2023考研數學大綱

Word第第頁2023考研數學大綱試卷總分為150分，考試時間為180分鐘．

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試．

三、試卷內容結構

高等教學約78%

線性代數約22%

四、試卷題型結構

單項選擇題8小題，每題4分，共32分

填空題6小題，每題4分，共24分

解答題〔包括證明題〕9小題，共94分

高等數學

一、函數、極限、連續(xù)

考試內容

函數的概念及表示法函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性復合函數、反函數、分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數函數關系的建立數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左極限與右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關系無窮小量的性質及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則兩個重要極限：

函數連續(xù)的概念函數間斷點的類型初等函數的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質考試要求

1．理解函數的概念，把握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系．

2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性．

3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念．

4．把握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念．

5．理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系．

6．把握極限的性質及四則運算法則．

7．把握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，把握利用兩個重要極限求極限的方法．

8．理解無窮小量、無窮大量的概念，把握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．

9．理解函數連續(xù)性的概念〔含左連續(xù)與右連續(xù)〕，會判別函數間斷點的類型．

10．了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕，并會應用這些性質．

二、一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念導數的幾何意義和物理意義函數的可導性與連續(xù)性之間的關系平面曲線的切線和法線導數和微分的四則運算基本初等函數的導數復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法高階導數一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達〔L'Hospital〕法則函數單調性的判別函數的極值函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線函數圖形的描繪函數的最大值與最小值弧微分曲率的概念曲率圓與曲率半徑

考試要求

1．理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系．

2．把握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，把握基本初等函數的導數公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的.不變性，會求函數的微分．

3．了解高階導數的概念，會求簡潔函數的高階導數．

4．會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數．

5．理解并會用羅爾〔Rolle〕定理、拉格朗日〔Lagrange〕中值定理和泰勒〔Taylor〕定理，了解并會用柯西(Cauchy〕中值定理．

6．把握用洛必達法則求未定式極限的方法．

7．理解函數的極值概念，把握用導數推斷函數的單調性和求函數極值的方法，把握函數的最大值和最小值的求法及其應用．

8．會用導數推斷函數圖形的凹凸性〔注：在區(qū)間內，設函數具有二階導數．當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的〕，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形．

9．了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．

三、一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式定積分的概念和基本性質定積分中值定理積分上限的函數及其導數牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數、三角函數的有理式和簡潔無理函數的積分反?！矎V義〕積分定積分的應用

考試要求

1．理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念．

2．把握不定積分的基本公式，把握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，把握換元積分法與分部積分法．

3．會求有理函數、三角函數有理式和簡潔無理函數的積分．

4．理解積分上限的函數，會求它的導數，把握牛頓-萊布尼茨公式．

5．了解反常積分的概念，會計算反常積分．

6．把握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量〔平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等〕及函數平均值．

四、多元函數微積分學

考試內容

多元函數的概念二元函數的幾何意義二元函數的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質多元函數的偏導數和全微分多元復合函數、隱函數的求導法二階偏導數多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值二重積分的概念、基本性質和計算考試要求

1．了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義．

2．了解二元函數的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質．

3．了解多元函數偏導數與全微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數．

4．了解多元函數極值和條件極值的概念，把握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡潔多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡潔的應用問題．

5．了解二重積分的概念與基本性質，把握二重積分的計算方法〔直角坐標、極坐標〕．

五、常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念變量可分別的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質及解的結構定理二階常系數齊次線性微分方程高于二階的某些常系數齊次線性微分方程簡潔的二階常系數非齊次線性微分方程微分方程的簡潔應用

考試要求

1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．

2．把握變量可分別的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程．

3．會用降階法解以下形式的微分方程：和．

4．理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理．

5．把握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程．

6．會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程．

7．會用微分方程解決一些簡潔的應用問題．

線性代數

一、行列式

考試內容

行列式的概念和基本性質行列式按行〔列〕綻開定理

考試要求

1．了解行列式的概念，把握行列式的性質．

2．會應用行列式的性質和行列式按行〔列〕綻開定理計算行列式．

二、矩陣

考試內容

矩陣的概念矩陣的線性運算矩陣的乘法方陣的冪方陣乘積的行列式矩陣的轉置逆矩陣的概念和性質矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換初等矩陣的秩矩陣的等價分塊矩陣及其運算

考試要求

1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣和正交矩陣以及它們的性質．

2．把握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質．

3．理解逆矩陣的概念，把握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件．理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣．

4．了解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，把握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．

5．了解分塊矩陣及其運算．

三、向量

考試內容

向量的概念向量的線性組合和線性表示向量組的線性相關與線性無關向量組的極大線性無關組等價向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關系向量的內積線性無關向量組的的正交規(guī)范化方法

考試要求

1．理解維向量、向量的線性組合與線性表示的概念．

2．理解向量組線性相關、線性無關的概念，把握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法．

3．了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩．

4．了解向量組等價的概念，了解矩陣的秩與其行〔列〕向量組的秩的關系．

5．了解內積的概念，把握線性無關向量組正交規(guī)范化的施密特〔Schmidt〕方法．

四、線性方程組

考試內容

線性方程組的克拉默〔Cramer〕法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質和解的結構齊次線性方程組的基礎解系和通解非齊次線性方程組的通解

考試要求

1．會用克拉默法則．

2．理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件．

3．理解齊次線性方程組的基礎解系及通解的概念，把握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法．

4．理解非齊次線性方程組的解的結構及通解的概念．

5．會用初等行變換求解線性方程組

五、矩陣的特征值和特征向量

考試內容

矩陣的特征值和特征向量的概念、性質相像矩陣的概念及性質矩陣可相像對角化的充分必要條件及相像對角矩陣實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相像對角矩陣

考試要求

1．理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，會求矩陣的特征值和特征向量．

2．理解相像矩陣的概念、性質及矩陣可相像對角化的充分必要條件，會將矩陣化為相像對角矩陣．

3．理解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質．

六、二次型