2022-2023學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)四校聯(lián)考高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。2FFF2作的一條漸近線的a2b2CO的左，右焦點，1．設(shè)1，2是坐標(biāo)原點，過點垂線，PF6OPC，則的離心率為（）3322A．B．C．D．12（a＞0，b＞0）的焦點相同，則雙曲線漸近線方程為（）b2x2y2x2y212．已知橢圓a2b2（a＞b＞0）與雙曲線a23yxA．B．y3xD．y2x32yx2C．3．函數(shù)的圖象可是能下列哪一個？（）A．B．C．D．4．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）10311383A．3B．C．D．5．已知向量a(m,1),b(3,m2)，則是的（）3//abmA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件abc2b2c2”的（）a6．設(shè)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不修要條件a，b，c為正數(shù)，則“”是“z112iii（為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)的模為（）7．若復(fù)數(shù)552A．B．4C．2D．8．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbcB．logca＜logcbC．a(chǎn)c＜bcD．ca＞cb2i1ii9．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）zz22A．3B．2C．2D．BC3A60ADBC，，AD，，，點在線段的延長線//AEBE，上，且AB2ABCD5CBE10．在四邊形中，AMME的最大值為（）CDM點在邊所在直線上，則714514A．B．C．D．2430z3i11．已知復(fù)數(shù)，則的虛1iz部為（）1iiA．B．C．D．11iz1iz，則（）12．復(fù)數(shù)z滿足22i22i21i222A．1iB．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。9x1x1的最小值是______.12x13．若，則x11nx的展開式中，各項系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項為__________________.12，x14．在f(x)x15．若冪函數(shù)a的圖象經(jīng)過點，則其單調(diào)遞減區(qū)間為_______．212x1x6x的展開式中2的系數(shù)為__________．16．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為x22t2sin2acosa0y2t；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；2,PMPN52a，求的值.（2）若點P的極坐標(biāo)為，18．（12分）已知f(x)exmx.（1）若曲線ylnx在點(e2,2)處的切線也與曲線yf(x)相切，求實數(shù)m的值；f(x)（2）試討論函數(shù)零點的個數(shù).2xy2C:21ab0O:x2y22xOA與軸正半軸交于點，圓在點a2b2219．（12分）設(shè)橢圓的離心率為，圓22C處的切線被橢圓截得的弦長為．AC（1）求橢圓的方程；PM·PN是否為定值？若為定值，求出該定值；若（2）設(shè)圓上任意一點P處的切線交橢圓于點M,N，試判斷OC是不定值，請說明理由．fxxlnxax21aR20．（12分）已知函數(shù)，.yfxy1xb2處的切線方程為，求，；1,f1ab（1）若曲線在點x12a，求實數(shù)的取值范圍.（2）當(dāng)時，21．（12分）2019年9月26日，攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國慶假期旅游出行趨勢預(yù)測報告》，2018年國慶假日期間，西安共接待游客1692.56萬人次，今年國慶有望超過2000萬人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定：若公司某位導(dǎo)游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬元)，則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗表明，如果公司的優(yōu)秀導(dǎo).已知甲40名，頻數(shù)分布表如下：、乙家旅游公司各有導(dǎo)游統(tǒng)計他們一年內(nèi)旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的[20,30)[30,40)20[40,50)10[10,20)分組2頻數(shù)ba，b（1）求的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？（2）從甲、乙兩家公司旅游總收人在[10,20)(單位：萬元)的導(dǎo)游中，隨機抽取3人進行業(yè)務(wù)培訓(xùn)，設(shè)來自甲公司的人XX數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.y4x222．（10分）心不在y軸上的圓M與直線l，PF，x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線（1）求E的方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動直線l交拋物線C：于點P，點F為C的焦點．圓E．曲線；Qs,tlllll1212E相切于點，過Q且垂直于的直線為，直線，分別與y軸相交于點A，當(dāng)線s的值．B.