高等數(shù)學(xué)(東北大學(xué)出版社)第1-5章和第8-10章習(xí)題和復(fù)習(xí)題習(xí)題與講解1316

第1-5章和第8-10章習(xí)題和復(fù)習(xí)題參考答案第1章函數(shù)、極限與連續(xù)習(xí)題1.1⒈下列各組函數(shù)，哪些是同一函數(shù)，哪些不是？yx與y=x33yx與y=x2是同一函數(shù)（2）（1）是同一函數(shù)x12y2lnx與y=lnx2不是同一函數(shù)（3）yx1與y=不是同一函數(shù)（4）x1⒉指出下列函數(shù)的定義域.（1）f(x)3x4的定義域是[,)（2）f(x)ln11x的定義域是(,1)43（3）f(x)ln(x21)的定義域是(,2][2,)（4）f(x)arcsin(lxn)的定義域是[1,e]e（5）若f(x)的定義域是[4,4]，則f(x2)的定義域是[2,2]（6）若f(x)的定義域是[0,3a]，則f(xa)f(xa)的定義域是[a,2a]3.判別下列函數(shù)的奇偶性.（1）fxxsinx是奇函數(shù)（2）fxxcosx是奇函數(shù)（3）fxx2x是非奇非偶函數(shù)（4）1x是奇函數(shù)1xfxlgsinx（5）fxcos(sin)x是偶函數(shù)（6）fx是偶函數(shù)xcosx（7）fxln(x21x)是奇函數(shù)（8）fx是偶函數(shù)1x2⒋下列函數(shù)哪些在其定義域內(nèi)是單調(diào)的.（1）ysinx在其定義域內(nèi)不是單調(diào)的（2）yarcsinx在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的（3）yx2x在其定義域內(nèi)不是單調(diào)的yeax在其定義域內(nèi)是單調(diào)的，其中（4）a0時，yeax在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，a0時，時，yeax在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的5.下列函數(shù)在給定區(qū)間中哪個區(qū)間上有界.a0（1）y1在區(qū)間(1,)上有界x（2）yln(2x1)在區(qū)間(1,10)上有界（3）yx3在區(qū)間(3,4)上有界（4）ysinx在區(qū)間(,0),(,),(1,1)上分別有界6.下列函數(shù)哪些是周期函數(shù)，如果是求其最小正周期.2（1）ysin3x是周期函數(shù)，最小正周期是3（2）ycosx是周期函數(shù)，最小正周期是（3）ytan2x是周期函數(shù)，最小正周期是2（4）yln(cosx2)是周期函數(shù)，最小正周期是7.下列各對函數(shù)中，哪些可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù).f(u)arcsin2(u),ux2（1）不可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)（2）f(u)ln1(u),usin2x不可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)1（3）f(u)u,uln不可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)2x2（4）f(u)arccosu,u2x可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)1x28.將下列復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解.（1）對復(fù)合函數(shù)f(x)x23x4的分解結(jié)果是：f(x)u,ux23x4（2）對復(fù)合函數(shù)f(x)e2x3的分解結(jié)果是：f(x)eu,u2x3（3）對復(fù)合函數(shù)f(x)ln(2x3)的分解結(jié)果是：f(x)lnu,u2x3（4）對復(fù)合函數(shù)f(x)arcsin(x1)的分解結(jié)果是：f(x)accsinu,ux19.求函數(shù)值或表達(dá)式.x22x21x2（1）已知函數(shù)f(x),則f(2)0,f(2)-4,f(0)2,f(x2)x1.sinx,x12,則f(1)0,f(),f()0.42（2）已知函數(shù)f(x)0,x1（3）已知函數(shù)f(x)sinx,則f(arcsin1)-1.22（4）已知函數(shù)f(sinx)cos2x，則f(x)12x2,x1,1習(xí)題1.21.用觀察法判斷下列數(shù)列是否有極限，若有，求其極限.31517x:1,,,,,,沒有極限（2）x1有極限，lim10（1）23456nnnnnxsinnx(1)n沒有極限（4）nn有極限，lim[(1)n]0n（3）2n31n1n3n2.分析下列函數(shù)的變化趨勢，求極限（1）lim10（2）lim01xx1x2x2x3（3）limln(x2)（4）lim2x2xx3.圖略，limf(x)不存在x04.下列變量中，哪些是無窮小量，哪些是無窮大量？2x0100x2x0時，是無窮大量是無窮小量（2）x（1）時，（3）x時，x1是無窮小量（4）x時，ex是無窮大量x12n2sinx（5）n時，(1)n（7）xsin1是無窮大量（6）x時，是無窮小量n3xx0時，2x1是無窮小量時，是無窮小量（8）x5.已知函數(shù)f(x)x1，則f(x)在x或x或x的過程中是無(x3)2窮小量，在x3或x3或x3的過程中是無窮大量？1x6.當(dāng)x1時，無窮小與下列無窮小是否同階？是否等價？1x（１）當(dāng)x1時，無窮小與無窮小1x3同階，但不等價11x（２）當(dāng)x1時，無窮小與無窮小(1x2)同階，而且等價2習(xí)題1.3f(x)xlimf(xt)f(x)11.設(shè)函數(shù)，則t2xt0x21,x22.設(shè)函數(shù)f(x)，則limf(x)5,limf(x)5,limf(x)5.x22x1,x2x2x23.