2023年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：《二次函數(shù)》壓軸題突破練習(xí)題匯編（含答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：《二次函數(shù)》壓軸題突破練習(xí)題匯編

1.某種植基地種植一種蔬菜，它的成本是每千克2元，售價是每千克3元，年銷量為10（萬

千克）.基地準(zhǔn)備拿出一定的資金作綠色開發(fā)，若每年綠色開發(fā)投入的資金為x（萬元），該

種蔬菜的年銷量將是原年銷量的加倍，x與m的關(guān)系如下表：

X（萬元）012345

m11.51.81.91.81.5

（1）猜想機(jī)與x之間的函數(shù)類型是函數(shù)，求出該函數(shù)的表達(dá)式為;

（2）求年利潤嗎（萬元）與綠色開發(fā)投入的資金x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)綠色

開發(fā)投入的資金不低于3萬元，又不超過5萬元時，求此時年利潤叱（萬元）的最大值；（注：

年利潤=銷售總額一成本費一綠色開發(fā)投入的資金）；

（3）若提高種植人員的獎金，發(fā)現(xiàn)又增加一部分年銷量，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：再次增加的年銷量》

（萬千克）與每年提高種植人員的獎金z（萬元）之間滿足），=-Z2+4Z,若基地將投入5

萬元用于綠色開發(fā)和提高種植人員的獎金，應(yīng)怎樣分配這筆資金才能使總年利潤達(dá)到17萬

元且綠色開發(fā)投入大于獎金投入？（夜al.4,結(jié)果精確到0.1萬元）.

2.如圖，拋物線產(chǎn)"?+歷:+2經(jīng)過點A（-l,0）,B（4,0）,交y軸于點C；

（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）；

（2）點D為y軸右側(cè)拋物線上一點，是否存在點D使SAABC=§SAABD?若存在，請求出點D

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）將直線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°,與拋物線交于另一點E,求BE的長.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點，與x軸交于另一點A,對稱

軸x=-2交x軸于點C,直線I過點N（0,-2）,且與x軸平行，過點P作PM0I于點M,0AOB

的面積為2.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)I3MPN=[3BAC時，求P點坐標(biāo)；

(3)①求證PM=PC；

②若點Q坐標(biāo)為(0,2),直接寫出PQ+PC的最小值.

4.已知，關(guān)于x的二次函數(shù)2"(〃>0)的頂點為C,與x軸交于點0、A,關(guān)于x

的一次函數(shù)y=-ax(a>0).

(1)試說明點C在一次函數(shù)的圖象上；

(2)若兩個點(k,〃)、(Ar+2,竺)(七0,±2)都在二次函數(shù)的圖象上，是否存在整數(shù)%,

111_

滿足一+一=??？如果存在，請求出發(fā)的值；如果不存在，請說明理由；

(3)若點E是二次函數(shù)圖象上一動點，E點的橫坐標(biāo)是〃，且-1941,過點E作y軸的平

行線，與一次函數(shù)圖象交于點尸，當(dāng)0<g2時，求線段EF的最大值.

5.己知拋物線>=以2+版一3a(a>0)與x軸交于/(—1,0)、8兩點，與y軸交于點C.

⑴求點B的坐標(biāo)；

(2)「是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點.

①若0/lP8=9O。，且a<3,求點尸縱坐標(biāo)的取值范圍；

②直線以、分別交y軸于點M、N求證：要為定值.

CN

6.已知〃?，n分別是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=a與ax2+hx+c=b的一個根，且m=

72+1.

(1)當(dāng)機(jī)=2,a=-l時，求6與c的值；

⑵用只含字母。，〃的代數(shù)式表示6；

(3)當(dāng)。<0時，函數(shù)y=ox2+6x+c滿足從-4ac=4,b+c>2a,n<--,求a的取值范圍.

7.平面直角坐標(biāo)系X。中，對于任意的三個點工、B、C,給出如下定義：若矩形的任何一

條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且4B,C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點4

B,C的"三點矩形在點/,B,C的所有"三點矩形"中，若存在面積最小的矩形，則稱該

矩形為點4B,C的"最佳三點矩形”.

如圖1,矩形。EFG,矩形〃C"都是點4B,C的"三點矩形"，矩形〃CH是點Z,B,C

的“最佳三點矩形”.

如圖2,已知/(4,1),N(-2,3),點尸On,ri').