（2）若直線1與曲線段AB的長度最小時，求參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】aab2P,yab，c，即ybxyaxca的垂線，其方程為bxa2，聯(lián)立方程，求得cFc,0cc設(shè)過點2作，由PF6OP，列出相應(yīng)方程，求出離心率.1【詳解】aab解：不妨設(shè)過點作的垂線，其方程為ybxyxcFc,0，2ybxaa2abaxa2cyxcP,yabcc，解得，c，即b由2a2b2a2ca4a2b2c6PF6OPc2c2c2由，所以有，1ec33ac22a化簡得，所以離心率．故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題．2、A【解析】a3b22a2b2a2b2由題意可得22，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】x2y21(a0,b0)b2y21(a0,b0)x2y21(ab0)x2a2a2依題意橢圓b2a2與雙曲線b22即22的焦點相同，可a2b得：212a212b2，b32a3b3即，∴a3ba3，可得222,b3y2xxa32雙曲線的漸近線方程為：,故選：A．【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A由排除選項;排除選項；由函數(shù)有無數(shù)個零點，排除選項,從而可得結(jié)果.由，可排除選項，可排除選項；由可得，即函數(shù)有無數(shù)本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.4、B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖：12112122323，，消去的三棱錐的體積為2224直三棱柱的體積為V4210∴幾何體的體積33，故選B.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.5、A【解析】向量a（m，1），b（3，m2）a//b3m（m2）mm3230m，即2，，則，或者-1，判斷出即可．【詳解】b（3,m2），a（m，1）解：向量，a//b，則3m（m2）230，m，即m2m3或者-1，m3m3所以是或者m1的充分不必要條件，故選：A．【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】abc解：，，為正數(shù)，當(dāng)a2，b2，c3時，滿足abc，但a2b2c2不成立，即充分性不成立，若a2b2c2，則(ab)22abc2，即(ab)2c2abc22，(ab)2c2，即abc，成立，即必要性成立，即則“abc”是“a2b2c2”的必要不充分條件，故選：B．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7、D【解析】由復(fù)數(shù)的綜合運算求出z，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，然后由模的定義計算模．【詳解】2i1iz12i12iz2i,z51i1i1i，．故選：D．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】1gclga1gclogca,logcb1gc00c1，，而ab0，所以lgalgb，但不試題分析：對于選項A，lgb，lga,logblgblogaclgc,lgalgb，兩邊同乘以能確定lga、lgb的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對于選項B，lgcc1項C，利用yxc一個負(fù)數(shù)lgc改變不等號方向，所以選項B正確;對于選在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到acbc，ycx在上為減函數(shù)易得cacRb，所以D錯誤.所以本題選B.所以C錯誤;對于選項D，利用【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名點師睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比慮利用中間量進行比較.較；若底數(shù)不同,可考9、D【解析】z利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，從而求得z，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】2i1i2iz1i1i1ii1i1i，z2所以z1i，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.10、A【解析】AEBE求出的坐標(biāo)，求出邊CD所EA依題意，如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點的坐標(biāo)，根據(jù)Mx,3x53在直線的方程，設(shè)【詳解】，利用坐標(biāo)表示AM,ME，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，由AB2，AD5，BC3，A60，AA0,0B1,3C4,3D5,0，，，Ex,3，x01因為點在線段CB的延長線上，設(shè)E0AEBE221x0x023解得x01E1,3C4,3D5,0，CD所在直線的方程為y3x53Mx,3x53所在直線上，故設(shè)CD在邊因為點MAMx,3x53ME1x,3x43AMMEx1x3x433x534x226x604x226x60137124x4413x當(dāng)時714AMME4maxA故選：【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.11、C【解析】z3i先將1i，化簡轉(zhuǎn)化為z2i，再得到z2i下結(jié)論.【詳解】3i1iz3i2i1i1i1i已知復(fù)數(shù)，所以z2i，z所以的虛部為-1.故選：C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】利用復(fù)數(shù)模與除法運算即可得到結(jié)果.