旋角”為120°,且△PCZ）的周長為24+13舊，直接寫出/尸的

長.

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解：NCP。是直徑力8的“回旋角”，

理由：,:NCPD=/BPC=60°,

...//PO=180°-NCPD-NBPC=180°-60°-60°=60°,

:.NBPC=NAPD,

：.ZCPD是直徑AB的“回旋角”；

(2)如圖1,T43=26,

：.OC=OD=OA=\3,

設(shè)NCOZ)=〃°,

13

?.?麗的長為”，

.717rxi313

:.-----=--71,

1804

，〃=45,

：.ZCOD=45Q,

作CE_L48交。。于E,連接尸E,

???ZBPC=ZOPEf

VZCPD為直徑AB的“回旋角”,

：.NAPD=NBPC,

:?/OPE=NAPD,

TN/尸。+NC尸。+N8PC=180°,

AZOP￡+ZCPZ)+ZJBPC=180°,

???點(diǎn)Q,P,E三點(diǎn)共線，

AZCED=^ZCOD=22.5°,

：.ZOPE=90°-22.5°=67.5°,

AZAPD=ZBPC=67.5°,

：.ZCPD=45°,

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即：'‘回旋角"NCPO的度數(shù)為45°,

(3)①當(dāng)點(diǎn)P在半徑(9/上時(shí)，如圖2,過點(diǎn)C作CAL/8交。0于尸，連接PR

：.PF=PC,

同(2)的方法得，點(diǎn)。，P,尸在同一條直線上，

:直徑月8的“回旋角”為120°,

...//PO=N8PC=30°,

AZCPF=60°,

.?.△PC尸是等邊三角形，

：.ZCFD=60Q,

連接OC,OD,

.?.NCOO=120°,

過點(diǎn)。作。G,CD于G,

1

：.CD=2DG,/DOG="COD=60。,

.'.DG=ODsinZDOG=\3Xsm60°=

.".CZ)=13V3,

■:XPCD的周長為24+138，

：.PD+PC=24,

"：PC=PF,

:.PD+PF=DF=24,

過。作OHIDF于H,

：.DH=^DF=\2,

在中，OH=，。。2-DU=5,

在RtaO/ZP中，NOPH=30°,

六。尸=10,

:.AP=OA-OP=3；

②當(dāng)點(diǎn)P在半徑08上時(shí)，

同①的方法得，BP=3,

J.AP^AB-8P=23,

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即：滿足條件的力P的長為3或23.

于點(diǎn)與48的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過"作垂足為M

(1)求證：MN是。。的切線；

(2)若。。的直徑為5,sin3=。，求EQ的長.

?：OC=OM,

：?/OCM=/OMC,

在RtZVfAC中，C。是斜邊45上的中線,

:?CD=%B=BD,

:./DCB=/DBC,

：?ZOMC=/DBC,

：,0M〃BD,

?：MN工BD,

：.OMLMN,

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過O,

是。。的切線;

(2)解：連接DW,

：CD是。。的直徑,

AZC￡￡>=90°,NDMC=90°,

BPDMIBC,CELAB,

由(1)知：BD=CD=5,

為BC的中點(diǎn),

3

Vsin8=耳,

4

COSB=g,

在RtZXBA/D中，BM=BD'cosB=4,

：.BC=2BM=8,

在RtACE5中，BE=BCsB=手，

327

：.ED=BE-BD=寺-5=g.

4.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點(diǎn)/,B,。0的半徑為人

(1)如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)4,8之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求N/CB的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸。最大時(shí)，要使四邊形NP8C為菱形，NZP8的度

數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說明理由；

(3)若PC交于點(diǎn)。,求第(2)問中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(用含，?的式子表示).

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圖1圖2（備用圖）

【解答】解：（1）如圖1,連接04OB,

圖1

'：PA,P8為。。的切線，

弘O=/P8O=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360,,,

AZAPB+ZAOB=1SO°,

：N"8=80°,

...N/08=100°,

AZJCB=50°；

(2)如圖2,當(dāng)N/P8=60°時(shí)，四邊形4P8C是菱形,

連接04,OB,

由(1)可知，N4OB+N4PB=18?！?

VZAPB=60°,

：.ZAOB=120°,

ZACB=60°=/APB,

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?.?點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，

...PC經(jīng)過圓心，

'：PA,P5為。。的切線，

：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,

又,：PC=PC,

:.△APCQABPC(SAS),

，N/CP=/8CP=30°,AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°,

：.AP=AC,

:.AP=AC=PB=BC,

四邊形/P8C是菱形；

(3):。。的半徑為r,

：.OA=r,OP=2r,

：.AP=V3r,PD=r,

VZAOP=9Q°-4尸0=60°,

前的長度=618；0r=^-r,

.?.陰影部分的周長=R(+PD+麗=每+廠+貨=(V3+1+J)r.

5.如圖，以為OO的切線，P8C為。。的割線，4DLOP于點(diǎn)￡>,△/OC的外接圓與8c

'：OALAP,ADLOP,

二由射影定理可得：PA2^PD'PO,4D2=PD?OD.…（5分）

又由切割線定理可得PA1=PB'PC,

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:.PB?PC=papo,

:?D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…(10分)

AZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODC,/PBD=/COD,

:?△PBDs^cOD,

PDBD、

(15^)

BD?CD=PD?OD=AD2,

.BDAD

??布二CD'

又NBDA=/BDP+90°=ZOZ)C+90°=ZADC,

:./XBDAsAADC,

:.NBAD=NACD,

：.AB是△/OC的外接圓的切線,

6.如圖，點(diǎn)4為y軸正半軸上一點(diǎn),48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過點(diǎn)N任作直線交拋物線y=|%2

于P,。兩點(diǎn).

(1)求證：NABP=NABQ；

(2)若點(diǎn)/的坐標(biāo)為(0,1),且NP8Q=60°,試求所有滿足條件的直線尸。的函數(shù)

解析式.

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【解答】（1）證明：如圖，分別過點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)為（0,力，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-t）.

設(shè)直線的函數(shù)解析式為了=履+。并設(shè)P,。的坐標(biāo)分別為（XP,yP\CXQ,yQy由

y=kx+t

y=1x2

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得石—fcx—t=0,

于是=一方3即t=-1xp%Q.

|%p2+t京p2-1%p%Q|xp(Xp-XQ)

…BCyp+t_Xp_

于是—=一?

BD%+￡/?2+tlxQ2-lxPxQ聲Q(x<?TP)一XQ

eiPCXpBCPC

又因?yàn)?77；=—-，所以三；；=

QDXQBDQD'

因?yàn)镹BCP=