定比分點(diǎn)公式的三大應(yīng)用

0000線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)P（，y（x，y）是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，Pxy）分111222000有向線段所成的比則2xxy有－1）0yxy12201特別地當(dāng)點(diǎn)P內(nèi)分點(diǎn)或者與點(diǎn)P重合時(shí)恒0當(dāng)點(diǎn)P為外分點(diǎn)時(shí)恒01≠－1定比分點(diǎn)公式揭示了直線上點(diǎn)的位置與數(shù)量變化之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系靈活應(yīng)用這個(gè)公式可解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明快，充分展現(xiàn)思維的獨(dú)創(chuàng)性。下面舉例說(shuō)明它在解題中的應(yīng)用。一、用于求解數(shù)值的范圍a+bc例2.已x=a且c證：x,b]。1+c證明：設(shè)A(),B(b),(x是數(shù)軸上的三點(diǎn)是的定比分點(diǎn)，則定比是AB的外分點(diǎn)，則[b]二、用于解決不等式問(wèn)題a例1.已知a，求證：1a證明：設(shè)A(1),()數(shù)軸上的三點(diǎn)分A比1

，則a

PAB內(nèi)分點(diǎn)，

a1ab

在-1與1之間，即

a1ab

定比分點(diǎn)公式的類比推理從定比分點(diǎn)公式的結(jié)構(gòu)形式來(lái)看它與平面幾何中的平行于梯形三角形底邊的截線問(wèn)題立體幾何中的平行于柱錐臺(tái)底面的截面問(wèn)題以及數(shù)列中的通項(xiàng)公式前項(xiàng)和與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系等問(wèn)題，具有很明顯的相似之處。1．平面幾何中的定比分點(diǎn)：命題梯形ABCD的上下底邊長(zhǎng)分別為l若平行于底邊的截線EF梯形的（高）12

分成上、下兩部分之比為

l則長(zhǎng)l=11

(0)。特別地）當(dāng)l=l，條件為一平行四邊形，結(jié)論仍成立；12（2）當(dāng)l=0時(shí)，條件為一三角形，結(jié)論仍成立；1（3）1時(shí)，即可得到梯形的中位線公式。證明：設(shè)BA延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線交于O，由三角形相似可得l由（1）可l1

。依照命題1的推導(dǎo)方法，不難證明出以下命題：命題設(shè)梯ABCD的上下底邊長(zhǎng)分別為l,l，若平行于底邊的截EF把梯形的面積分成上12下兩部分之比為則有EF

l121

（特別當(dāng)l=0梯形退化為一個(gè)三角形時(shí)，結(jié)論為1l

=

21

仍成立2、立體幾何中的定比分點(diǎn)：命題：設(shè)棱臺(tái)的上、下底面積分別為、S，平行于底面的截面的面積為，此截面到上底面距120離與它到下底面距離的比有：S0

11

2

特別地1時(shí)，SS。1證明：將棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐，設(shè)所補(bǔ)的小棱錐的高x，截面到上、下底面的距離分別為h，則由截面性質(zhì)定理可得：

xSx

x

從而有：

00

…………(1)

…………由((2)得

Ｓ０１Ｓ２０

＝

即：

．依照公式2的推導(dǎo)方法，不難證明出以下兩公式：命題2:設(shè)棱臺(tái)的上、下底面積分別為S、S，平行于底面的截面的面積為S，若此截面將棱臺(tái)的120側(cè)面分成的上、下兩部分的面積之比則()0

2

()2)121

2命題2”:設(shè)棱臺(tái)的上下底面積分別是S平行于底面的面積為S若此截面將棱臺(tái)分成的上、120下兩部分的體積比則)0

(S)3)12

3

1mpp注：以上三個(gè)公式，對(duì)于圓臺(tái)也同樣成立．上述三個(gè)“定比分點(diǎn)”公式，形式整齊，結(jié)構(gòu)對(duì)稱，富有美感，便于記憶；而且在求解立體幾何的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用。1mpp3．?dāng)?shù)列中的定比分點(diǎn)：命題3：列，其中aa、a，滿p、mn

,am

apn1

(

。證明：a=a+(p-1)d，a=a+(m-1)da=a+(n-1)dp1m1n1（其中a、d分別是等差數(shù)公差）將a、a、apmn

p中可a

apn1命題3’:列，Ｓ數(shù)和，其中ＳＳＳnp、m、

n滿

p

SSnSnm1

。證明：因?yàn)閚a1

nndd=)n22那么S=An

2

+Bn，即nn

An，所以數(shù)列n

是等差數(shù)列，由命題3，即有

SSnS1

。三、用于求函數(shù)的解析式對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果能夠化為y

m()1(x)

y((x)與y1

2

的形式完全相只須把t(x)看用數(shù)軸上兩點(diǎn)P、P別表示m、n，不妨設(shè)m<n，P點(diǎn)表示，且1122

x)則當(dāng)t(x)>0時(shí)，m<y<n;當(dāng)t(x)=0，y=m;當(dāng)t(x)<0時(shí)，y<m或y>m。1x2例3.已知二次函數(shù)f(x)滿足條件：；(2)對(duì)一切xR，都有x(x)成立，求2f(x)的解析式。本題如果應(yīng)用函數(shù)、根的判別式、基本不等式等知識(shí)來(lái)解題的,程比較繁瑣，有些學(xué)生因?yàn)榫C合能力差，聽(tīng)完講解后仍然似懂非懂，但如果運(yùn)用定比分點(diǎn)公式解題則非常簡(jiǎn)單：

12212122解：x,f(),可設(shè)數(shù)軸