(1)①若加=1,〃=4,則點M,N,P的“最佳三點矩形"的周長為,面積為；

②若機(jī)=1,點A/,N,尸的"最佳三點矩形"的面積為24,求〃的值；

(2)若點尸在直線y=-"+4上.

①求點”，N,P的"最佳三點矩形”面積的最小值及此時機(jī)的取值范圍；

②當(dāng)點”，N,P的"最佳三點矩形"為正方形時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)若點P(m,n)在拋物線y="2+bx+c上，且當(dāng)點"，N,P的“最佳三點矩形”面積為

12時，-24〃杉-1或l<m<3,直接寫出拋物線的解析式.

L_

2

1

X-4-3-2-卯23451-4-3-2-l^)_l23

3

8.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/：y=-jx-加經(jīng)過點/(4/n,4),與y軸

交于點、B,拋物線y=-；x2+6x+4經(jīng)過點4交y軸于點C.

(1)求直線/的解析式及拋物線的解析式；

(2)如圖②，點。是線段48上一點(不與4、8兩點重合)，過點Z)作直線EF〃夕軸，交

拋物線于點號交x軸于點尸，若NCEF=NCB4求此時點。的坐標(biāo)；

(3)在(2)的結(jié)論下，若點尸是直線EF上一點，點0是直線/上一點.當(dāng)△R1F絲△以。

時.，直接寫出點P和相應(yīng)的點。的坐標(biāo).

9.創(chuàng)客聯(lián)盟的隊員想用3。打印完成--幅邊長為6米的正方形作品/8C。，設(shè)計圖案如圖

所示（四周陰影是四個全等的矩形，用材料甲打?。恢行膮^(qū)是正方形用材料乙打

?。?在打印厚度保持相同的情況下，兩種材料的消耗成本如下表：

材料甲乙

價格（元/米2）8050

設(shè)矩形的較短邊的長為x米，打印材料的總費用為y元.

（1）初。的長為米（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）求少關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)中心區(qū)的邊長不小于2米時，預(yù)備材料的購買資金2800元夠用嗎？請利用函數(shù)的增

減性來說明理由.

10.綜合與研究

如圖，拋物線尸-7-2x+3與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C點D（m,

0）為線段OA上一個動點（與點A,。不重合），過點D作x軸的垂線與線段AC交于點P,

與拋物線交于點Q,連接BP,與y軸交于點E.

（1）求A,B,C三點的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點D是。A的中點時，求線段PQ的長；

（3）在點D運動的過程中，探究下列問題：

①是否存在一點D,使得PQ+也PC取得最大值？若存在，求此時m的值；若不存在，請

2

說明理由；

②連接CQ,當(dāng)線段PE=CQ時，直接寫出m的值.

11.如圖，矩形ABCO在平面直角坐標(biāo)系中，AO,C。分別在y軸，x軸正半軸上，若S博彩

AOCB=~B02,矩形AOCB的周長為16.

(1)求B點坐標(biāo)；

(2)點D在0C延長線上，設(shè)D點橫坐標(biāo)為d,連BD,將直線DB繞D點逆時針方向旋轉(zhuǎn)

45。交A0于E,交BC于F,連EC,設(shè)E1CDE面積=S,求出S與d的函數(shù)關(guān)系式并注明自變量

d的取值范圍；

(3)在(2)條件下，當(dāng)點E在A0上時，過A作ED的平行線交CB于G,交BD于N,若

BG=2CF,求S的值.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A(-3,0),B(1,0)

兩點，與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式；

(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P,使0ACP的面積最大？若存在，

求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點Q,使團(tuán)BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存

在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

13.已知開口向下的拋物線丫=2乂2-22*+2與y軸的交點為A,頂點為B,對稱軸與x軸的交點

為C,點A與點D關(guān)于對稱軸對稱，直線BD與X軸交于點M,直線AB與直線0D交于點N.

VA

⑴求點D的坐標(biāo).5-

(2)求點M的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示).4-

3-

⑶當(dāng)點在第一象限，且回時，求的值.

NOMB=E)ONAa2-

1~

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

-4-

14.如圖，拋物線y=-a^+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,

-5-

交x軸于點D,已知A(-1,0),C(0,2).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使回PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，

直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

(3)點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當(dāng)點E運動

到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo).

15.已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖象上的點，當(dāng)四邊形

ABCD(A、B、C、D各點依次排列)為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.如

圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+l圖象的其中一個伴侶正方形.

