數(shù)模論文-東南大學校賽B

東南大學數(shù)模論文PAGE第七屆大學生數(shù)學建模競賽2013.05.17-2013.05.22主辦：東南大學教務處承辦：東南大學數(shù)學系東南大學數(shù)學建模競賽組委會論文選題及題目：校賽B題參賽隊員信息：隊員1隊員2隊員3姓名院系手機email校賽B題摘要我們通過對附件（B）中數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)商品的出售具有一定的周期性質。首先，我們利用泊松分布（A商品）和正態(tài)分布（B,C商品），找出商店缺貨零出的點及其頻率，再得出商店進貨的周期。然后我們以月為單位，將各類商品的出售數(shù)量進行統(tǒng)計和作圖。接下來，我們再通過傅里葉變化得出該數(shù)據(jù)中的幅頻最高的點，找出其幅頻最高的點對應的周期，驗證正態(tài)分布中的周期。再接下來，運用最直接的極大值和極小值的方法，得出周期，再去驗證之前得到的周期的正確性。我們通過一些圖形模擬和計算，得出A,B,C商品的進貨（缺貨）的周期大約是12天。所以我們就可以很容易的得出，該商店的進貨策略和在825天內進了多少次貨。而且，在第二個問題上，我們通過泊松分布的得出A的日需求量為3.07件，由正態(tài)分布很容易得出B的平均值為4.5左右，C的平均值為7左右，即B,C的日需求量約為4.5和7。在問題三中，通過程序，找出A,B,C中連續(xù)點或者是相鄰差值非常大的點，再從中挑選出符合缺貨條件的點，從而算出，A的缺貨時間為93天，缺貨量為301件。B缺貨時間大約為62天，缺貨量大約286件。C缺貨時間大約為48天，缺貨量大約為339天。在問題四中，通過計算，A在每個周期內缺貨大約為4.36件，確定B在每個周期內缺貨大約4.14件，C在每個周期內大約缺貨4.91件。由此，我們可以很容易得出當周期為11天時，A,B,C三種商品的缺貨損失減半。關鍵詞：泊松分布正態(tài)分布傅里葉變換假設檢驗目錄TOC\o"1-5"\h\z\u一問題重述 41.1 41.2 4二問題分析 4三模型假設 4四符號說明 4五模型的建立與求解 5六模型的檢驗 12七模型的優(yōu)缺點分析 12八模型的推廣與改進 12參考文獻 12附錄 13一問題重述1.1背景：某商店取得了某物在該區(qū)域的市場經銷權，銷售該物的三類產品，附表1給出了該店過去連續(xù)800多天的三類產品銷售記錄。1.2問題描述：該店三類產品的進貨策略是什么？800多天內共進了多少次貨？該三類產品在該區(qū)域的市場需求如何？分析現(xiàn)有進貨策略下，該店的缺貨情況（包括缺貨時間及缺貨量）。（4）如果現(xiàn)有進貨策略已經充分考慮了該店的產品存貯能力，如何改進進貨策略，將缺貨損失減半，且進貨次數(shù)盡可能少？二問題分析在該題的觀察中，我們觀察到A,B,C數(shù)據(jù)繁多，而且繪成圖之后沒有明顯的圖象趨勢，沒有明顯的特點。所以我們決定對原始數(shù)據(jù)進行一系列的處理，包括傅里葉變換，頻率分布等處理，希望取得圖象深程度的理解。在問題（一）中，我們認為這是一個固定周期的模型。我們認為，只要通過對數(shù)據(jù)的分析，找出商家去購買商品的大概周期，然后我們再結合數(shù)據(jù)中的一些特殊情況，就可以找出商家的進貨方式了。然后我們用825除以周期，就可以得到商家在825天內大概進了多少次貨。在問題（二）中，我們認為如果找到了，A,B,C的本質分布曲線，就可以通過求平均值或者正態(tài)分布平均值的方法，得到居民對于A,B，C的日需求量。在問題（三）中，我們認為要分析缺貨情況，必須要在數(shù)據(jù)中找到哪些數(shù)據(jù)是斷貨或是缺貨的，然后我們在找出缺貨時間的基礎上，去得到缺貨量。在問題（四）中，我們認為只要找到在825天的缺貨量，再除以售賣周期，就可以得到在每個周期內的缺貨數(shù)量。這樣就可以通過調整周期得到讓讓缺貨損失減半的方法。三模型假設商家是主要是定期去采購商品；A,B,C商品儲存方式不能替代；在商品無限充足的自然情況下，商品售出的數(shù)量大約呈正態(tài)分布。