人教A版必修5解三角形第二節(jié)-對余弦定理教學片段的課程教學設(shè)計

人教A版修5解三角形第二節(jié)-對余弦定理教學段的課程教學設(shè)計對余弦定理學片段的教設(shè)計常態(tài)課是教師的日常工作，要提高課堂效率，關(guān)鍵在于提高常態(tài)課的實效。常態(tài)課是沒有任何包裝的課這種課雖然比不上那些示范課公開課會有明顯的缺點，甚至是一節(jié)不成功的課，但它原汁原味，樸實無華，給人一種真實感。正因為它真實，才使我們學會反思，發(fā)現(xiàn)缺憾或不足，并進行改進。前段時間筆者聽了同校陳老師的一堂常態(tài)課上課內(nèi)容是余弦定（普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修5解三角形第二節(jié)）一課，發(fā)現(xiàn)常態(tài)課上師生活躍，學生與老師配合自然默契，輕松愉快，是一堂好課。聽后筆者覺得也存在一些缺陷，對其中的一個教學片段：余弦定理引入及證明談談自己的一點看法。一、教片段實錄：提出問題：師請同學們翻到課本P.10看習題1.1A組第2題的（小題.題目是：ABC中a15cm,10cm60.學生通過思考后能用正弦定理求解師：正弦定理我們是怎樣推導的？三角證法的關(guān)鍵點是什么？生角證法的關(guān)鍵是作高線斜三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題師：這是一種化歸的思想能否應用正弦定理很重要的一點是看能否從題設(shè)中知道一組比

c或或sinABsin

接著老師在原題的基礎(chǔ)交與的位置，演變成新的問題拋給了學生，即變式1：ABC中c,bcm,Aa.此問題學生很難用正弦定理求解對學生來說有一定的挑戰(zhàn)性此問題的設(shè)計給學生創(chuàng)設(shè)了很大的思維空間學生思考后覺得比較難解教師提示能用學過的知識解決，前面三角證法的關(guān)鍵點是作高線，這里是否也可以?生通過作高線，CD,垂足為D，ADC和R求出AD、CD與BD，用勾股定理求出BC（）的值，再次讓學生感受三角證法的關(guān)鍵點是作高線然后給出了變式2C中，已c,,A,求.學生基本能順利解決此題ABCCDAB,垂足為D中，AD=bcosA，CD=bsinA故BD=cos，由BC

B2到a

2

cbcosAbsi.簡得a

cosA同理可以證明：b2,caab師生共同分析此表達式的特征：三/

ACCB)CB人教A版修5解三角形第二節(jié)-ACCB)CB角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的積的兩倍.就是余弦定理.點評：這樣的教學設(shè)計優(yōu)點是：基于學生已經(jīng)掌握的解直角三角形和正弦定理從中孕育新知把余弦定理的推導統(tǒng)一到三角證法中來設(shè)計樸素自然能突出以學生為本的教學理念.缺點是：忽視教材，沒有突出向量的證法.教材確指出解這個三角形，就是從量化的角度來研究問題此應該引導學生嘗試對三角形向量等式進行數(shù)量化來探究余弦定理.文[指出：余弦定理源于向量和基于向量，它是“好看又好用”的又一數(shù)學典范.弦定理向量證法的價值量的數(shù)量積是一個重要的工具余弦定理向量證法基于一種新的數(shù)學結(jié)構(gòu)------空間向量.問題的引入：引用荷蘭弗賴登塔爾數(shù)學研究所的一個問題“甲離學校千米，乙離3米，問乙離學校多少千米？”這問題太簡單了，簡直是小學生的問題.過，該問題并沒有說明甲、乙、學校三點是否在一條直線.三點在同一直線上，答案是千米或7千；若不在同一直線上，甲、乙、學校三點可以構(gòu)成直角三角形，問題可以用勾股定理解決；若甲、乙、學校三點不能構(gòu)成直角三角形，就變成已知三角形的“兩邊夾一角”如何確定第三邊的問題，明確地指向余弦定理.問題的提出從樸素的問題出發(fā)，可以讓學生感覺到親切、自然、合理、顯得更有人情味.然后，基于向量運算之上的余弦定理的證明C中（如圖ACCBAB,ABABAC)