求下列各式的極限：x232（1）lim(2x2x5)15（2）limx2x4x213x1lim(12)5（4）lim2x2x2（3）x33x42x0x（5）lim11x21lim(12)n12（6）nnnx2n2222x0x22x211（8）x13lim3x1（7）limxxx1（9）limx(9x213x)1（10）lim2xx11x6xx1（11）lim(x1)10(2x3)10210(3x5)20320xx2ax65a7，則.4.已知limx1x15.lim(x2kxx)2，則k4.x6.求下列極限：（1）limsin5x5（2）limtan2xsinx1sin2x2xx0x0（3）limcosxcos3x4（4）limtan2(xx3)2x2sin(xx)2x0x0（5）limxsin11（6）limxsinx0xsinxxxx0（7）lim2arcsinx2（8）limtanxsinx13x3x32x0x07.求下列極限：（1）lim(14)2xe8（2）lim(12)x1e2xxxx3x3（4）lim(x1)x1e22x12（3）lim()xe3x0x5（5）lim(1lnx)e5（6）lim(1cosx)secxelnxx1x28.用等價無窮小替換計算下列各極限：4x（1）limarctan6x2（2）lim23xe12xx0x0（3）lim1cos2x2（4）limln(12x)2x2e1xx0x0習(xí)題1.4x21x1,x1，則f(x)1.設(shè)函數(shù)f(x)x1在處不連續(xù)．3,x12.指出下列函數(shù)的間斷點，并指明是哪一類間斷點？1（1）函數(shù)f(x)的間斷點有點x1和點x1，它們都是第二類間斷點中的x21無窮間斷點1x0x的間斷點有點，它是第二類間斷點（2）函數(shù)f(x)e（3）函數(shù)f(x)x21的間斷點有點x0x1x0和點，其中點是第二類間斷(x1)xx1點中的無窮間斷點，點是第一類間斷點x21x1（4）函數(shù)f(x),x1的間斷點有點x1，它是第一類間斷點中的0,x1可去間斷點x22,x0（5）函數(shù)f(x)的間斷點有點x0，它是第一類間斷點中的跳2x,x0躍間斷點x24x2,x2（6）函數(shù)f(x)x2的間斷點有點，它是第一類間斷點中的可3,x2去間斷點sinx,x0x3.設(shè)函數(shù)f(x)k,x0k1f(x)，當(dāng)時，函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)xsin11,x0x的.4.求下列極限：（1）limarccosx2x（2）limlgsinx0x224x1（3）limesinx10（4）e2cosxx0limln(1x)lnxln2xx1x4x211（6）limxx1（5）lim2x22x1xx1（7）limlnx1（8）limarctanx4xexex15.（略）6.（略）復(fù)習(xí)題1一、單項選擇題1.下列函數(shù)中（C）是初等函數(shù).0xQ（A）yarcsinx(22)（B）f(x)1xQx20x1（C）yx21（D）f(x)x1x12.下列極限存在的是（B）.limx31（D）limsin1x1x1（A）lim4x（B）x3x1（C）limlnx3xx03.當(dāng)x0時，tan2x與下列（D）不是等價無窮小.（A）tanx2（B）x2（C）sin2x（D）cos2x4.函數(shù)在某點連續(xù)是該函數(shù)在此點有定義的（B）.（A）必要條件（B）充分條件（C）充分必要條件（D）無關(guān)條件sinax5.已知lim2,則常數(shù)（C）.x0ax（A）0（B）1（C）2（D）46.閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)yf(x)在[a,b]上一定是（C）.（A）單調(diào)函數(shù)（B）奇函數(shù)或偶函數(shù)（C）有界函數(shù)（D）周期函數(shù)二、填空題1xx01.設(shè)f(x)，則f(2)4.2x0x2.函數(shù)ycos53x是由簡單函數(shù)yu3,ucosv,v3x復(fù)合而成的.x1,x1x1f(x)3.點是函數(shù)3x,x1的第一類間斷點中的跳躍間斷點.x4.當(dāng)時，函數(shù)y3x是無窮小.2x5.極限=e2lim1.xx6.函數(shù)yln(4x)x1的連續(xù)區(qū)間為.1,4三、計算下列極限x23x3x4x21x32x2不存在1.lim=02.limx2x2114.limx25x6x33.limx12x2x12x28x15x2x116.limx48x15.lim不存在(x2)2x25xxx233x16x127.limx18.lim(3cosx)=0x13xxcosxxx9.lim1cos110.lim1sin2011.limln(1x)112.lim(112)1sin2x2x2x823x0x2lim(12)2x1e132xe314.13.lim(12x)x0xxx1x1e16.lim(x1)xe2lim15.xx1x0x四、綜合題x210x11.函數(shù)f(x)x1x2在點處不連續(xù)，在點處連續(xù)，函數(shù)的圖像x1x1略。exx02.設(shè)函數(shù)則limf(x)=1,在點處連續(xù)。x0f(x)1x0f(x)x0sinxxx0sinkx,x0，當(dāng)k2,a為任意實數(shù)時，f(x)在x0處連續(xù)。5x3.設(shè)函數(shù)f(x)2ax,x054.（略）第2章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題2.11.已知質(zhì)點作直線運動方程為st23，則該質(zhì)點在t5時的瞬時速度為10.f(x)xf(x)表示下列極限:02.用函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)0（1）limf(x2x)f(x)2f(x)limf(xx)f(x)f(x)（2）000002x2x0x0x0（3）limf(xt)f(xt)2f(x)limf(x)f(x)f(x)（4）00000xx0t000t0xx00xx3.