2023版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第五章四邊形1提分小專題十-類型一“弦圖”模型

提分小專題十四邊形模型類型一

“弦圖”模型

1本節(jié)復(fù)習(xí)目標(biāo)2名師一點(diǎn)通3典例精講4提分訓(xùn)練本節(jié)提分小專題復(fù)習(xí)目標(biāo)1.理解三角形和四邊形相關(guān)的概念以及它們之間的關(guān)系，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.2.分析基本圖形的結(jié)構(gòu)特征，總結(jié)基本結(jié)論，積累解決四邊形有關(guān)問題的經(jīng)驗(yàn)，提升思維能力.3.能在較復(fù)雜情境中識(shí)別基本圖形，并運(yùn)用相關(guān)的通性通法解決問題.名師一點(diǎn)通

提煉基本圖形模型“內(nèi)弦圖”模型“外弦圖”模型（一線三垂直模型）基本圖形提煉如圖，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點(diǎn)E，BF⊥CG于點(diǎn)F，CG⊥DH于點(diǎn)G，DH⊥AE于點(diǎn)H如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點(diǎn)，且四邊形EFGH是正方形模型“內(nèi)弦圖”模型“外弦圖”模型（一線三垂直模型）基本圖形提煉△ABE≌△DAH；AE=DH，BE=AH；EH=DH-BE△BEF≌△CFG；BE=CF，BF=CG；BC=BE+CG續(xù)表典例精講

掌握通性通法

2018/第22題1.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE，ACFG，連接EG.若AB=12，BC=16，則△AEG的面積是

．96

2.如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)H，則線段DG，BF，CH之間的數(shù)量關(guān)系為

．

DG=BF+CH

3.如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上一點(diǎn)，AD=BC．（1）如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC，DF，CF，則線段AF，AB，BC之間的數(shù)量關(guān)系滿足：

.AF+AB=BC

3.如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上一點(diǎn)，AD=BC．（2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，延長DC，交線段AE于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)為

.45°點(diǎn)撥：如圖析，作AF⊥AB于點(diǎn)A，使AF=BD，連接DF，CF.通過證明△AFD≌△BDC，推出△FDC是等腰直角三角形，可得∠FCD=45°.易證四邊形AFCE是平行四邊形，可得AE∥FC，從而得出∠APD=∠FCD=45°.4.（2018山西第22題·12分）綜合與實(shí)踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長線上一點(diǎn)，且BE=AB，連接DE，交BC于點(diǎn)M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM.試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系.探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：反思交流：（1）①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么？②試判斷圖1中的點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上.請(qǐng)直接回答，不必證明.（1）解：①依據(jù)1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例（或平行線分線段成比例）.依據(jù)2：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合（或等腰三角形的“三線合一”）.②答：點(diǎn)A在線段GF的垂直平分線上.（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明.判斷一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上的方法有哪些？（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明.分析證明一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上有兩種方法：①根據(jù)線段垂直平分線的定義判斷；②根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理判斷.（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明.思路一：作垂直，證平分.如圖析1，作GH⊥BC于點(diǎn)H.（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明.思路一：取中點(diǎn)，證平分.如圖析2，取CB的中點(diǎn)H，連接GH.（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明.（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明.證明：如答圖1，過點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H.∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長線上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°.∴∠1+∠2=90°.（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明.∵四邊形CEFG為正方形，∴CG=CE，∠GCE=90°.∴∠1+∠3=90°.∴∠2=∠3.∴△GHC≌△CBE.∴HC

=BE.（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC.∵AD=2AB，BE=

AB，∴BC=2BE=2HC.∴HC=BH.∴GH垂直平分BC.∴點(diǎn)G在BC的垂直平分線上.探索發(fā)現(xiàn):（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上.除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上？請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.探索發(fā)現(xiàn):（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上.除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上？請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.解：點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上.證明：方法一，如答圖2，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥FM于點(diǎn)N.∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.一題多解探索發(fā)現(xiàn):（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上.除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上？請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長線上，∴∠CBE=∠ABC=90°.∴四邊形BENM為矩形.∴BM=EN，∠BEN=90°.∴∠1+∠2=90°.探索發(fā)現(xiàn):（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上.除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上？請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.∵四邊形CEFG為正方形，∴EF=EC，∠CEF=90°.∴∠2+∠3=90°.∴∠1=∠3.∵∠CBE=∠ENF=90°，∴△ENF≌△EBC.探索發(fā)現(xiàn):（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上.除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上？請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.∴NE=BE.∴BM=BE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC.∵AD=2AB，AB=BE，∴BC=2BM.∴BM=MC.∴FM垂直平分線段BC.∴點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上.探索發(fā)現(xiàn):（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上.除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上？請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.方法二，如答圖3，過點(diǎn)F作FN⊥BE交BE的延長線于點(diǎn)N，連接FB，F(xiàn)C.∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長線上，∴∠CBE=∠ABC=∠N=90°.∴∠1+∠3

=90°.探索發(fā)現(xiàn):（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上.除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上？請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.∵四邊形CEFG為正方形，∴EC=EF，∠CEF=90°.∴∠1+∠2

=90°.∴∠2

=∠3.∴△ENF≌△CBE.∴NF=BE，NE=BC.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC.探索發(fā)現(xiàn):（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C、點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上.除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上？請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明.提分訓(xùn)練

方法觸類旁通

2020/第22題（2020山西第22題·12分）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB=90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）.延長AE交CE′于點(diǎn)F，連接DE.解：（1）四邊形BE′FE是正方形.理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知∠E′=∠AEB=90°，∠EBE′=90°.又∵∠AEB+∠FEB=180°，∠AEB=90°，∴∠FEB=90°.∴四邊形BE′FE是矩形.由旋轉(zhuǎn)可知BE′=BE，∴四邊形BE′FE是正方形.猜想證明：（1）試判斷四邊形BE′FE的形狀，并說明理由.猜想證明：（2）如圖2，若DA=DE，請(qǐng)猜想線段CF與FE′的數(shù)量關(guān)