(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+l,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長;

(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=4(k>0),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,點D(2,m)

X

(m<2)在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；

(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c(a/O),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,C、D中的一個

點坐標(biāo)為(3,4).寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標(biāo),寫出符合題意的其

中一條拋物線解析式,并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

.(本小題只需直接寫出答案)

16.如圖1,直線I：y=°x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,-1),拋物線y=；x2+bx+c

42

經(jīng)過點B,與直線I的另一個交點為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式；

(2)點D在拋物線上，DE0/軸交直線I于點E,點F在直線I上，且四邊形DFEG為矩形(如

圖2),設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以

及p的最大值；

(3)將回AOB繞平面內(nèi)某點M旋轉(zhuǎn)90。或180°,得到回AQiBi,點A、0、B的對應(yīng)點分別是

點Ai、。1、Bi.若GlAQiBi的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為"落點”,

請直接寫出"落點"的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180。時點Ai的橫坐標(biāo).

17.如圖，在矩形OABC中，0A=5,AB=4,點D為邊AB上一點，將回BCD沿直線CD折疊,

使點B恰好落在0A邊上的點E處，分別以O(shè)C,0A所在的直線為X軸，y軸建立平面直角

坐標(biāo)系.

(1)求點E坐標(biāo)及經(jīng)過0,D,C三點的拋物線的解析式；

(2)一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長的速度向點B運動，同時動點Q從E

點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當(dāng)點P到達(dá)點B時，兩點同時停止運

動.設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，DP=DQ；

(3)若點N在(2)中的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點

N,使得以M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點的坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

18.如圖，已知拋物線y=：x2+bx+c與直線AB：y=-：x+：相交于點A(l,0)和B(t,|),

2222

直線AB交y軸于點C.

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸;

(2)點D是x軸上的一個動點，連接BD、CD,請問團(tuán)BCD的周長是否存在最小值？若存在，

請求出點D的坐標(biāo)，并求出周長最小值；若不存在，請說明理由.

(3)設(shè)點M是拋物線對稱軸上一點，點N在拋物線上，以點A、B、M、N為頂點的四邊

形是否可能為矩形？若能，請求出點M的坐標(biāo)，若不能，請說明理由.

備用圖

19.二次函數(shù)y=S/+bx+c與一次函數(shù)y=kx-3的圖象都經(jīng)過x軸上的點A(4,0)和y軸上

O

點C(0,-3).

(1)直接寫出b,c,k的值，b=>c=,k=____；

(2)二次函數(shù)與x軸的另一個交點為B,點M(m,0)在線段AB上運動，過點M作x軸

的垂線交直線AC于點D；交拋物線于點P.

①是否存在實數(shù)m,使團(tuán)PCD為直角三角形.若存在、求出m的值；若不存在，請說明理

由；

②當(dāng)0Vm<4時，過D作直線AC的垂線交x軸于點Q,求PD+DQ的最大值.

20.已知：如圖，二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C(1,-2),直線y=kx+m的圖象與該二次函

數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點坐標(biāo)為(3,0),B點在y軸上.點P為線段AB上的一

個動點(點P與點A、B不重合)，過點P且垂直于x軸的直線與這個二次函數(shù)的圖象交于

點E.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,求線段PE的長(用含x的代數(shù)式表示)；

(3)點D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，若以點P、E、D為頂點的三角形

與EIAOB相似，請求出P點的坐標(biāo).

21.綜合與探究

如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點，與y軸交于點C,連

接AC,BC.D為坐標(biāo)平面第四象限內(nèi)一點，且使得E1ABD與回ABC全等.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)請直接寫出點D的坐標(biāo)，并判斷四邊形ACBD的形狀.

(3)如圖2,將回ABD沿y軸的正方形以每秒1個單位長度的速度平移，得到回ABD，，AB

與BC交于點E,AU與AB交于點F.連接EF,ABZ,EF與AB咬于點G.設(shè)運動的時間為t

(0<t<2)秒.

①當(dāng)直線EF經(jīng)過拋物線的頂點T時，請求出此時t的值；

②請直接寫出點G經(jīng)過的路徑的長.

參考答案：

1.（1）二次，機(jī)=-0.1犬+06+1;（2）年利潤叱（萬元）的最大值為16萬元；（3）用于

綠色開發(fā)的資金為3.7萬元，獎金為1.3萬元.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意判斷出函數(shù)解析式的形式，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，可求出機(jī)

與x的二次函數(shù)關(guān)系式.

