蘇教版選擇性必修第二冊第6章6.1.1空間向量的線性運算學案

第6章空間向量與立體幾何6.1空間向量及其運算6.1.1空間向量的線性運算課程標準1.了解空間向量的概念.2.掌握空間向量的線性運算.1.空間向量的概念在空間,把具有大小和方向的量叫作空間向量.2.空間向量的加、減、數(shù)乘運算及其運算律空間向量的運算加法a+b=+=減法a-b=-=數(shù)乘當λ>0時,λa==λ,當λ=0時,λa=0,當λ<0時,λa==λ線性運算的運算律(1)交換律:a+b=b+a;(2)結合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a;(3)分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R).3.空間向量的幾個概念(1)向量的加法,減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.(2)如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行,記作a∥b.4.向量共線的充要條件(共線向量定理)對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.1.下列說法中正確的是()A.若|a|=|b|,則a,b的長度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,則|a|=|b|C.空間向量的減法滿足結合律D.在四邊形ABCD中,一定有+=【解析】選B.|a|=|b|,說明a與b模長相等,但方向不確定.對于a的相反向量b=-a,故|a|=|b|,從而B正確.只定義加法具有結合律,減法不具有結合律.一般的四邊形不具有+=,只有平行四邊形才能成立.故A,C,D均不正確.2.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列向量與不是相反向量的是()A. B.C. D.【解析】選D.向量的相反向量只有,,,.3.正方體ABCD-A1B1C1D1中,++=()A. B. C. D.【解析】選D.如圖,由題意可得++=++=.4.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,給出以下結論:①+++=0;②+--=0;③-+-=0.其中正確結論的個數(shù)是()A.0 B.2 C.1 D.3【解析】選C.因為-+-=+=+=0.故③正確,同理可得①②不正確.5.化簡2+2+3+3+=________.

【解析】2+2+3+3+=2(+++)+++=0++=0+0=0.答案:06.空間中把所有單位向量的起點移到同一點,這些向量的終點組成什么圖形?【解析】單位向量的長度都相等,起點移到同一點,則終點在以單位向量的長度為半徑的球面上.一、選擇題1.給出以下結論:①兩個空間向量相等,則它們的始點和終點分別相同;②在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有=;③若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p.其中不正確的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.兩個空間向量相等,它們的始點、終點不一定相同,故①不正確;在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有=成立,故②正確;③顯然正確.2.(2022·泰州高二檢測)在空間四邊形OABC中,=a,=b,=c,且=2,則=()A.-13a-23b+c B.-23a-1C.13a+23b-c D.23a+1【解析】選A.因為=2,所以=23.所以=-=-(+23)=-(+23-23)=-13-23+=-13a-23b+3.下列命題中正確的個數(shù)是()①若a與b共線,b與c共線,則a與c共線;②向量a,b,c共面即它們所在的直線共面;③若a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使a=λb.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選A.①中,b=0時,則a與c不一定共線;②中,共面向量的定義是平行于同一平面的向量,表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面;③中,當b=0,a≠0時λ不存在,故①②③均錯.4.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,N是A1B的中點,若=a,=b,=c,則=()A.12(a+b-cB.12(a+b+cC.a+b+12D.a+12(b+c【解析】選B.設AB中點為D,連接CD,DN,則=+=12(a+b+c).二、填空題5.如圖所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,與是________向量(用“相等”“相反”填空),與是__________向量(用“共面”“不共面”填空).

【解析】根據三棱柱的性質,AC∥A'C',AC=A'C',所以與是相反向量,又AB∥A'B',所以與是共面向量.答案:相反共面6.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中點,化簡下列各式:(1)++12=__________;

(2)--=__________.

【解析】(1)++12=+12=;(2)--=-=.答案:(1)(2)7.空間中任意四個點A,B,C,D,則+-=________.

【解析】利用向量運算法則即可得出,+-=++=+=.答案:8.在四面體ABCD中E,F分別為棱AC,BD的中點,化簡:+++=__________.

【解析】原式=(+)+(+)=2+2=2(+)=4.答案:4三、解答題9.如圖,在空間四邊形SABC中,AC,BS為其對角線,O為△ABC的重心,(1)求證:++=0;(2)化簡:+12-32-.【解析】(1)=-13(+),①=-13(+),②=-13(+),③①+②+③得++=0.(2)因為=23×12(+)=13(+),所以+12-32-=(-)+12(-)-32×13(+)=+12(-)-12(+)=0.一、選擇題1.在空間平移△ABC到△A'B'C',連接對應頂點,設=a,=b,=c,M是BC'的中點,N是B'C'的中點,如圖所示,用向量a,b,c表示向量等于()A.a+12b+12c B.12a+12C.a+12b D.1【解析】選D.=12=12=12a.2.已知空間四邊形ABCD,點E,F分別是AB與AD邊上的點,M,N分別是BC與CD邊上的點,若=λ,=λ,=μ,=μ(其中λ≠0,μ≠0),則向量與滿足的關系為()A.= B.∥C.||=|| D.||≠||【解析】選B.-=λ-λ=λ,即=λ.同理=μ.因為μ∥λ,所以∥,即∥.又λ與μ不一定相等,故||不一定等于||.3.如圖,在三棱錐O-ABC中,點P,Q分別是OA,BC的中點,點D為線段PQ上一點且=2,若記=a,=b,=c,則=()A.16a+13b+13c B.13a+1C.13a+16b+13c D.13a+1【解析】選A.=+=12+23=12+23(-)=12+23-23=12+23×12(+)-23×12=16+13+13=16a+13b+4.(多選題)已知空間向量,,,,則下列結論正確的有()A.=+B.-+=C.++=D.=-【解析】選AB.+=,故A正確;-+=++=,故B正確;C,D不正確.二、填空題5.化簡:12(a+2b-3c)+5(23a-12b+23c)-3(a-2b+【解析】原式=12+5×23-3a+(12×2-5×12+3×2)b+-3×12答案:56a+92b-6.如圖,四面體ABCD的每條棱長都等于2,點E,F分別為棱AB,AD的中點,則|+|=________;

|-|=________.

【解析】取BD的中點H,連接AH,CH,因為四面體ABCD的每條棱長都等于2,點E,F分別為棱AB,AD的中點,所以AH⊥BD,CH⊥BD,所以AH∩CH=H,所以BD⊥平面ACH,因為AC?平面AHC,所以AC⊥BD,過C作CG∥BD使CG=EF,則=,所以AC⊥CG且AC=2,CG=12BD所以|+|=|+|=||=5.因為點E,F分別為棱AB,AD的中點,所以=12,所以|-|==|-|=||=3.答案:53三、解答題7.(2022·無錫高二檢測)如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設=a,=b,=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3)+.【解析】(1)因為P是C1D1的中點,所以=++=a++12=a+c+12=a+c+12b.(2)因為N是BC的中點,所以=++=-a+b+12=-a+b+12=-a+b+12c.(3)因為M是AA1的中點,所以=+=12+=-12a+a+c+12b=12a+1又=+=12+=12+=12c+a,所以+=12a+12b+c+a+12c8.空間