利用基本公式1，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）yxe,則yexe1（2）yx3,則y1x4331（3）yx則y1x6（4）yx，則y1x578x6834.求下列曲線在指定點處的切線方程和法線方程：（1）yx31,1在點處的切線方程3xy20，法線方程為x3y40（2）ylnxe,1在點處的切線方程xey0，法線方程為exy1e203處的切線方程6x12y630，法線方程為（3）ycosx在點(,)6212x6y332011yx2上點（6，36）處的切線平行于直線y12x1，(,)5.在曲線處的法線636垂直于直線3xy10x2,0x16.函數(shù)f(x)f(1)x1在點處不可導(dǎo)，因為不存在3x1,x1習(xí)題2.21.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）yxaaxlnxcosxe2的導(dǎo)數(shù)yaxa1axlna1sinxx（2）y2x1xx的導(dǎo)數(shù)yxx312x2x122111122232（3）y(x1)(1)的導(dǎo)數(shù)yxxx（4）y2tanxsecx2的導(dǎo)數(shù)y2sec2xsecxtanx的導(dǎo)數(shù)yexxex3xlna（5）yxex3logx3（6）yxsinxlnx的導(dǎo)數(shù)ysinxlnxxcosxlnxsinx（7）y5sinx的導(dǎo)數(shù)y1cosx51cosx2*10xln10（8）y10x1的導(dǎo)數(shù)y(10x1)210x12.求下列函數(shù)在指定點的導(dǎo)數(shù)：（1）f(x)lnx3cosx2x，則f()25，f()12.2，.（2）f(x)x2sinx，求f(0)f()f(x)x2sinx，則f(0)0，f().2263xx2在橫坐標(biāo)x3處的切線方程為x9y90，法線方程為3.曲線yx227x3y790。習(xí)題2.31.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y2cos(45x)的導(dǎo)數(shù)y10sin(45x)y(2x3)4y8(2x3)3的導(dǎo)數(shù)（2）（3）exy1ex的導(dǎo)數(shù)y21ex2（4）ylntanx的導(dǎo)數(shù)ysin2x（5）ysec22x的導(dǎo)數(shù)y4sec22xtan2x（6）yarccos1的導(dǎo)數(shù)yx1xx214的導(dǎo)數(shù)y(4x2)4x2x（7）y4x2（8）ye2xsin3x的導(dǎo)數(shù)ye2x(2sin2x3cos3x)2.求下列函數(shù)在指定點的導(dǎo)數(shù)：x1（1）y343x，在點處的導(dǎo)數(shù)是-1（2）f(x)ln2x2x2，在x1處的導(dǎo)數(shù)是-131（3）y1ln2x，在xe處的導(dǎo)數(shù)是2ef(x)3.設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）yf(2x1)的導(dǎo)數(shù)y2f(2x1)（2）yxf(x2)的導(dǎo)數(shù)yf(x2)2x2f(x2)習(xí)題2.4dy1.求由下列方程所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù).dxdy2xy（1）x2y2xy1所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dxx2ydyy(exyy)（2）xy2exy20所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dxx(2yexy)dyyyxlnyyy(x)的導(dǎo)數(shù)（3）所確定的隱函數(shù)dxy1yy(x)的導(dǎo)數(shù)dyey（4）y1xey所確定的隱函數(shù)dx1xey2.用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):y(xlnyy)yxyx（1）所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dydxx(ylnxx)（2）y(cosx)sinx的導(dǎo)數(shù)dy(cosx)sinx(cosxlncosx)sinxtanx)dxdy1x的導(dǎo)數(shù)1（3）yxxx2(1lnx)dx（4）yx2(3x)4(x1)5dy(3x)3(x232x73)的導(dǎo)數(shù)dxx2(x1)63.（略）x2yxxyy0ab2221在點(x,y)處的切線方程為104.曲線a2b002習(xí)題2.51.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):（1）yx42x34x1的二階導(dǎo)數(shù)y12x212x（2）ysin(32x)的二階導(dǎo)數(shù)y4sin3(2x)2(1lnx)（3）yxln2x的二階導(dǎo)數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)y4sin(32x)xx12x（4）y的二階導(dǎo)數(shù)y4x2(4x2)24x22.求下列函數(shù)在指定點處的導(dǎo)數(shù)：yarctanx（1）yxcosx，則y(0)0（2），則y(0)0n3.求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù):（1）yxex的n階導(dǎo)數(shù)y(n)(xn)ex，xN*(n1)!，（2）ylnx的n階導(dǎo)數(shù)y(n)(1)n1xN*xn4.已知函數(shù)的(n2)階導(dǎo)數(shù)y(n2)x，則y的n階導(dǎo)數(shù)y(n)2lnxxln3xlnx5.