2023屆福建省龍巖市上杭縣高三上學(xué)期暑期考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

上杭縣2022—2023學(xué)年高三月考數(shù)學(xué)試題

(第I卷，選擇題部分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=｛可'('?)—。｝,則AUB二()

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,2]D.[1,2]

-J2八R)的值域是(

2.函數(shù)/(%)=)

A(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]

3.已知命題P：玉w{x[l<x<2},x-a>Q,若是真命題，則實數(shù)”的取值范圍是

()

A.a<lB.a>2C.a<2D.a>2

4.函數(shù)〃力=(x-1)111國的圖象可能是()

5.函數(shù)f(x)=2*+3x的零點所在的一個區(qū)間是

A.(-2,-1)B.(-1,0)

1201920202021

6.已知a=In----1----h=\nH---c--=-In-----+則a,b,c的

202020202021202120222022

大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

7.“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污.某

鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為上立方米.已知污染源以每天「

個單位污染河水，某一時段r(單位：天)河水污染質(zhì)量指數(shù)為相。)(每立方米河水所含

的污染物)滿足加+七(加。為初始質(zhì)量指數(shù))，經(jīng)測算，河道蓄水量是

K

每天進出水量的80倍.若從現(xiàn)在開始關(guān)閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%,

需要的時間大約是(參考數(shù)據(jù)：lnK)x2.3O)()

A.1個月B.3個月C.半年D.1年

8.蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林(Co/山林7"4〃用?)研究出了著名的Maclaurin級數(shù)展開式，受

到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認可，下面是麥克勞林建立的其中一個公式：

ln(l+x)=x-y+y-^+-.+(-irl^-+-)試根據(jù)此公式估計下面代數(shù)式

3+半+竽《+…+(-1廠'"匚+…525)的近似值為()(可能用到數(shù)值

]n2.414=0.881,ln3.414=1.23)

A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2

分.

9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.〃x)=2閔B./(%)=%2C./(x)=x_■-D.

〃x)=2-2

10.下列說法中正確的有()

A.若。<bv0,則

B若人>0,則

ab

c.Vxe(0,+oo),加恒成立”是“加V2”的充分不必要條件

X

D.若a>0,b>0,a+8=1,則工+工的最小值為4

ab

11.對于函數(shù)/(x)=ln-一和g(x)=lnx-ln(2x-l),則下列結(jié)論中正確為()

A.設(shè)的定義域為M,g(x)的定義域為N,則NGM.

B.函數(shù)g(x)的圖像在％=1處的切線斜率為0.

C.函數(shù)/(X)的單調(diào)減區(qū)間是(一8,0),

D.函數(shù)“X)的圖像關(guān)于點弓,Tn2]對稱.

12.已知函數(shù)f(x)=<*'(e為自然對數(shù)的底)，若F(x)=/(x)+/(-x)

/(x-l),x>0

且尸(x)有四個零點，則實數(shù)機的取值可以為

A.1B.eC.2eD.3e

(第II卷，非選擇題部分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若函數(shù)/(力=x]n(x+Ja+f)偶函數(shù),則。=---.

14.已知函數(shù)"x)=4x+」一.若存在xe(2,”)，使得"x)W4"-2"成立，則實數(shù)。

x—2

的取值范圍是.

15.定義在R上的函數(shù)“X)滿足以下兩個性質(zhì)：①/(—x)+/(x)=0,②

f(l+x)=f(2-x),滿足①②的一個函數(shù)是.

16.定義在R上函數(shù)“X)滿足/(x+l)=g/(x),且當xe[0,l)時，

/(X)=1-|2X-1|.若對任意工€卜%—8),都有/(工)<￡；■,則加的取值范圍是

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.如圖，直棱柱ABC—A旦G的底面AABC中，CA=CB=1,NACB=90°,棱然=2,

如圖，以C為原點，分別以C4,CB,CG為x，y，z軸建立空間直角坐標系

(1)求平面Aqc的法向量；

(2)求直線AC與平面ASC夾角的正弦值.

18.已知，(x)=e"-以一1.

(1)當a=2時，討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Ax)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求”的取值范圍.