（2）根據(jù)題意可知叱=（3-2）、10m-》=-/+5》+10；

22

（3）將加代入（2）中的叱=+5x+10,得到W}=-m+5w+10；再將（5-m）代入y=-z+4z,

故y=-（5-加）2+4（5-m）=-m2+6m-5,由于單位利潤為1,所以由增加獎金而增加的利潤就

是--+6加-5,進(jìn)而求出總利潤W-（-OT2+5/M+10）+（-m2+6m-S）-（5-m）=-2m2+12m,即可

得出答案.

【詳解】

解：（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)分析不是一次函數(shù)（不是線性的），也不是反比例函數(shù)"質(zhì)的值不是

常數(shù)），所以選擇二次函數(shù)，設(shè)〃，與X的函數(shù)關(guān)系式為%=&+次+C,

C=1

由題意得：，。+8+。=1.5,

4a+2b+c=L8

fa=-0.1

解得：b=0.6,

[c=\

2

團(tuán)及與x的函數(shù)關(guān)系式為：w=-（）.U+0.6x+1；

故答案為：二次，m=-0.lx2+0.6x+1.

（2）由題意，可知I：^=（3-2）X10W-X=-X2+5X+10；

0?=-1<0,拋物線開口向下，對稱軸為x=￡,

又1334x45,

團(tuán)此時W隨x的增大而減小，故當(dāng)x=3時，叱最大為16萬元；

回叱（萬元）與綠色開發(fā)投入的資金x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：叱=-/+5x+l（）,

當(dāng)綠色開發(fā)投入的資金不低于3萬元，又不超過5萬元時，此時年利潤叱（萬元）的最大

值為16萬元.

（3）設(shè)用于綠色開發(fā)的資金為〃萬元，則用于提高獎金的資金為（5-"）萬元，

將"代入（2）中的叱=-*2+5犬+10,故叱=-〃2+5〃+10；

將（5-"）代入y--z2+4z,故y=-（5-〃y+4（5-=+6〃-5,

設(shè)由增加獎金而增加的利潤為也(萬元)，則嗎=(3-2)尸(5-")=-〃2+7〃-1()；

團(tuán)總利潤lV,=(-rt2+5n+10)+(-n2+7M-10)=-2n2+12〃，

因為要使年利潤達(dá)到17萬元,所以-2使+12〃=17,

整理得2/-⑵+17=0,

解得：n=?3.7n=-~?2.3,

22

又綠色開發(fā)投入大于獎金投入，

回〃=3.7,5-〃=1.3

所以用于綠色開發(fā)的資金為3.7萬元，獎金為1.3萬元.

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并能根據(jù)解析

式分析實際最值是解題的關(guān)鍵.

13

2.(1)y=--x2+~x+2(2)存在，D(1,3)或(2,3)或(5,-3)(3)BE=W

【解析】

【分析】

(1)由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(2)由條件可求得點D到x軸的距離，即可求得D點的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得

D點坐標(biāo)；

(3)由條件可證得BCEIAC,設(shè)直線AC和BE交于點F,過F作FM取軸于點M,則可得BF=BC,

利用平行線分線段成比例可求得F點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BE解析式，聯(lián)立

直線BE和拋物線解析式可求得E點坐標(biāo)，則可求得BE的長.

【詳解】

解：(1)回拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A(-1,0),B(4,0),

a-b+2=0

016a+46+2=0'解得:"

13

回拋物線解析式為：y=-^+^x+2.

(2)由題意可知C(0.2),A(-1,0),B(4,0),

團(tuán)AB=5,OC=2,

0SAABC=~AB*OC=yx5x2=5,

0SAABC=-SAABD,

0SAA8D^x5=^

22

設(shè)D(x,y),

解得：N=3；

i3

當(dāng)y=3時，y=——x2+—x+2=3,

22

解得：尤=1或x=2,

回點D的坐標(biāo)為：（1,3）或（2,3）；

i3

當(dāng)y=-3時，y=——x2+—x+2=-3,

22

解得：x=5或x=-2（舍去）,

團(tuán)點D的坐標(biāo)為:（5,-3）；

綜合上述，點D的坐標(biāo)為：（1,3）或（2,3）或（5,-3）；

(3)0AO=1,0C=2,0B=4,AB=5,

團(tuán)AC=JT+22=26，

AC2+BC2=AB2,

HBABC為直角三角形，BpBC0AC,

00CFB=45°,

0CF=BC=2有,

mAOACnn1石

0——=——，即=}=,

OMCFOM26

解得：OM=2,

oc

0m——=

FM親即焉心

解得：FM=6,

13點F為（2,6）,且B為（4,0）,

設(shè)直線BE解析式為丫=1?<+01,則

（2Z+帆=6任=一3

\AI八，解得解，

[4&+根=0[根=12

團(tuán)直線BE解析式為：y=-3x+12；

聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可得:

