2023版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章函數(shù)提分小專題四-類型三等腰三角形及菱形存在性問題

類型三等腰三角形及菱形存在性問題”兩定一動“型1名師一點(diǎn)通2典例精講3提分訓(xùn)練名師一點(diǎn)通

提煉基本方法典型問題.

點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，3），在x軸上取點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形基本模型（找點(diǎn)）“兩圓”：分別以點(diǎn)A，B為圓心，以線段AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；BA=BC

“一線”：作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB基本方法一（求點(diǎn)的坐標(biāo)）幾何法.

如圖2，當(dāng)BA=BC時(shí)，同理可得點(diǎn)C3和C4的坐標(biāo)分別為（2，0），（6，0）續(xù)表基本方法一（求點(diǎn)的坐標(biāo)）幾何法.

續(xù)表基本方法二（求點(diǎn)的坐標(biāo)）代數(shù)法.

A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），根據(jù)勾股定理可得AB2=13，AC2=m2

-2m

+2，BC2=25-8m

+

m2，然后分情況AB=BC，AB=AC，BC=AC列方程，計(jì)算即可（注意：若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除）續(xù)表典例精講

掌握通性通法如圖1，拋物線y

=x2+5x

+4與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)、直線AC的表達(dá)式及拋物線的對稱軸.（2）如圖2，若點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D使得△BCD為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：方法一，幾何法.存在點(diǎn)D，使△BCD是等腰三角形.第一步：找點(diǎn)（“兩圓一線”）①當(dāng)點(diǎn)B為頂角頂點(diǎn)時(shí)，BD=BC，以B點(diǎn)為圓心，BC為半徑畫圓，與x軸交于點(diǎn)D1，D2.②當(dāng)點(diǎn)C為頂角頂點(diǎn)時(shí)，CD=

CB，以C點(diǎn)為圓心，CB為半徑畫圓，與x軸交于點(diǎn)D3.③當(dāng)點(diǎn)D為頂角頂點(diǎn)時(shí)，DB=

DC，作BC的垂直平分線，與x軸交于點(diǎn)D4.第二步：表線段長度.∵B（-1，0），C（0，4），∴BO=1，CO=4.第三步：建立方程求點(diǎn).第四步：確定存在的點(diǎn).方法二，代數(shù)法，（1）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)，羅列出三角形三個(gè)頂點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及勾股定理，表示出三邊長度（或三邊平方）；（3）分類討論列出方程：①BC2=BD2，②CB2=CD2，③DB2=DC2；（4）解方程，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，并檢驗(yàn)是否符合題意.隨堂筆記拓展提升：點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，使以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上隱去AC，若點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得△COM是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4）如圖4，線段AC上是否存在點(diǎn)G，使得△COG是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．提分訓(xùn)練

方法觸類旁通（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo).（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：存在.由題意知，直線BC的表達(dá)式為y

=

x

-

4，AC=

5，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，m

-4），如答圖1，當(dāng)AC

=

AQ時(shí)，在Rt△AMQ中，AM2+QM2=AQ2，∴（3+m）2

+（m

-4）2