【詳解】21i21iz1i222i1i1i1i1i222解:，故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】91912xx1x1x1x1x1x1(x1)根據(jù)，利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】9x1且1x19191x1x12xx1，x1x1x1x1x1x1628x2，即，當(dāng)且僅當(dāng)912x時，x1x1取得最小值.時，等號成立.x288故答案為：【點睛】本題考查基本14、15不等式，構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.【解析】n利用展開式各項系數(shù)之和求得的值，由此寫出展開式的通項，令指數(shù)為零求得參數(shù)的值，代入通項計算即可得解.【詳解】1nx264nn6，得，x的展開式各項系數(shù)和為1rx1663r2x所以，的展開式通項為Cr66rTr1xCxr6x，63r0C215.r2，得，因此，展開式中的常數(shù)項為62令故答案為：15.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的計算，涉及二項展開式中各項系數(shù)和的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、(0,)【解析】f(x)析式，再求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解【詳解】(2,1)解：冪函數(shù)f(x)xa的圖象經(jīng)過點2，(2)a1則2，a2解得；x,00,，其中所以f(x)x2；(0,)f(x)所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．(0,)故答案為：．【點睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．16、3【解析】2x分別用1和進行分類討論即可【詳解】1CC215；26第二個因式應(yīng)取含2的項，則x對應(yīng)系數(shù)為：當(dāng)?shù)谝粋€因式取1時，6系數(shù)為：2C112；當(dāng)?shù)谝粋€因式取2x時，第二個因式應(yīng)取含的項，則對應(yīng)x612x1x2C136C2x2故的展開式中的系數(shù)為.66故答案為：3【點睛】本題考查二項式定理中具體項對應(yīng)系數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。xay12a21220xy17、（1），；（2）2.【解析】2sin2acos得2sin2acos，求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參2Cl（1）由tl數(shù)，即求直線的普通方程；2tx222tyl2t'C（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，韋達定理得PMPNttt't',t't''1'la，即可求出的值.1212，點P在直線上，則2【詳解】2sin2acos可得2sin2acos，2（1）由xay12a21，xy22y2ax22即，即xay12a212C曲線的直角坐標(biāo)方程為，x22ty2t20，xyl由直線的參數(shù)方程t（t為參數(shù)），消去得即直線的普通方程為xy20.lP2,0l（Ⅱ）點P的直角坐標(biāo)為，則點P在直線上.x22t2y2tl2tC'（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式t'2322at'4a40，l直線與曲線交于M,N兩點，C322a44a402a10,a12，即.設(shè)點M,N所對應(yīng)的參數(shù)分別為2t,t'，'1tt322a,t't'4a4'1'由韋達定理可得，212a0,t't'0,t't0,t'0,t'0.'121212PMPNt't't't'322a52，l點P在直線上，1212a2.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）m1e2（2）答案不唯一具體見解析【解析】(x,emx)，用不同的方x（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點的坐標(biāo)000式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一eme2x0exe1m，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進而求得1xxe2；00條，從而得到方程組0f(x)emm0，對分三種情況進行一級討論，即，，m0xm（2）對函數(shù)進行求導(dǎo)后得m0，結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理，可得函數(shù)零點情況.【詳解】y21(xe2)解:（1）曲線在點處的切線方程為yx11ylnx(e,2)2ee2，即2.令切線與曲線f(x)exmx(x,emx)y(em)xex0(x1)，x相切于點x0，則切線方程為0000eme2x0exex01x∴0，0me∴1ln(me2)1，22t，則t(1lnt)1，me令記g(t)t(1lnt)g(t)(0,1)g(t)1(1lnt)lnt，(1,)于是，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，g(t)g(1)11tmem1e2.，2∴max，于是f(x)em，x（2）f(1)em10m，1f(0)1m0m0①當(dāng)時，f(x)0()fxR恒成立，在上單調(diào)遞增，且f(x)R∴函數(shù)在上有且僅有一個零點；②當(dāng)時，f(x)ex在R上沒有零點；m0(lnm,)，m0③當(dāng)時，令f(x)0xlnm，則，即函數(shù)的增區(qū)間是f(x)同理，減區(qū)間是(,lnm)，f(x)m(1lnm).∴minf(x)m(1lnm)0f(x)R，在上沒有零點；0me，則?。┤鬽inf(x)exex有且僅有一個零點；me，則ⅱ）若f(x)m(1lnm)0.若me，則ⅲ）minf(2lnm)m22mlnmm(m2lnm)，令h(m)m2lnm，則h(m)12m，h(m)h(m)h(e)0.