y=-3x+12

y=--x2+—x+2，

[22

,,（x-4（x-5

解得：n或q，

[y=o[y=-3

團(tuán)點E坐標(biāo)為：（5,-3）,

0BE=J（5-4）2+（—3）2=V10.

【點睛】

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、勾股定理及其逆定理、平行線

分線段成比例、函數(shù)圖象的交點、等腰直角三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知

識.在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中求得D點的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）

中由條件求得直線BE的解析式是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，特別是

最后一問，有一定的難度.

3.（1）y=^-x2+x；（2）點P坐標(biāo)為（一6+2將，10-45）或（-6-277,10+45/7）；

4

（3）①見解析；②PQ+PC的最小值為4.

【解析】

【分析】

（1）結(jié)合經(jīng)過原點以及頂點和坐標(biāo)軸進(jìn)行計算即可；（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x,^-x2+x）,將

4

P點在y軸左和右分類討論解答.（3）①過點P作PDI3BC于點D,則PD=x+2,DC=^x2+x,

結(jié)合（2）,在RtmPCD中運用勾股定理進(jìn)行計算即可證明；②由①知，PM=PC,當(dāng)Q、P、

M三點共線時，PQ+PC的最小值為PQ+PM的最小值，求出最小值即可.

【詳解】

解：（1）回拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點，且對稱軸為x=-2,

0c=O,0A=4,又團(tuán)AOB的面積為2,

0BC=1,即頂點B的坐標(biāo)為(-2,-1),

0--=-2,=—1,解得a=1,b=l,

2a4。4

回拋物線的解析式為y=9f+x；

4

答圖1

(2)0BC=1,AC=2,

0tan0BAC=^,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,L^+x),如答圖2,當(dāng)點P在y軸右側(cè)，PM=4x2+x-

244

(-2)=-X2+X+2,MN=X,

4

Y1

MN_____=—

2

!3tanl?lMPN=—=2A-2+v+2,即'1-4x+8=0此方程無解；

4

如答圖2,當(dāng)點P在y軸左側(cè)，此時PM」f+x+2,MN=-x,

4

.-xI

MNr---------------——

團(tuán)tan團(tuán)MPN==1。2即無2+12%+8=(),解得玉=—6+2不，Xy=—6—2幣，

PM二x2+x+2

4

則乂=10-4近，%=10+4將，

回點P坐標(biāo)為（-6+2/，10-4近）或（-6-2療，10+4/7）;

(3)①如答圖3,過點P作PDE1BC于點D,則PD=x+2,DC=：d+x,

由(2)知IPM=!f+x+2,在RtlSPCD中，

4

PC2=(x+2)2+(-x2+x)2=—x4+-X3+2X2+4X+4=PM2,

4162

團(tuán)PM二PC；

②由①知，PM=PC,

I3PQ+PC的最小值為PQ+PM的最小值，當(dāng)Q、P、M三點共線時，PQ+PM=QM,

0Q(0,2),

EIQM=QN=4,

0PQ+PC的最小值為4.

【點睛】

本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了求拋物線的解析式以及點坐標(biāo)的確定，難點在于最

小值的確定..

4.⑴見解析；(2)存在.整數(shù)％的值為±4.(3)EF的最大值是4.

【解析】

【分析】

(1)先求出二次函數(shù)夕=。/-2ax=a(x-1)2-a頂點C(1,-a),當(dāng)x=l時，一次函

數(shù)值y=-a所以點C在一次函數(shù)夕=-ax的圖象上；

(2)存在.將點(k,yi)、(.k+2,”)(40,+2)代入二次函數(shù)解析式，用a、k表示出yi、

Y2,因為滿足=把yi、丫2代入整理可得關(guān)于k的方程，解方程檢驗即可求得k的

值.