（略）習(xí)題2.61.求下列函數(shù)的微分：（1）yx2sin2x3x4的微分dy(2xsin2x3)dxdy(lnx2xln21)dx（2）yxlnx2x的微分（3）yln1x的微分dy2dx1x1x2的微分dy2xcosxsin2xsin2xdx（4）yxx2（5）ylntan的微分dydxxsinx2exyarctanex的微分dydx1e2x（6）x（7）yxarccosx的微分dy(arccoxs)dx1x2（8）y(exex)3的微分dy3(e3xe3xexex)dx1eyxyxeyyy(x)的微分dydx（9）所確定的隱函數(shù)1xey（10）xy1所確定的隱函數(shù)yy(x)的微分dy1dxx22.下列各括號中填入一個函數(shù)，使各等式成立.1（1）3x2dxd(x3)（2）1x2dxd(arctanx)1（3）2cos2xdxd(sin2x)（4）x1dxd(lnx1)3（5）lnx1dxd(ln2x)（6）2abxdxd(2(abx)2)3bx1（7）x21e2x22xe2x2dxd()dxd()x（8）23.求下列近似值：（1）ln0.90.1（2）cos610.47（3）arctan1.021.58（4）e1.012.754.一正方體的棱長x10米，如果棱長增長0.1米，則此正方體體積增加的精確值為30.3立方米，近似值為30立方米.復(fù)習(xí)題2一、單項選擇題1.函數(shù)yf(x)在點處可導(dǎo)是它在處可微的（C）.xx00（A）充分條件（B）必要條件（C）充分必要條件（D）無關(guān)條件f(x)f(x)的值為（D）.2.設(shè)f/(0)2，則limx0x（A）1（B）2（C）0（D）4k3.下列各式中（為常數(shù)）正確的是（D）.d(xx)xxx1xx（B）d(k)kkk（A）（C）dxdxd(kx)xkx1（D）d(xk)kxk1dxdxlnxx1，則在點x=1處（B）.x1x14.設(shè)函數(shù)fxfx（A）連續(xù)但不可導(dǎo)（B）連續(xù)且f11（C）連續(xù)且f10（D）不連續(xù)5.過曲線yxlnxM上點的切線平行直線0y2xM0，則切點的坐標(biāo)是（D）.(e,1)（A）（1，0）（B）(e,0)（C）（D）(e,e)y(0)6.若y=x(x–1)(x–2)(x–3)，則=（D）.（A）0（B）-1（C）3（D）-67.已知ycosx，則y8=（B）.（A）sinx（B）（C）cosxsinx（D）cosx8.設(shè)函數(shù)yf(x)可微，則當(dāng)x0時，ydy與x相比是（C）.（A）等價無窮?。˙）同階無窮?。–）高階無窮?。―）低階無窮小二、填空題1.若函數(shù)yln3，則y=0.2.設(shè)函數(shù)yx1y(1)，則不存在.3.變速直線運動的運動方程為s(t)t22t，則其加速度為a(t)2.4.曲線yx在點（4,2）處的切線方程是x4y40.5.d(cosx)=sinxdx.6.設(shè)fxxlnxfx2fxe=.0，且，則0三、計算題1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1（1）y2xx2x的導(dǎo)數(shù)y8x312x22x232x（2）yxlnxsinxcosx的導(dǎo)數(shù)ylnxsinxcosx1y3x234x3x2(x21)2（3）的導(dǎo)數(shù)yx12（4）ye2x1的導(dǎo)數(shù)y2e2x1（5）ylncosx的導(dǎo)數(shù)ytanx12x(1x)（6）yarctanx的導(dǎo)數(shù)y11（7）yx2sin1x的導(dǎo)數(shù)y2xsincosxx1x的導(dǎo)數(shù)yx2(1lnx)1（8）yxxdydx：2.求由下列方程所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dyy（1）xya0所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dxx（2）cosxyx所確定的隱函數(shù)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dy1ysin(xy)dxxsin(xy)yy(x)的導(dǎo)數(shù)dyylny（3）yxlny所確定的隱函數(shù)dxyx（4）eyexxy0，則f(0)03.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）ysinaxcosbx的二階導(dǎo)數(shù)ya2sinaxb2cosbxyxexy(x2)ex的二階導(dǎo)數(shù)（2）（3）ysinx2的二階導(dǎo)數(shù)y2cosx24x2sinx22的二階導(dǎo)數(shù)y2(x22)（4）ylnx2(x2)224.求下列函數(shù)的微分：x（1）yx21的微分dydxx21（2）ysinx1x2的微分dy(1x2)cosx2xsinxdx(1x)22ysinlnxdycos(lnx)（3）的微分dxx（4）yexcosx的微分dy(sinxcosx)exdx四、應(yīng)用題1.有一批半徑為1cm的球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層鋼，厚度為0.01cm，則每只球大約需要用銅0.28克x22.某公司生產(chǎn)一種新型游戲程序，假設(shè)能全部售出，收入函數(shù)為R36x,其中x20為公司一天的產(chǎn)量，如果公司每天的產(chǎn)量從250增加到260，則估計公司每天收入的增加量大約是110.第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題3.11.函數(shù)f(x)cosx在[0,2]上滿足羅爾中值定理，滿足羅爾定理結(jié)論中的2.函數(shù)f(x)ln(x1)在[0，1]上，驗證滿足拉格朗日中值定理的條件（略），滿足拉11ln2格朗日中值定理結(jié)論中的123．