C

，

abcosC.同理b

accosa

bcA.這一證法突出了向量在余弦定理證明中的作用但是在學習向量時由于對向量的工具性認識不足對三角形最重要的一個恒等式AB用不到位，/

2222人教A版修5解三角形第二節(jié)-對余弦定理教學段的課程教學設(shè)計2222導致在采用向量證明余弦定理時，不能一下子想到這個方法二、對學片段的改：對教學片段實錄和文[1]中存在的問題，筆者作了如下的改進引入采用文[1]中的引入得到，已知三角形的“兩邊夾一角”如何確定第三邊的問題師：ABC中，已,90.生：由勾股定理，

.師：能否由向量方法證明勾股定理？生：BA，兩邊平CBAC)2BAACAC因為A，所AC，AC師：當90時，又如何a？生：BA，兩邊平CBAC)又因為BAA)cos

BAACAC所以22bccos，222cosA三、科地解讀教材合理地掘、利用教教材是課程的重要資源，是教師教學的重要依據(jù)和學生學習的重要文本.科學地解讀教材合理地挖掘利用教材是每個教師必備的基本功教師只有靜下心來仔細研究教材充分發(fā)揮教材在教學中的引領(lǐng)作用才能提高教學的有效性教材是學術(shù)數(shù)學到教育數(shù)學轉(zhuǎn)化的產(chǎn)物，教師使用教材的過程又是一個吸收和改造的過一節(jié)課教學設(shè)計的是否適合學生，首先取決于教師對整節(jié)課教學內(nèi)容的準確把握.教師只有在認真研讀新課標全面理解全章節(jié)知識的基礎(chǔ)上才能正確地把握整節(jié)課的教學內(nèi)容才能正確組織教學內(nèi)容進行設(shè)計才能明白本節(jié)課重點、難點，學生的疑點是什哪些內(nèi)容不宜放在這一課，哪些知識在本節(jié)課學習比較合理哪些知識適合后續(xù)學習有沒有必要在課堂上引領(lǐng)學生進行探究，習題該怎樣變式，變式的核心是什么，問題的解決還有哪些方法，教學過程中要滲透什么數(shù)學思想方法培養(yǎng)學生什么能力等等些都值得教師深思這要求教師從整體性聯(lián)系性的視角審視教學內(nèi)容應該根據(jù)學生的實際情況去進行教學，使教學設(shè)計不偏離數(shù)學本質(zhì).其實，余弦定理的證明方法很多，如：①三角證法（通過解直角三角形）②利用向量的數(shù)量積證明③利用坐標法證明，證法如下：如圖，建立平面直角坐標系，C(0,0),B(bcosCbC)，根據(jù)兩點距離公式得，(cosC)

2

bsin

2

，即c

cos

CC

C，整理得：

a

cosC.文/

人教A版修5解三角形第二節(jié)-對余弦定理教學段的課程教學設(shè)計[3]介紹了通過正弦定理證明余弦定理和通過射影定理證明余弦定.⑤文[4]介紹了用極坐標證明余弦定理和復數(shù)證明余弦定理等.為了培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣，課后可以引導學生對定理給出新的證明方.教師把握并使用教材是極富主動性、創(chuàng)造性的工作.在具的教學過程中，我們要從學校、學生和自身的實際情況出發(fā)，主動地、合理地對教材進行解讀，引領(lǐng)學生走進教材，要努力形成適合于自己、有益于學生的教學設(shè)計和方.只要我們下真功夫研讀教材，科學、合理、有效地用好教材，學生求知的星星之火定能成燎原之勢四、對態(tài)課的一點思常態(tài)課堂即一種自然真實狀態(tài)下的課堂教學活動是師生在不受其他外界因素干擾下的雙邊教學過程。它是自然、真實的課堂自然的帶有幾分樸實真實的沒有粉飾；它是和諧、歡樂的課因為師生和生生之間的交流互動以及內(nèi)心真切的體驗而幸福快樂；它是豐實、有效的課堂,我們必須在其間關(guān)注學生知識、能力、方法等方面的發(fā)展。葉瀾教授曾指,一節(jié)好課應該是平時的課,是常態(tài)下的課,堂應實實在在,管誰在聽課,師都要做到旁若無人心中只有學生節(jié)好課,該是真實的課,不加粉飾待完善得反思的課它不可能盡善盡美。如何上好常態(tài)課,進一步