(3)分兩種情況討論：①當(dāng)-1<A?<0,EF=yE-yF=an2-2an-(-an)=a[n-^-\--a

②當(dāng)OV〃V1時，EF—yF-yE--an-{an2-Tali')+；a

【詳解】

(1)El二次函數(shù)y=ax2-2ax=a(x-1)2-a,

回頂點C(l,-a),

團(tuán)當(dāng)x=l時，一次函數(shù)值y=-a

田點C在一次函數(shù)y=-ax的圖象上；

(2)存在.

回點(鼠”)、a+2,二)(辰0,±2)都在二次函數(shù)的圖象上，

^\yi=ak2-2ak,y2=a(k+2)2-2a(k+2),

111

團(tuán)滿足一+—=7-

必必6a

1I1

ak2-2aka(k+2)2-2a(k+2)6a

整理，得—j—,—+-77；-K=丁，

ak(k—2)ak(k+2)6a

111

團(tuán)------------1--------------——

k(k-2)k(k+2)6

21

0-、--=~,

k2-46

解得％=±4,

經(jīng)檢驗：發(fā)=±4是原方程的根，

回整數(shù)4的值為±4.

(3)團(tuán)點E是二次函數(shù)圖象上一動點，

(n,an2-2an),

團(tuán)所1期軸，廠在一次函數(shù)圖象上，EF(n,-an).

①當(dāng)時，EF—yE-yF—an2-2an-(-an)="(〃—一;a

047>0,

團(tuán)當(dāng)〃=-1時，E/7有最大值，且最大值是2m

又回0VM2,

0O<2tz<4,即斯的最大值是4；

2

②當(dāng)0V〃41時，EF=yF-yE=-an-(an2-2an)=-a+此時E尸的最大值

4

是:

X0O<a<2,

0O<ya4；,即E77的最大值是:；

422

綜上所述，EF的最大值是4.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.⑴8(3,0)：(2)①-24”<-g,②盟■=:

【解析】

【分析】

(1)把A(—1,0)代入拋物線的解析式，可得a、b的關(guān)系，代入取y=0,解方程可得B點坐

標(biāo).

(2)因為P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點.可設(shè)設(shè)P(m,n),且m>0,n<0,

①把P(m,n)代入函數(shù)解析式，得m、n之間的關(guān)系，根據(jù)勾股定理列出算式，求出m、n的

關(guān)系，綜合可得到n與a的關(guān)系，結(jié)合拋物線的頂點坐標(biāo)及n的取值范圍即可確定n的取

值范圍.

②用待定系數(shù)法求直線AP、BP解析式，取x=0求出C、M、N的坐標(biāo)，表示出CM、CN的

長，代入計算即可.

【詳解】

⑴拋物線過A(-l,0)

00=a—b—3a,b=-2a,

令y=0,貝I」ax2-2ax—3a=0

a(x2-2x—3)=0,Ma>0

則3,0)

(2)設(shè)P(m,n),且m>0,n<0,則n=am2?2am—3a=a(m2?2m-3).

①AP2=M+(m+l)2,BP2=n2+(3-m)2,AB2=16.

00APB=9O°,

回AP2+BP2=AB2,即：n2+(m+l)2+n2+(3—m)2=16.

整理后：n2=—m2+2m+3

0n2=——,且n<0,

a

「

0n=--1<0C

a

又拋物線頂點(一1,4a)

04a<--<0,a>y

又回a<3

E]1<a<3

0-1<0,團(tuán)當(dāng)44a<3時，n隨a的增大而增大,

0—2<n<--

3

②將x=0代入y=ax2+bx—3a得：y=—3a

0C(O,-3a)

直線AP過點A(—1,0)、P(m,n)兩點，其解析式為:

y=a(m—3)x+a(m—3),M(0,am—3a)

直線BP過點B(3,0)、P(m,n)兩點,其解析式為：

y=a(m+l)x~3a(m+1),N(0,—3am—3a)

0CM=|—3a—(am—3a)|=|am|

CN=|—3a—(—3am—3a)|=|3am|

【點睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，難度較大，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并能靈活運用知識解決問題.

41

6.(l)b=l,c=l；(2)b=—na；(3)--<tz<--.