19.今年年初，我市某醫(yī)院計劃從3名醫(yī)生、5名護士中隨機選派4人參加湖北新冠肺炎疫

情狙擊戰(zhàn).

(1)求選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率；

(2)設(shè)選派的4人中醫(yī)生人數(shù)為X,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

20.如圖，邊長為2的正方形ABC。所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是CO上

異于C,。的點.

(1)證明：平面平面8MC;

(2)當三棱錐M—ABC體積最大時，求面與面MCO所成二面角的正弦值.

21.最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結(jié)果為成功或不成功，且試驗成功的概率為〃(0<〃<1).

現(xiàn)對該產(chǎn)品進行獨立重復(fù)試驗，若試驗成功，試驗結(jié)束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最

多試驗10次.記X為試驗結(jié)束時所進行的試驗次數(shù)，且每次試驗的成本為。(。>0)元.

(1)①寫出X的分布列；

②證明：E(X)<%

(2)某公司意向投資該產(chǎn)品.若“=().25,且試驗成功則獲利5a元，則該公司如何決策投

資，并說明理由.

22.已知函數(shù)/(x)=e*+(a-l)x,g(x)=or+sinx+cosx

(1)求函數(shù)/(X)最值；

IT

(2)令〃(x)=/(x)-g(x),求函數(shù)〃(x)在區(qū)間(-7,+8)上的零點個數(shù)，并說明理由.

上杭一中2022—2023學(xué)年高三月考數(shù)學(xué)試題

（第I卷，選擇題部分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4={加'（*一2）4°bB={X]-1-1},則4U8=（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,2]D.[1,2]

【答案】C

【解析】

【分析】解出集合A，進而根據(jù)交集定義解得答案即可.

【詳解】由題意，A=[0,2],則Au8=[—1,2].

故選：C.

2.函數(shù)/（%）=一二（xeR）的值域是（）

1+x

A.（0,1）B,（0,1]C.[0,1）D.[0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】本題首先可令，=1+/，然后將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=L最后利用反比

1+x-t

例函數(shù)性質(zhì)得出當fe[l,+8）時函數(shù)y的值域，即可得出結(jié)果.

【詳解】令"1+》2,貝也e[l,+oo）,

因為函數(shù)y在口,+8）上單調(diào)遞減，

所以當fe[l,+8）時函數(shù)丁=；的值域為（0』，

則函數(shù)/（x）=3~E（xeR）值域為（0,1],

故選：B.

【點睛】本題考查函數(shù)值域的求法，考查通過換元法求函數(shù)值域，考查反比例函數(shù)的性質(zhì),

考查推理能力，是簡單題.

3.已知命題。：3xe{x|l<x<2},%-?>（）,若力是真命題，則實數(shù)“的取值范圍是

()

A.a<\B.a>2C.a<2D.a>2

【答案】D

【解析】

【分析】先求出命題。為真命題時”的取值范圍，則可求出命題?為假命題的范圍，即可選

出答案.

【詳解】若命題〃為真命題則，3xe{x|l<x<2},侖。，即a<2.

又土是真命題，即命題P為假命題，即a22.

故選：D.

4.函數(shù)/(x)=(x-l)lnW的圖象可能是()

【解析】

【分析】由題意，去掉絕對值，變函數(shù)為分段函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可得答案.

/、/X1If(x-l)lnxx>0

【詳解】由函數(shù)“X=x—llnx=';

、'、711[(x-l)ln(-x)x<0

y_]1

當x>0時，/'(x)=lnx+------=lnx+1——，易知y=7'(x)單調(diào)遞增，

XX

且/'(1)=0,可得下表:

X(Q1)1(1,+8)

/'(X)

—04-

“X)極小值7

則/(x)極小=川)=°，

Y-111

當x<0時，/'(x)=ln(-x)+---=In(-x)+1--,令g(x)=ln(-x)+1——,

XXX

g，(x)」+4=W，令g'(x)=O,解得x=-l,可得下表:

XXX

X(-00,-1)-1(TO)

g'(x)—0+

g(x)極小值/

則gOOmin=g(%)極小=g(T)=2>。,即火力>0,則〃X)單調(diào)遞增.