f(x)2x1,g(x)x2在區(qū)間[-1，2]上滿足柯西中值定理結(jié)論中的y2xx24.已知A(1,1)與B(3,3)是曲線上的兩點，則該曲線上點（2，0）處的切AB線平行于弦.5.（略）6.（略）習(xí)題3.21.求下列極限：(1)limx32x11(2)limexex4x412不存在x23x1x0lnxx2(3)lim0(4)lim0xe3xxxlnxlnsinx1(5)limsinxsinaxa(6)limx0cosaxax11(7)lim()(8)lim()x1lnx2xe12111xx1x0(9)limxcotx1(10)limxx1x02．下列極限可否用洛必塔法則去求，為什么？并用常規(guī)方法求出它們的極限.x0（1）limexexexexx不可用洛必塔法則去求，否則會總是出現(xiàn)的情形，用常規(guī)方法求exex得lim1eexxxxsinx（2）limx不可用洛必塔法則去求，否則會出現(xiàn)等式右端無極限的情形，但并xxsinx1不能得出極限不存在的結(jié)論，用常規(guī)方法求得limxx3.當(dāng)a3,b9時,極限x0sin3xalimb02xx32xcx4.當(dāng)cln2時,極限lim4xcx習(xí)題3.31.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）yln1(x2)在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞增（2）yx4x在區(qū)間(,2)與區(qū)間(2,)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,2)內(nèi)單調(diào)遞減x（3）y在區(qū)間(0,100)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(100,)內(nèi)單調(diào)遞減x100(4)yx在區(qū)間(,2)與區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,1)與區(qū)間1x2(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減（5）yxln(1x)在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞增(6)yx2lnx在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增ee（7）yarctanxx在區(qū)間(,)內(nèi)單調(diào)遞減(8)y2x2lnx在區(qū)間(0,12)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增2（9）4y3x4x3在區(qū)間(,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增y2xx3在區(qū)間(2,6)與區(qū)間(2,)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（10）3(6,0)內(nèi)單調(diào)遞增32.（略）3.（略）4.求下列函數(shù)的極值：23320，極大值有y(0)0（1）y(x1)3x2的極小值有y()525y2xx2的極大值有y(1)1，無極小值（2）22（3）y2x3x的極小值有y()，無極大值433（4）非零常數(shù)c0時，yc(x21)2的極大值有y(0)c，無極小值非零常數(shù)c0時，yc(x21)2的極小值有y(0)c，無極大值（5）yx1x的極大值有y(3)544，無極小值（6）yxe的極小值有y(0)0，極大值有y(2)42xe213y2xx2的極大值有y()（7）22，無極小值1（8）y32x13無極小值，也無極大值(x2)(3x)x2的極大值有y(12)1，無極小值524（9）y（10）y32xx22的極小值有y(0)0與y(2)0，極大值有y(1)15．要造一個長方體無蓋蓄水池，其容積為500立方米.底面為正方形，設(shè)底面與四壁的單位造價相同，則底取10米高取5米時，才能使所用材料最省.a6．將邊長為的正三角形鐵皮剪去三個全等的四邊形（如圖3.9所示），然后將其沿虛線折起，做成一個無蓋正三棱柱盒子.則當(dāng)圖中的xx2aa3取時，該盒子容積最大，求出的最大容積為.354圖3.97.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其固定成本為100元，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加6元，又知該產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q1000100p.則產(chǎn)量為200件時可使利潤最大，最大利潤是300元Q40p8．某個體戶以每條10元的價格購進(jìn)一批牛仔褲，設(shè)此牛仔褲的需求函數(shù)為則該個體戶將銷售價定為每條30元時，才能獲得最大利潤習(xí)題3.4yf(x)1.根據(jù)函數(shù)的圖像xx2x5abx（1）f(x)在點xx、點xx112oxx34與點xx1處改變符號（2）fx()在點xx處有極大值，在點xx處有極小值42（3）（略）圖3.142.