【解析】

【分析】

(1)由己知求出n,根據(jù)方程根的定義將加，。的值代入方程即可求解；

(2)根據(jù)方程根的定義將加,〃的值代入方程消去c求解得到4(加一〃2)+雙

再利用m+n=l,消去m,即可求出b只用字母。、〃表示代數(shù)式，

(3)將(2)結(jié)論％=—加代入方程4〃2+人〃+C=6可得c=-w,由/一4ac=a可得

n2a2+4na2=a,繼而可得工=(”+2)2-4,根據(jù)n的取值范圍即可確定a的取值范圍.

a

【詳解】

⑴因為初，〃分別是關(guān)于x的一元二次方程or?+bx+c=a與/+匕x+c=b的一個根,

”,am2+bm-\-c=a①/、

所以V2,,否(*)，

an+bn+c=b②

由m=n+l,m=2得〃=1

把〃=1,〃?=2,代入(*)得，

j-4+2h+c=-l

[~\+b+c=b

(h=\

解得?;

[c=l

⑵由⑴的方程組(*)中①-②，得

2

a(m一〃2)+b(m-n)=a—b9

(m-n)[a(m+n)+b]=a-b9由陽二〃+1,得加-〃=1,

故a{tn+n)+b=a-b,

所以。(2鹿+1)+〃=。-6,

從而h=-na；

⑶把。=-也代入方程組(*)中②，得

c=-na,

由b+c>2a得

-2na>2af

當(dāng)aVO時，n>-lf

由”[得，-l<?<-y,

由/-4ac=〃，且Z?=c=f〃，得

(—na)2-4。?(-nci)=a,

整理得，因為。<0

所以，!="+4〃，

a

即，=<〃+2>_4,

a

由于工在-1加時隨〃的增大而增大，

a2

1?4

所以當(dāng)時、a=--,當(dāng)〃=-5時，a---

EP"—.

【點睛】

本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0,a,b,c為常數(shù))的解.同時考查了從結(jié)論的反

面思考問題的方法和代數(shù)式的變形能力.

7.⑴①18,18；②〃=—1或5；⑵①最小值為12,1<^<|；②點尸的坐標(biāo)為(一|,7)

A123TI13

或|彳,-3|；(3)y=-x+-,^y=--x2+—.

<2)4444

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)題意，易得M、N、P的"最佳三點矩形”的周長和面積②先求出歸“一心|和

的值，再根據(jù)m=l以及M、N、P的“最佳三點矩形"的面積是24,可分析出此矩形

的鄰邊長分別為6、4進(jìn)而求出n的值

(2)①結(jié)合圖形，易得M、N、P的"最佳三點矩形”的面積的最小值，分別將對應(yīng)的值代

入y=-2x+4即可求出m的取值范圍②當(dāng)M、N、P的"最佳三點矩形"為正方形時，易得邊長

為6,將對應(yīng)的值代入y=-2x+4即可求出P點坐標(biāo)

(3)根據(jù)題意畫出圖像，易得拋物線的解析式

【詳解】

解：(1)①如圖，過P做直線AB平行于x軸，過N做直線AC平行于y軸，過M做MB平

行于y軸，分別交于點A(-2,4)、C(-2,1)、B(4,1)

則AC=BM=3,AB=CM=6故周長=(3+6)x2=18,面積=3x6=18

故M、N、P的“最佳三點矩形”的周長和面積分別為18,18；

00M(4,1),N(-2,3)gf|=6"%一%|=2

又13m=1,點M、N、P的"最佳三點矩形”的面積為24

回此矩形的鄰邊長分別為6,4

0n=-l或5

(2)如圖1,

①易得點M、N、P的"最佳三點矩形”的面積的最小值為12；

13

分別將y=3,y=l代入y=-2x+4,可得x分別為:，1

13

結(jié)合圖象可知：-<w<-

22

旗點M、N、P的"最佳三點矩形"為正方形，邊長為6,

37

分別將尸7,尸?3代入y=2x+4,可得不分別為-；，j

37

???點P的坐標(biāo)為(-不,7)或(大,-3)

22

(3)如圖2,1+7g或11=3

4444

【點睛】

此題比較靈活，讀懂題意，畫出圖像求解是解題關(guān)鍵

315

8.(1)y=--x+1,y=--x2-x+4；(2)Z)(-1,—)；(3)尸(-1,1)和0(0,1),

444

或尸(-1,7)和0(-8,7).

【解析】

【分析】

(1)將點/坐標(biāo)代入直線/解析式中，求出加，進(jìn)而求出點力的坐標(biāo)，再代入拋物線解析

式中，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)。點的橫坐標(biāo)為“，且。表示E點的坐標(biāo)，先判斷出四邊形C8OE是平行四邊形，

進(jìn)而求出a的方程求得公

(3)利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，建立方程求解，即可得出結(jié)論.