∴當(dāng)me時，單調(diào)遞增，∴f(2lnm)m22mlnmm(m2lnm)m(e2)0又∵f(0)10，∴f(x)在R上恰有兩個零點，綜上所述，當(dāng)0me時，函數(shù)f(x)沒有零點；當(dāng)m0或me時，函數(shù)f(x)恰有一個零點；當(dāng)me時，f(x)恰有兩個零點.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解切線有關(guān)問題時，一定要明確切點坐標(biāo).以導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，從而得到函數(shù)的零點個數(shù)，此時如果用到零點存在定理，必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個端點值的函數(shù)值相乘小于0，才算完整的解法.xy22119、（1）63；（2）見解析.【解析】（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計算A的坐標(biāo)，計算切線與橢圓交點坐標(biāo)，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公，式得到m,k的關(guān)系，式將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示OMON，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可．【詳解】2知，bc，a2b，2c(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為x2y212b2b2C∴橢圓的方程可設(shè)為.A2，02，2，∴點221在橢圓上，∴2b2b2易求得，a62xy221解得b2363C，∴橢圓的方程為.M2，2，N2，2(Ⅱ)當(dāng)過點P且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線方程為x2，由(Ⅰ)知，O，OM2，2，ON2，2，OMON0，∴OMON.Mx，y，Nx，y當(dāng)過點P且與圓相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為ykxm，O，2112mm22k1k21.22∴，即聯(lián)立直線和橢圓的方程得x22kxm26，4km2412k2m60224kmxx2k21122m26xx2k2112kx24kmx2m260212∴，得.∵OMx，y，ONx，y，1122∴OMONxxyyxxkxmkxm，121212122m22k214km6km2k21m21kxxkmxxm21k2212121k2m64k2m2m22k132k26k262622k21k2223m6202k212k21，∴OMON.OMON.綜上所述，圓上任意一點P處的切線交橢圓于點M，N，都有OC在RtOMN中，由OMP與NOP相似得，OP2PMPN2為定值.【點睛】本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與橢圓位置關(guān)系，考查了向量的坐標(biāo)運算，難度偏難．1a411,b4；（2）20、（1）【解析】11,f1b在直線上，可求得的值；f12a可求得的值，再由(1)對函數(shù)求導(dǎo)，運用(2)由已知可得lnxax2ax0恒成立，構(gòu)造函數(shù)gxlnxax2axa，對函數(shù)求導(dǎo)，討論和0的大小關(guān)系，結(jié)a合單調(diào)性求出最大值即可求得的范圍.【詳解】（1）由題得fxlnx12ax，yfxy12xb與1,f1因為在點相切1a241f11a1bb，∴24所以gx，只需0（2）由fxax3ax1gxlnxaxax22得lnxaxax02，令max1x2ax2ax12axagx2ax2ax1hx，設(shè)1），x（x時為增函數(shù)，所以gx0gxgxg10當(dāng)a0時，，在x1，舍；x1hxgxx1時為增函數(shù)，，所以在h11a04a0時，開口向上，對稱軸為當(dāng)，gxg10所以，舍；h010，當(dāng)a0時，二次函數(shù)hx開口向下，且hx0x,hx0，hx所以在x00,x時有一個零點x0，在時，在時00h11a0即a1hx時，在1,小于零，①當(dāng)gxg10x1時為減函數(shù)，所以gx所以在，符合題意；②當(dāng)h11a0a11,x大于零，0hx時，在即1,xgxg10gx所以在時為增函數(shù)，所以1,，舍.00a綜上所述：實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最小值，屬于中檔題．處理函數(shù)單調(diào)性問題時，注意利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，特別是已知單調(diào)性問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒不小于零，或恒小于零，再分離參數(shù)求解，求函數(shù)最值時分析好單調(diào)性再求極值，從而求出函數(shù)最值．21、（1）a0.01,b5，乙公司影響度高；（2）見解析，EX()2【解析】（1）利用各小矩形的面積和等于1可得a，由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得b，再由總收人不低于40可計出算優(yōu)秀率；（2）易得總收入在[10,20)中甲公司有4人，乙公司有2人，則甲公司的人數(shù)的值可能為1，2，3，再計出算相應(yīng)X取值的概率即可.【詳解】（1）由直方圖知，由頻數(shù)分布表中知：2b2010340(a0.0250.0350.02a)101，解得a0.01，b，解得5.所以，甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：(0.020.01)10100%30%，103100%32.5%40乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：，由于32.5%30%，所以乙公司影響度高.0.0110404人，（2）甲公司旅游總收入在[10,