討論下列曲線的凹凸性，并求出曲線的拐點：（1）曲線yxlnx在區(qū)間(0,)內(nèi)是凹的，無拐點（2）曲線y2x3x在區(qū)間(,0)3(0,0)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(0,)內(nèi)是凹的，點是曲線y2x3x的拐點3（3）曲線yx35x23x5在區(qū)間(,53)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(5,)內(nèi)是凹的，35250點(,)是曲線yx35x23x5的拐點3275（4）曲線yxx3在區(qū)間(,0)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(0,)內(nèi)是凹的，點(0,0)是曲53的拐點線yxx（5）曲線y2x2x3在區(qū)間(,)內(nèi)是凹的，在區(qū)間(2,)內(nèi)是凸的，點(,)221633327是曲線2y2xx3的拐點（6）曲線yln(1x2)在區(qū)間(,1)與區(qū)間(1,)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(1,1)內(nèi)是凹的，點(1,ln2)與點(1,ln2)都是曲線yln(1x2)的拐點yxex在區(qū)間(,2)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(2,)內(nèi)是凹的，點(2,2)是曲（7）曲線e2yxex線的拐點（8）曲線y13x在區(qū)間(,0)(0,1)內(nèi)是凹的，在區(qū)間(0,)內(nèi)是凸的，點是曲線y13x的拐點1在區(qū)間(,3)與區(qū)間(3,)內(nèi)都是凹的，在區(qū)間（9）曲線y1x233(3,3)內(nèi)是凸的，點(3,3)與點(3,3)都是曲線y的拐點1x21333434yxex1在區(qū)間(,2)內(nèi)是凸的，在區(qū)間(2,)內(nèi)是凹的，點(2,2)（10）曲線eyxex1是曲線的拐點yaxbx2的一個拐點(1,3)，則a的值為3b，的值為3923.已知曲線34.求下列曲線的漸近線：lnx（1）曲線yx沒有水平漸近線，也沒有鉛直漸近線x1（2）曲線ye（3）曲線yy1有水平漸近線，有鉛直漸近線x0x1y0有水平漸近線，有鉛直漸近線x1與x5x24x51（4）曲線yex4有水平漸近線y3，有鉛直漸近線x01(x3)2（5）曲線y有水平漸近線y0，有鉛直漸近線x3lnxy0有水平漸近線，有鉛直漸近線x0x(6)曲線y（7）曲線yexy0有水平漸近線，有鉛直漸近線x11xx(8)曲線y2xarctan沒有水平漸近線，也沒有鉛直漸近線25.（略）習(xí)題3.5x1.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)個單位的總收入為R(x)200x0.01x2，則生產(chǎn)第100個單位產(chǎn)品時的總收入的變化率為1982.某產(chǎn)品的函數(shù)Cq7002q5q(單位：千元)，則：（1）當(dāng)產(chǎn)量為400臺增加到484臺時，總成本的平均變化率約為2.12千元/臺；（2）當(dāng)產(chǎn)量為400臺的邊際成本約為2.13千元/臺。1P3.某產(chǎn)品的銷售量與價格之間的關(guān)系式為Q1p1.假如PQ.則需求彈性為P1銷售價格為，則的值為.P22PQP4.設(shè)某商品的需求量對價格的彈性為2Pln2.則銷售收入RPQ對價P格的彈性為12Pln2.5.求下列曲線的弧微分（1）曲線yx2x的弧微分ds24x4x2dx（2）曲線ycosx的弧微分ds1sin2xdx（3）曲線yln(secx)的弧微分dssecxdxxat2dst4a29b2t2dt（4）曲線的弧微分ybt36.求下列各曲線在給定點處的曲率K和曲率半徑：310510yx3在點（1,1）處的曲率K，曲率半徑R3（1）50（2）ysinx在點(,1)處的曲率，曲率半徑R1K12y4xx2在點（－2，－4）處的曲率K2，曲率半徑R12（3）（4）4x2y24在（0，2）處的曲率K2，曲率半徑R12復(fù)習(xí)題3一、單項選擇題1.f(x)0，f(x)0是函數(shù)yf(x)x0在點處取得極值的（B）.00（A）必要條件（B）充分條件（C）充要條件（D）無關(guān)條件22.設(shè)函數(shù)f(x)(x1)x1f(x)3，則點是的（D）.（A）間斷點（B）可導(dǎo)點（C）駐點（D）極值點3.函數(shù)yxln1(x2)在定義域內(nèi)（A）.（A）無極值（B）極大值為1ln2f(x)（C）極小值為1ln2（D）為單調(diào)減函數(shù)4.函數(shù)yax2b在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)增加，則a,b應(yīng)滿足（B）.（A）a0且b0（B）a0,b可為任意常數(shù)a，b（C）a0且b0（D）無法說清的規(guī)律5.下列曲線在其定義域內(nèi)為上凹的是（D）.（A）yln1(x2)（B）ysin(x22)（C）yarctanx（D）yex6.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上f(x)0,則f(1),f(0),f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小順序是（B）.（A）f(1)f(0)f(1)f(0)（B）f(1)f(1)f(0)f(0)（C）f(1)f(0)f(1)f(0)（D）f(1)f(0)f(1)f(0)二、填空題31.函數(shù)f(x)x32x在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的＝.3x22.極限xlimxex＝0.3.函數(shù)y2xcosx的單調(diào)增加區(qū)間是(,).4.設(shè)yf(x)xyf(x)有極值f(x)，則曲線yf(x)在0在點處可導(dǎo)，且0xf(x)）處的切線方程為yf(x).（，000limax2bx23ba,b5.已知為常數(shù)，，則6.2x1x6.曲線y(x1)3的拐點是（1，0）.三、計算下列極限limsin2xtan3xex1sinx=02.21.limx03x3.limtanxx=2.4.limsinxxcosx1x0x0xsinxsin3x3lnx6.limln(13x2)15.lim0xln(3x)2xx7.limexsinx08.lim(11)1xln(1x)2xx0x1219.limx(ex1)110.lim()x1x2xx四、綜合題1.f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)，則方程f(x)0有3個實根，它們依次在區(qū)間(2,1)、區(qū)間(1,3)及區(qū)間(3,4)內(nèi).323在區(qū)間2.