【詳解】

3

解：(1)由直線/：y=-jx-加經(jīng)過點力(4川，4)

得：-3加-相=4,解得：m=-1

3

???直線/的解析式為：歹=-

4

點4的坐標(biāo)為(-4,4)

:拋物線^=-；/+瓜+4經(jīng)過點4

--X16-4b+4=4,

4

解得：b=T

拋物線的解析式為：y=-^x12*4-.r+4；

3i

(2)設(shè)。點坐標(biāo)為(Q,—〃+1),則E(a,--cr-0+4),

44

1、1

:?DE=--ci~—。+3,

44

■:DE//BC,

：.ZCBA=ZEDA,

?:/CEF=NCBA,

：.ZCEF=ZEDAf

：.CE//DB,

???四邊形C3DE是平行四邊形，

；?DE=BC,

?:B(0,1),C(0,4),

：.BC=4-1=3,

.*?一-ci~—a+3=3,

44

解得，4=0（舍去），或4=-1,

-1,—)；

4

(3)由(2)知，力方=5,點尸(-1,0),

???設(shè)尸(-1,加)，

3

??,直線/的解析式為：》=-^x+1,

3

???設(shè)〈(〃，--〃+1),

4

:△PE4馬APQA全等,且《P是公共邊，

???當(dāng)△為/g/\以。時

：.AQ=AF=59

\'A(-4,4),

???/Q=J("+4『+(-]+l-4)=5,

77=0或〃=8,

當(dāng)n=0時，Q(0,1),

9：PF=PQ,

/.m2=(m-1)2+l,

w=l,

：.P(-1,1),如圖1,

?:PF=PQ,

tn2=z("2-7)2+49,

:?m=l,

：.P(-1,7),如圖2,

綜上，P(-1,1)和。(0,1),或P(-1,7)和。(-8,7).

【點睛】

此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的判定，勾股定理，全等三角

形的性質(zhì)，用方程的思想和分類討論是思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

9.(1)6-2x；(2)y=-120X2+720A+1800；(3)當(dāng)中心區(qū)的邊長不小于2米時，預(yù)備材料

的購買資金2800元夠用.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)解答即可；

(2)利用矩形的面積公式和正方形的面積公式解答即可；

(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)和最值解答即可.

【詳解】

解：(1)AH—GQ—x,AD—6,

：.MQ=6-2x；

故答案為6-2x；

(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=80X4Xx?(6-x)+50X(6-Zx)2=-120xJ+720x+1800；

(3)?.?當(dāng)中心區(qū)的邊長不小于2米時，

A6-2x22,

解得:xW2,

,b720。

23

'：y=-120X+720X+1800,a=-120<0,--=~2X(_12Q)=，

...當(dāng)xW2時，y隨x增大而增大，

所以當(dāng)x=2時，y=2760<2800,

所以當(dāng)中心區(qū)的邊長不小于2米時，預(yù)備材料的購買資金2800元夠用.

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及配方法求最值和正方形的性質(zhì)等知識，正確得出各部分

的邊長是解題關(guān)鍵.

9

10.(1)點A(-3,O)，點B(1,。).點C(。，3);(2)-；(3)①m=-2,

②>n=-\或，〃=.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式即可求出交點坐標(biāo).

(2)根據(jù)D是OA的中點求出D點坐標(biāo)，進(jìn)而求出Q點坐標(biāo)，利用直線AC求出P點坐標(biāo)

即可求解.

(3)①由直線AC和拋物線可知，當(dāng)D為(m,0)時，點P坐標(biāo)為(m.m+3),點Q坐標(biāo)為

(加,-"-2"?+3),即可求出=_3m，pc=-Jim,從而得到PQ+*PC關(guān)于m的二次

函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

②PE=QC有兩種情況，i.當(dāng)四邊形QOEC為平行四邊形時，ii.當(dāng)四邊形QOEC為等腰梯形時，

依據(jù)圖形性質(zhì)分別用m表示出P、E、B坐標(biāo)，根據(jù)點P、E、B三點在一條直線上，即可求

解.

【詳解】

解：(1)在拋物線y--x2-2x+3中，

令L)=O,解得Xl=l,乂2=—3,

團(tuán)點A坐標(biāo)為(一3