故選：A.

5.函數(shù)f(x)=2*+3x的零點所在的一個區(qū)間是

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：因為函數(shù)f(x)=2，+3x在其定義域內(nèi)是遞增的，那么根據(jù)f(-l>

--3=--<0,f(0)=1+0=1>0,那么函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)的零點的區(qū)間為

22

(-1,0),選B.

考點：本試題主要考查了函數(shù)零點的問題的運用.

點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用零點存在性定理，根據(jù)區(qū)間端點值的乘積小于零，得到函數(shù)

的零點的區(qū)間.

120192020,12021

6.己知。=In-----------1----------b=\nH-----In-----F----則。，b,。的

202020202021202120222022

大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三個數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性進行

比較大小即可.

【詳解】構(gòu)造函數(shù),f（x）=lnx+l—x,/'（x）=g—1=4,當0＜x＜l時，r（x）＞0,

“X）單調(diào)遞增，所以表）＞/（焉）”[康＞

故選：A

7.“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污.某

鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為丫立方米，每天的進出水量為％立方米.已知污染源以每天「

個單位污染河水，某一時段，（單位：天）河水污染質(zhì)量指數(shù)為〃（每立方米河水所含

的污染物）滿足地）=，（%-訃不（加。為初始質(zhì)量指數(shù)），經(jīng)測算，河道蓄水量是

每天進出水量的80倍.若從現(xiàn)在開始關(guān)閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%,

需要的時間大約是（參考數(shù)據(jù)：InlOn2.30）（）

A.1個月B.3個月C.半年D.1年

【答案】C

【解析】

【分析】由題可知：加（/）=初心房'=（）.1〃『化簡得出結(jié)論.

【詳解】由題可知：=80'=。.[/

/利=0.1

=In0.1?_2.30

80

.“#184（天）

要使河水的污染水平下降到初始時的10%,需要的時間大約是半年.

故選：C.

8.蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（。。〃〃詼,“和40研究出了著名Madauri〃級數(shù)展開式,受

到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認可，下面是麥克勞林建立的其中一個公式：

ln（l+x）=x-y+y-^+-+（-lf^+-,試根據(jù)此公式估計下面代數(shù)式

及+半+逑―+…+㈠廣卓1+...（〃25）的近似值為（）（可能用到數(shù)值

In2.414=0.881,ln3.414=1.23）

A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902

【答案】B

【解析】

【分析】

由麥克勞林公式得"1+⑹=0二+迪，+迪/+...+(-1廣回+...，進而可

23453/7

得答案.

【詳解】解：根據(jù)麥克勞林公式得：

ln(l+&卜&二+述/+迪/+…+(一廣電+…,

\,23453v7n

所以ln(l+啦)+2=后+半+半個+…+(-1廣空+…(〃/)

由于ln(l+&)+2?In2.414+2=2.881.

故正+逆+逑/+…+(-l)"T應(yīng)匚+---(rt>5)的近似值為2.881.

353n

故選：B.

【點睛】本題考查數(shù)學(xué)知識遷移與應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是將所求近似代替，是中檔題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2

分.

9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=23B.=C./(x)=x-■-D.

〃x)=2-2

【答案】AD

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性確定正確選項.

【詳解】A選項，〃x)=2國的定義域為R,/(-x)=2H=2H=/(x),為偶函

數(shù).

當%>0時，f(x)=2'為增函數(shù),符合題意.

B選項，“力=/的定義域為{.》。0},當x〉0時，〃月=5為減函數(shù)，不符合題

意.

C選項，=的定義域為{x|x*O},/(-x)=-%+-=-/(%),/(x)為奇函

XX

數(shù)，不符合題意.

D選項，y(x)=2&2的定義域為R,〃_x)=/(x),/(X)為偶函數(shù).

當龍＞0時，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：y(x)=2*+2為增函數(shù)，符合題意.