函數(shù)yxx(,0)與區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞2減.3.函數(shù)y2x39x212x3在區(qū)間(,1)與區(qū)間(2,)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減，該函數(shù)有極大值y(1)2，有極小值y(2)1.在區(qū)間上的最大值y(1)2e，最小值y(3)44.函數(shù)yex(x1)[1,3].e35.求函數(shù)yln(x21)的凹向區(qū)間和拐點.曲線yln(x21)在區(qū)間(,0)內(nèi)是凸(0,0)的，在區(qū)間(0,)內(nèi)是凸的，點該曲線的拐點.6.已知點(1,3)為曲線yx3ax2bx14ab的拐點,則的值為-3，的值為-9.第4章不定積分習(xí)題4.11.（略）2.已知F(x)3x24x,且曲線yF(x)過點(1,1),則函數(shù)的表達(dá)式為F(x)x32x22.3.函數(shù)f(x)sinx(0,1)F(x)通過點的積分曲線方程為y2cosx.4.設(shè)曲線過點（－1，2），并且曲線上任意一點處切線的斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，則此曲線的方程為yx21.習(xí)題4.21.求下列不定積分：xxdx4x4C⑵1dx4x4C4x371⑴⑶⑸71021(2x4x3)dxxx3Cx10xdxCln10⑷5542332xx(23x32x)dxC⑹(sec2xcsc2x)dxtanxcotxCln3ln22.寫出下列各式的結(jié)果：d(e2xsinx2)e2xsinx2C1xdx1x2⑵⑴⑶2eex[ex(sinxcosx)]dxex(sinxcosx)C⑷dx1cosx1cosxdxdx3.用直接積分法求下列不定積分：121aexxx(1x)dxxxx4C(2)aedxC2232341lna(1)xxx12()dxx12lnxC1x2(3)31dxx2x2C(4)2x3xxx7x1211x2(1x2)xdx1arctaxnC2(5)dxx24xC(6)x324926xxxcot2xdxxcotxCdxC(8)ln4ln9ln6(2x3x)2(7)cos2xcos2xsinxcosx（9）dxtanxcotxC(10)dxcosxsinxCcos2xsin2x習(xí)題4.31.用第一類換元法求下列積分：20dx1(3x2)21C10103xdxC3ln10sin4xdx1cos4xC3x(3x2)(1)(2)631dx3(12x)C2(3)(4)312x443e2x3dxln(ex2)C2sinxcosxdx(2sinx)C(5)(6)2ex23sinxxdxx21C(7)x21dxarctan(cox)sC(8)1cos2xtandx2lncosxCx(10)22sinexC(9)cosexedxx1(11)xsinxdx2cosxC(12)cosdxsin1C11xxx2lnxlnxarctanxdx1(arctanx)2CdxC(14)1x222x3(13)32.用第二類換元法求下列不定積分：（1）dx13x2ln1(3x)23xC(2)dxx3x2x33x66x6ln1(6x)Cx1(3)dx2x12arctanx1Cxxx1dx2(x1)22(x1)C53(4)2531x1(5)2dxCx2x21x(6)x24x2dx2arcsinx1x4x2C22習(xí)題4.41.用分部積分法求下列積分：xsinxdxsinxxcosxC(1)xexdx(x1)exC(2)(3)xsin2xdx1sin2x1xcos2xC42x2cosxdxx2sinx2xcosx2sinxC(4)(5)ln(x1)dx(x1)ln(x1)xC(lnx)2dxx(lnxlnx2)C(6)(7)(8)2arcsinxdxxarcsinx1x2CecosxdxexxsinxcosxC22.選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笙铝胁欢ǚe分：(1)cosxdx2xsinxcosxCexdx2(x1)exC(2)(3)1xexdx2exC(4)1dx2arctanxCx(1x)復(fù)習(xí)題4一、單項選擇題f(x)a,b1.若函數(shù)在上滿足條件（C），則其原函數(shù)一定存在.（A）單調(diào)（B）有界（C）連續(xù)（D）有有限個間斷點2.若F'()xf(x)，則下列各式中正確的是（B）.F'()xdxf(x)C（B）f(x)dxF(x)C（A）（C）F(x)dxF(x)C（D）f'()xdxF(x)C3.函數(shù)sin4x的一個原函數(shù)是（B）.(A)cos4x(B)1cos4x(C)cos4x(D)1sin4x14444.下列各式正確的是（D）.1arctanxdxC（B）sin(x)dxcos(x)C2（A）(C)1xlnxdx1C(D)cos(x1)dxsin(x1)Cxf(x)lnx5.若的一個原函數(shù)為，則f(x)（D）.1（A）（B）（C）（D）1x2xlnxcosxx6.已知f(x)2x且f(1)2，則f(x)（A）.（A）x21(B)x22(C)(D)1x222x1117.積分f()dx（D）.xx（A）f(1)C（B）f(1)C（C）f(1)C（D）f(1)C2xxxx8.若f(x)dxF(x)C，則f(2x)dx（C）.1（A）F(x)C(B)2F(2x)C(C)2F(2x)C（D）F(2x)C二、填空題f(x)f(x)1.函數(shù)的所有_原函數(shù)_，稱為的不定積分.f(x)dx2sinxcf(x)cosx，則=.2.若223.dlnx2dxlnx2dxf(x)dxx2c，則f(cosx)dcosx=cos2xc.4.設(shè)x1xdx時，為了化去被積函數(shù)中的根式，可作代換x1t35.在求積分.31xf(x2)dxf(x2)C.6.積分27.