線性代數(shù)第一章

線性代數(shù)第一章第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日本課程的主要內(nèi)容第一章行列式（由解方程組引入行列式概念）第二章矩陣及其運算（矩陣運算與方程組的關(guān)系）第三章解方程組第四章向量組的線性相關(guān)性（向量組相關(guān)與方程組的關(guān)系）第五章二次型（化標(biāo)準(zhǔn)型時與線性方程組的關(guān)系）第六章線性空間與線性變換由于線性代數(shù)這門課程的產(chǎn)生與解多元一次線性方程組有緊密的聯(lián)系，所以我們學(xué)習(xí)線性代數(shù)應(yīng)始終牢記以解線性方程組為主線，以線性方程組理論為重點。第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日總學(xué)時：48答疑時間地點：每周五下午數(shù)學(xué)教研室南一217。作業(yè)：每周交一次，每次全部登記，批該三分之一。第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日一、二階行列式的引入用消元法解二元(一次)線性方程組:§1.1二階與三階行列式(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,兩式相減消去x2,得(a11a22–a12a21)x1=b1a22–b2a12;第一章行列式第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日當(dāng)(a11a22–a12a21)0時,方程組的解為:由方程組(1)的四個系數(shù)確定

定義:

由4(22)個數(shù)排成二行二列(橫排稱行,豎排稱列)的數(shù)表a11a12a21a22(3)(4)則表達式a11a22–a12a21稱為由數(shù)表(4)所確定的二階行列式,并記作(5)類似地,消去x1,得(a11a22–a12a21)x2=b2a11–b1a21;第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日=

a11a22–a12a21即主對角線副對角線二階行列式的計算——對角線法則=

a11a22–a12a21對于二元線性方程組D稱為線性方程組(1)的系數(shù)行列式.若記(1)第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日注意:

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.則該二元線性方程組的解(3)式(3)表示為:第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日例1:解二元線性方程組解:=3–(–4)=70,第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日(7)式稱為由數(shù)表(6)所確定的三階行列式.二、三階行列式定義:設(shè)由9(33)個數(shù)排成3行3列的數(shù)表(7)(6)記列標(biāo)行標(biāo)第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日三階行列式的計算對角線法則第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日說明2.三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).

注意:

紅線上三元素的乘積冠以正號,藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號．說明1.

對角線法則只適用于二階與三階行列式．例2:

計算三階行列式解:

按對角線法則,有D=12(–2)+21(–3)+(–4)(–2)4–(–4)2(–3)–2(–2)(–2)–114=–4–6+32–24–8–4=–14第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日例3:

求解方程解:

方程左端為一個三階行列式,其值為:D=3x2+4x+18–12–2x2–9x

=x2–5x+6

由D=x2–5x+6=0解得:x=2或x=3.第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.是線性代數(shù)中最基本的計算問題之一.對角線法則二階與三階行列式的計算三、小結(jié)第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日§1.2全排列及其逆序數(shù)引例:

用1,2,3三個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個大家熟知的問題,答案是:3!=6.將此問題推廣:把n個不同的元素按先后次序排成一列,共有多少種不同的排法.

定義:

把n個不同的元素排成一列,叫做這n個元素的全排列(或排列).n個不同的元素的所有排列的種數(shù),通常用Pn表示,稱為排列數(shù).

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!一、全排列第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日二、排列的逆序數(shù)

定義:

在一個排列i1

i2···

is

···it

···in中,若數(shù)is>it,則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.例如:排列32514中,我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序.以n個不同的自然數(shù)為例,規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.32514逆序逆序逆序

定義:

一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為:3+1+0+1+0

=

0+1+0+3+1

=

5.例如:排列32514中,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.

第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日§1.3n階行列式的定義一、概念的引入三階行列式說明(1)三階行列式共有6項,即3!項.說明(2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積.說明(3)每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列的三個元素的列下標(biāo)排列的逆序數(shù).第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日例如a13a21a32,將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列,列下標(biāo)排列312的逆序數(shù)為t(312)=1+1=2,偶排列.a13a21a32的前面取+號.例如a11a23a32,將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列,列下標(biāo)排列132的逆序數(shù)為t(132)=0+1=1,奇排列.a11a23a32的前面取–號.其中Σ是對列下標(biāo)的所有排列求和(3!項),t是列下標(biāo)排列p1p2p3的逆序數(shù).第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日二、n階行列式的定義定義:

設(shè)由n2個數(shù)排成一個n行n列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的乘積,并冠以符號(–1)t,得到形如其中p1p2···

pn

為自然數(shù)1,2,···,n的一個排列,t為排列p1p2···

pn的逆序數(shù).的項,所有這n!項的代數(shù)和稱為(由上述數(shù)表構(gòu)成的)n階行列式.第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日記作簡記作det(aij).數(shù)aij稱為行列式det(aij)(第i行第j列)的元素.即

說明1.行列式是一種特定的算式,它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的;說明2.n階行列式是n!項的代數(shù)和;說明3.n階行列式的每項都是位于不同行,不同列n個元素的乘積,的符號為(–1)t;第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日說明4.一階行列式的符號|a|=a,不要與絕對值符號相混淆,一般不使用此符號.例1:計算對角行列式解:

分析.展開式中項的一般形式是從而這個項為零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能p1=4;若p14,則即行列式中非零的項為:(–1)t(4321)

a14a23a32a41即第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日例2:計算上三角行列式解:分析展開式中項的一般形式是所以非零的項只可能是:a11a22