故選：AD

10.下列說法中正確的有()

A,若a＜0＜0，則敬＞。2

B.若a＞b＞。,則白＞@

ab

C.Vx€(0,-K?),〃恒成立”是“〃Z?2”的充分不必要條件

X

D.若a＞0*＞0,。+》=1,則‘+■的最小值為4

ab

【答案】AD

【解析】

【分析】對于A,B,利用不等式的性質(zhì)可以判斷；

對于C,利用基本不等式及不等式恒成立與最值的關(guān)系，再結(jié)合充要條件即可判斷；

對于D,利用基本不等式及“1”的巧用可以判斷.

【詳解】對于A,因為。＜匕＜0,所以。一匕＜0,

所以必-從=。(。一。)＞0,BPab＞b2,故A正確；

對于B,因為。＞人＞(),所以。匕＞0/+。＞0,匕一。＜0,

所以萬一1=S+a)S-a)＜0,即故B不正確；

abahahab

對于C,VXG(0,+CO),x恒成立等價于［尤+1)＞m,Vx€(0,+oo)

因為x＞0,所以L＞0,所以X+LN2」X?L=2,

xxVx

當且僅當X=L即X=1時，等號成立，

X

所以當％=1時，X+，取得最小值為2,即WW2.

X

所以Vxe(o,4w),“x+’N加恒成立”是“加＜2”的充要條件，故C不正確.

X

對于D,因為。>0/>0,。+/?=1,—>0,—>0,

ab

11/.\fl八ba、C^一.

—+-=(Q+b),一+―=2+—+—22+2、-,一=4,

ab'7[ab)ab\ah

力a1

---

a力2時，等號成立,

所以當a=Z,=L時，，+_L取得最小值為4,故D正確.

2ab

故選：AD

11.對于函數(shù)/(x)=ln——g(x)=lru-ln(2x-l),則下列結(jié)論中正確為()

A.設(shè)〃x)的定義域為"，g(x)的定義域為N,則NG".

B.函數(shù)g(x)的圖像在x=l處的切線斜率為0.

C.函數(shù)“X)的單調(diào)減區(qū)間是(一8,0),(a+s]

D.函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點ln2)對稱.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的切線斜率以及單調(diào)性問題，利用函數(shù)的概念以及性質(zhì)

來研究定義域與對稱性問題.

yY

【詳解】因為/(x)=ln-----,所以------>0,即M2x—1)>0,

解得或x<0,因為g(x)=lnr-ln(2x-l),

fx>0?1

所以L,八，解得犬>一.所以N￡A7.故A正確；

2x-l>02

i2

因為g(x)=lnx：_ln(2x_l),所以g，(x)=--------，

x2x-l

i2

所以g'(l)=,-兩口■=—1,所以g(x)的圖像在X=1

處的切線斜率為-1,故B錯誤;

Y

因為/(X)=In-----=lnx-ln(2x-l),定義域為：

2x—1

{x[x>:曲<0},所以尸==

2x2x-lx(2x-1)

由/'(x)<0有：x>；或x<0,所以函數(shù)/(x)的單調(diào)

遞減區(qū)間是(一8,0),(3，+8)故C正確；

當王+/=：時，/(內(nèi))+/(/)=^^57+111^^

z,4人]1乙421

=In-----------------=In—=-2In2.

4XJX2-2(X,+X2)+14

所以函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(：,Tn2)對稱，故D正確.

故選：ACD.

12.已知函數(shù)f(x)={r'(e為自然對數(shù)的底)，若尸(x)=/(x)+/(-x)

e'(x-l),x>0

且尸(x)有四個零點，則實數(shù)，〃的取值可以為

A.1B.eC.2eD.3e

【答案】CD

【解析】

【分析】首先判斷尸(x)為偶函數(shù)，考慮%>0時，尸(心的解析式和零點個數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)的

幾何意義和數(shù)形結(jié)合思想，即可得到所求加的范圍.