積分xdxxln1xC.1xexf(x)dx(x1)exC.xf(x)8.已知是的一個原函數(shù)，則三、計算下列不定積分11(x)dxx32x1C1.2x3xx22e2Cedxx2.92xdx1(92x)11C3.4.5.6.1022sin2xcosxdx1sin3xC32lnxdx2lnx1ln2xC2x11sindxcos1Cxx1x27.dxtanxcotxCsin2xcos2xe12xdxexexC8.exx1dxx2arctanxCx2129.x1dx1ln(x21)arctanxC10.x21211.xx12dx2x1(x1)3C312x1dx2x1C12.x1dx13.2x21arccos1Cxxxexdx(x1)exC14.15.xlnxdx1x3lnxx3C1239sinxcosxesinxdxexC16.x2四、應(yīng)用題1.若曲線通過點(e2,3)，且在任一點處的切線的斜率等于該點橫坐標(biāo)的倒數(shù),則該曲線的方程為ylnx1132.設(shè)作直線運動的某一物體的速度為v(t)t2t2s(m/s)，則求該物體的位移3215t與時間的函數(shù)關(guān)系式為stt22ts(m)，其中ss(0)2152第五章定積分及其應(yīng)用00習(xí)題5.11.用定積分表示的由曲線yx22x3與直線x1,x4及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A4(x22x3)dx.12.（略）3.不計算定積分,比較下列各組積分值的大小.(2)1edxedx1xx21xdx1xdx(1)20000lnxdxln2xdx(4)cosxdxsinxdx4444(3)33004.利用定積分估值性質(zhì),估計下列積分值所在的范圍.2x(x2)dx0(1)01exdxe(2)200習(xí)題5.21.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）F(x)xt21dt的導(dǎo)數(shù)F(x)x210sintdtF(x)2sinx2的導(dǎo)數(shù)x(2)F(x)x21t(3)F(x)1t2etdx的導(dǎo)數(shù)F(x)x2exx(4)F(x)x2cos2tdt的導(dǎo)數(shù)F(x)2xcos2x2cos2xx2.求下列函數(shù)的極限：xt(t1)dtxcos2tdt1(2)1(1)limx0lim01(x1)22xx1x(1t1t)dtxarctantdt122(3)lim0x02(4)limx00x2x24303.函數(shù)F(x)xt(t2)dt[1,3]在區(qū)間上的最大值為0，最小值為.4及軸所圍成的曲邊梯形的面積為.4.由曲線yx22x與直線x0,x2x35.已知物體作變速直線運動的速度為v(t)2t2t(m/s),則該物體在前5秒內(nèi)經(jīng)過的575路程為(m).66.求下列定積分的值：(x2x1)dx176(2)111(2xx2)dx2(1)(3)(5)3ln210xln5212dx01x22dx222(4)x101cosxdx2(6)e2edx2e3xx0習(xí)題5.31.用換元積分法計算下列定積分：ee311exdxee251e2x3dx=(2)(1)(3)21x201lnxdx3(4)1324edx22lnx211x1x1x2dx13(6)24x2dx1(5)(7)00dx301x12ln32x1dx62arctan3(8)10x12.利用函數(shù)的奇偶性求得下列定積分：4cos313sinxdx311(x23xsinxcos2x)dx1(1)(2)331x213.用分部積分法計算出下列積分0xexdx1(2)2xcosxdx11(1)(3)20e1ln(x1)dx1(4)x2sinxdx400e21101xarctanxdx2excosxdx(5)42(6)20習(xí)題5.41.求下列曲線圍成平面圖形的面積.1圍成平面圖形的面積為(1)曲線yx2,yx3(2)曲線y1,yx,y2圍成平面圖形的面積為32ln2x(3)曲線ysinx,ycosx,x0,x2圍成平面圖形的面積為22216(4)曲線y4x2,y0圍成平面圖形的面積為3(5)曲線y24x,x2y4圍成平面圖形的面積為364（6）曲線yx2,y(x2)2,y0圍成平面圖形的面積為34(1,1)及它在點處的法線所圍成圖形的面積.2.由直線y0與曲線xy3xy3.求下列平面圖形分別繞軸,軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的立體的體積.(1)曲線y2x1,x0及y0所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的立體的體積為x，繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的立體的體積為3y12(2)曲線y2x,x1,x2y0x及所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的立體的體積為，繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的立體的體積為32625y6r2acos所圍成圖形的面積為a24.曲線.5.已知某產(chǎn)品的的固定成本為1萬元，邊際收益和邊際成本分別為（單位：萬元/百臺）MR(Q)8Q,MC(Q)4Q.4(1)則產(chǎn)量由1百臺增加到5百臺時，總收益增加了20萬元(2)則產(chǎn)量由2百臺增加到5百臺時，總成本增加了14.625萬元？(3)則產(chǎn)量為3.2臺時，總利潤最大；(4)則總利潤最大時的總收益為20.48元、總成本15.08元為和總利潤為5.4萬元.習(xí)題5.51.求下列廣義積分：10exdx1dx(1)(2)發(fā)散x1x0lnxdx發(fā)散(4)(3)dx發(fā)散1x2xesin1dx1xexdx.1(5)1(6)x2x202.由曲線y1(x0),直線x1及x軸所圍成圖形的面積為1.x2復(fù)習(xí)題5一、單項選擇題bf(t)dt]（A）.1.[x0(A)(B)f(b)f(x)