【詳解】解:因為F(x)=/(x)+/(-x),可得尸(x)=—(—x),即尸(x)為偶函數(shù),

由題意可得x>0時，E(x)有兩個零點，

當x>0時，一x<0,f(-^)=ex-2mx+m

即x>0時，F(xiàn)(x)=xex-ex+ex-2mx+m=xex-2mx+m，

由尸(x)=0，可得X。,一2〃1￥+m=0,

由y=xe*,y=加(2%-1)相切，設(shè)切點為1,招')，

y

y=xe'的導(dǎo)數(shù)為y=(x+1)，,可得切線的斜率為(t+l)d,

可得切線的方程為y-k=(f+l)e'(x-t),

由切線經(jīng)過點,可得Td=Q+l)d

解得：f=1或(舍去)，即有切線的斜率為2e,

2

故2nl>2e,：.m>e,

故選：CD.

【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，考查數(shù)形結(jié)合的思

想及計算能力，難度較大.

(第H卷，非選擇題部分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若函數(shù)/(x)=xln(x+Ja+x2)為偶函數(shù),則。='

【答案】1

【解析】

【詳解】試題分析：由函數(shù)/(x)=xIn(x+V?+x2)為偶函數(shù)=>函數(shù)

g(x)=ln(x+yla+x2)為奇函數(shù)，

g(O)=Ina=0=a=1.

考點：函數(shù)的奇偶性.

【方法點晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力、

特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型.首

先利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)/(x)=xln(x+Ja+片)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)

g(x)=ln(x+Ja+d)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，取g(0)=lna=°na=l.

14.已知函數(shù)/(x)=4x+」一.若存在xe(2,4w),使得〃x)W4"-2"成立，則實數(shù)”

的取值范圍是.

【答案】［2,+8)

【解析】

【分析】由題意可得/(X).W4"-2"，利用基本不等式求出/(x)min=12,然后解不等

式1244"一2"可求出”的取值范圍.

【詳解】因為xe(2,+s),所以X—2>(),

所以/(x)=4x+—^=4(x—2)+—^+8

>2J4(x-2)-—+8=12,

Vx-2

當且僅當4(x-2)=」一，即x=』時取等號，

x-22

所以/(X)min=12,

因為存在xe(2,”)，使得了(X)?4"-2"成立，

所以“X)*44"-2。，即12/40—2"，

所以(2"『一2"—1220,即2"4一3(舍去)，或2〃24，

得a22,

所以”的取值范圍為［2,+8),

故答案為：［2,+00)

15.定義在A上的函數(shù)“X)滿足以下兩個性質(zhì)：①/(—x)+/(x)=0,②

/(l+x)=/(2-x),滿足①②的一個函數(shù)是.

TT

【答案】f(x)=sin-x(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)性質(zhì)①②可知，/(X)為奇函數(shù)且函數(shù)圖像關(guān)于x=5對稱，即可得到結(jié)果.

I7T］7T

［詳解］因為/(_x)=sin(_§xj=_sin§x=_/(x),即滿足性質(zhì)①

又因為/(l+x)=sin-|(l+x)=sin\+］x),

/(2-x)=sin[^(2-x)]=sin^-^],且(?)+仁-+卜兀

所以〃l+x)=〃2-x),即滿足性質(zhì)②

JT

故答案為：f(x)=sin-x

16.定義在R上函數(shù)滿足/(x+l)=g〃x),且當xe[O,l)時，

/(x)=l-|2%-l|.若對任意都有/(x)K—，則加的取值范圍是

37

【答案】m>—

8

【解析】

2x,xe[0,-]

2,根據(jù)/(x+l)=，f(x),即/(x)=；f(x—1),依此

【分析】由/(%)=<

2-2x,xe[-,l)2

2

類推，作出函數(shù)/(X)的圖象求解.

【詳解】因為當X€[O,1)時，/(x)=l-|2x-l|,

2X,XG[0,—1

2

所以/(%)=■

2—2x,xw(]』)

因為f(x+l)=；F(x),

當X￡[1,2)時，即X-1￡[0,1)時，

所以丹。-1)+1]=g/a-1),即y(x)=；/a-1),

1311

當工_1￡[0,-],即時，/(x)=-/(x-D=--2(x-l)=x-l,

1311

當X—1￡(Q,1),BPxe[-,2)時，fix)=-/(x-1)=-[2-2(x-1)]=2-X,

X-1,XG[1,—1

2

所以f(x)="

3

2—x,x€(一,2)

12

依此類推，作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示:

由圖象知：f(5)=0,當％..5時,

2643264

當xe(4.5,5)時,/('=3/(%一4)=白［2-2(》一4)］=：(5-工)

101oo

、3

因為對任意工￡［加，+8),都有/(%),,受，

64

則:1(5—加),，3弓，解得：族.3一7，

8648

故答案為：mN—

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.如圖，直棱柱ABC—AgG的底面AABC中，CA=CB=1,NACB=90°,棱A4,=2,

如圖，以C為原點，分別以C4,CB,CG為x，%z軸建立空間直角坐標系

(1)求平面48。的法向量；

(2)求直線AC與平面AMC夾角的正弦值.

【答案】(1)v=(-2,-2,l)；(2)|.

【解析】

【詳解】分析：(I)設(shè)處平面的法向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為0,即可求解平面A8C

的一個法向量；

(2)取出向量5=(1,0,0),利用向量的夾角公式，即可求解直線AC與平面44C所成

角的正弦值.

詳解:(1)由題意可知。(0,0,0),4(1，0,2),4(0,1,2)

故本=(1,0,2),西=(0,1,2)

設(shè)P=(與,貝),zO)為平面48c的法向量，則

v-C\=(jq),yo,zo)(l,O,2)=Ao+2zo=0,

/?西=(%yo，Zo)(O，l，2)=%+2zo=O

/°=一?令20=1,則戶=(一2,-2,1)

[為=-2zo

(2)設(shè)直線AC與平面AAC夾角為氏G4=(1,0,0)

sin”四.也竺民二以二

麗-ix&F'F

點睛:本題考查了平面法向量的求解，以及直線與平面所成的角，著重考查了空間想象能力，

以及推理與運算能力，在高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求

異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)

鍵是轉(zhuǎn)化直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向

量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關(guān)鍵.

18.已知/'(x)=e*-ox-l.

(1)當a=2時，討論Ax)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是(卜2,母)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-co,In2).

(2)(-oo,0].

【解析】

【分析】(1)對/*)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負討論單調(diào)區(qū)間；

(2)/(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，即導(dǎo)函數(shù)/(幻="一。20恒成立，解。的取值范圍即

可.

【小問1詳解】

當a=2時，/(x)=ex-2x-\,定義域xeR.

f\x)=ex-2.

令/'(x)>0,即^一2>0解得：x>ln2；

令/'(x)<0,即"一2<0解得：x<ln2；

.?.當”=2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(ln2,+8),遞減區(qū)間為(一。?！?12).

【小問2詳解】

,//(%)=ex-ax-\,xeRf'(x)=ex-a

/(x)在R上單調(diào)遞增,即f\x)=ex-a>0恒成立,

xeR時exe(0,+oo)

aWO,即a的取值范圍為(-8,0].

19.今年年初，我市某醫(yī)院計劃從3名醫(yī)生、5名護士中隨機選派4人參加湖北新冠肺炎疫

情狙擊戰(zhàn).

(1)求選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率；

(2)設(shè)選派的4人中醫(yī)生人數(shù)為X,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為3.

22

【解析】

分析】(1)分別對“4人中有2名醫(yī)生2名護士”、“4人中有3名醫(yī)生1名護士”記事件，

然后根據(jù)互斥事件以及組合知識，進行求解可得結(jié)果.

(2)列出X的所有可能結(jié)果，并計算相應(yīng)概率，然后列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式，

可得結(jié)果.

【詳解】(1)記選派的4人中至少有2名醫(yī)生為事件A,

記4人中有2名醫(yī)生2名護士為事件A,

記4人中有3名醫(yī)生1名護士為事件&,

且4與人互斥則當事件A發(fā)生時，有4或A2發(fā)生,

所以有尸(A)=P(A+4)=P(A)+P(4).

=i

又…等4P(4)C；14：

311

所以P(A)=?+—=—

7142

故選派的4人中至少有2名醫(yī)生的概率為*

(2)由題意選派的醫(yī)生人數(shù)X可以是0,1,2,3.所以

尸(X=。)系$2Tt

C2C23C3C'1

PCX=2)=P(A,)=皆P(X=3)=P(A)=*=A

，//14

所以，隨機變量X的概率分布表為

X0123

1331

P

147714

故隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為

13313

￡（X）=Ox—+lx-+2x-+3x—

1477142

3

故X的數(shù)學(xué)期望為二.

2

【點睛】本題考查互斥事件的概率以及離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，考查分析能

力以及運算能力，屬中檔題.

20.如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧C0所在平面垂直，”是C￡＞上

異于C，。的點.

（1）證明：平面AMD_1_平面BMC；

（2）當三棱錐A/-ABC體積最大時，求面與面MCO所成二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析

（2）-

5

【解析】

【分析】（1）先證BCJ?平面CMD,得BCLCM,再證CMLMD,進而完成證明.

（2）先建立空間直角坐標系，然后判斷出M的位置，求出平面MAB和平面MCD的法向

量，進而求得平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值.

【詳解】解：（1）由題設(shè)知，平面CM。，平面A8CD,交線為CD因為BC上CD,BCu平面ABCD,

所以8cl.平面CMD,故BC1DM.

因為M為而上異于C,。的點，且OC為直徑，所以。M_LCM.

又BCp|CM=C，所以。例_L平面BMC.

而DMU平面AMD,故平面平面BMC.

（2）以。為坐標原點，次的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z.

當三棱錐M-A8C體積最大時，M為麗的中點.

由題設(shè)得0（0,0,0）,A（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,M（0,1,1）,

AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),^4=(2,0,0)

設(shè)〃=(x,y,z)是平面MAB的法向量，則

n-AM=0,-2.x+y+z=0,

n-AB-0.2y=0.

可取〃=(1,0,2).

DA是平面MCD的法向量，因此

n-DA

cosn,DA=麗

sinn,DA=2f

所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是正.

5

【點睛】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第

二問主要考查建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合，將

幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行求解，考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題.

21.最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結(jié)果為成功或不成功，且試驗成功的概率為〃（0<〃<1）.

現(xiàn)對該產(chǎn)品進行獨立重復(fù)試驗，若試驗成功，試驗結(jié)束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最

多試驗10次.記X為試驗結(jié)束時所進行的試驗次數(shù)，且每次試驗的成本為。（。>0）元.

（1）①寫出X的分布列;

②證明：E(x)<5

(2)某公司意向投資該產(chǎn)品.若p=0.25,且試驗成功則獲利5。元，則該公司如何決策投

資，并說明理由.

【答案】(1)①答案見解析；②證明見解析

(2)應(yīng)該投資，理由見解析

【解析】

【分析】(1)由題意，X=1,2,3,...,1(),

P(X=k)=p(l-p)k~',A:=1,2,???,9,P(X=10)=(1-p)9,列出分布列即可；

列出E(X),乘公比錯位相減法求和S=(1—p)°+2(1-p>+3(1-+…+9(1-p)8,

分析可證明E(x)<q；

(2)由(1)E(X)<-=4,分析即得解

P

【小問1詳解】

①由題意，X=1,2,3,...,10

故p(X=女)=/;(1-水=1,2,…,9,P(X=10)=(1-〃月

分布列如下：

X12345678910

pppd)p(l-pl2p(l-p>3p(l-pLp(i-p?p(l-p>6p(l-p1P(1-P"4

②E(X)=Ml—〃)°+2Ml—")1+3p(l—")2+…+9p(l-“)8+10(1—〃)9,

記S=(l-p)°+2(1-p)'+3(1-p)2+…+9(1-pl,

(1-p)S=(1-p)1+2(1-p)2+3(1-p)3+…+9(1_p)9,

作差可得，

pS=(l-p)°+(l-p)1+(l-p)2H----=-—，

則E(X)=pS+10(1-p)9=H"'+(1-p)9=H"。<-,即證.

ppp

【小問2詳解】

由(1)可知E(X)<，=4,則試驗成本的期望小于4a,又獲利5a大于成