四符號說明P概率分布（泊松分布和正態(tài)分布）λ泊松分布中為平均值（方差）μ正態(tài)分布中的平均值σ^2正態(tài)分布中的方差W傅里葉變換中的頻率ΔP0標準曲線與實際曲線在零點處的頻率差值ΔPI，NI標準曲線與實際曲線在大于平均值（方差）處的頻率差值和對應的頻數(shù)ΔPi，Ni實際曲線與標準曲線在小于平均值（方差）處的頻率差值和對應的頻數(shù)T總的出售時間，即825天t總的缺貨時間t1缺貨（不斷貨）的時間λ標準圖形中的平均值（方差）五模型的建立與求解對于A商品：我們首先用matlab將B,C數(shù)據(jù)進行正態(tài)分布處理數(shù)據(jù)，并作出圖象，見下圖（其中橫坐標為出售數(shù)量，縱坐標為頻率）：（一）泊松分布泊松分布的概率分布函數(shù)為：其中λ>.0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布,記作X～P(λ)。泊松分布的參數(shù)λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發(fā)生率。泊松分布適合于描述單位時間內隨機事件發(fā)生的次數(shù)。且在泊松分布中，平均值和方差均為λ。（二)具體問題分析在A商品的出售量的數(shù)據(jù)中，我們可以得到，A商品的出售數(shù)量平均值為2.76（圖中顯示為3.76），方差為3.07（圖中顯示為4.07）。我們取泊松分布中λ=3.07，得到標準的泊松分布函數(shù)。商品A的圖象與標準泊松分布圖象（為便于觀察，圖象向右平移一個單位）：結合圖形和理論數(shù)據(jù)，我們可以很容易的看出，A的出售數(shù)量與頻率的分布圖象和泊松分布的圖象十分相近。在圖象中我們可以看出A的出售數(shù)量在零附近的概率非常高，我們認為這是因為A的缺貨時間非常長，缺貨量非常大而產生的。對于B,C商品：（一）正態(tài)分布正態(tài)分布，是一種概率分布。公式為：第一參數(shù)μ是服從正態(tài)分布的隨機變量的均值，第二個參數(shù)σ^2是此隨機變量的方差，所以正態(tài)分布記作N（μ，σ^2）。服從正態(tài)分布的隨機變量的概率規(guī)律為取與μ鄰近的值的概率大，而取離μ越遠的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。（二)具體問題分析我們首先用matlab將B,C數(shù)據(jù)進行處理，并作出圖象，用matlab中的ttest函數(shù)，進行擬合分析，得出圖象和正態(tài)分布的擬合度達到95%以上，幾乎可以認為是正態(tài)分布。根據(jù)數(shù)據(jù)，我們得到B的出售數(shù)量平均值為4.62（圖中顯示5.62，以下數(shù)據(jù)相同），C的出售數(shù)量平均值為7.49。根據(jù)B商品的出售數(shù)據(jù)中，我們可以得到它的平均數(shù)和每個頻數(shù)對應的頻率。當我們取正態(tài)分布中的的參數(shù)μ=4.5，并且σ=2.4018時。就可以得到與B商品出售數(shù)量相對應的正態(tài)分布曲線。商品B的圖象與標準正態(tài)分布圖象（其中圖象橫坐標為出售數(shù)量，縱坐標為頻率。為便于觀察，圖象向右平移一個單位）：根據(jù)C商品的出售數(shù)據(jù)中，我們可以得到它的平均數(shù)和每個頻數(shù)對應的頻率。當我們取正態(tài)分布中的的參數(shù)μ=7，并且σ=2.9120時。就可以得到與C商品出售數(shù)量相對應的正態(tài)分布曲線。商品C的圖象與標準正態(tài)分布圖象（其中圖象橫坐標為出售數(shù)量，縱坐標為頻率。為便于觀察，圖象向右平移一個單位）：從圖象中可以明顯看出，B,C圖象很符合正態(tài)分布的關系。所以我們可以確信，B,C數(shù)據(jù)是一種正態(tài)分布模型。但是我們可以在模型中明顯的看見，在零附近出的概率值明顯偏大。經過我們的研究，探討可以確定，這是由于B,C的缺貨，導致了零處的概率偏大。在A,B,C模型確立之后，我們分析認為，當數(shù)據(jù)中出現(xiàn)連續(xù)的零或者是二天出售量差值非常大時，極有可能是缺貨（進貨）的時間點。我們通過分析和計算機的篩選，找到了最符合缺貨（進貨）的點，再通過對篩選出來的點的分析（見附錄），初步找出了缺貨（進貨）的周期在12天左右。再接下來，我們通過假設檢驗的方法，對周期進行進一步的確認。傅里葉變換傅里葉表換公式：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。具體問題分析下面是以月為單位，對每月的總的出售數(shù)據(jù)進行傅里葉變換，得出的一系列圖形（其中橫坐標為頻率，縱坐標為傅里葉變換后的值，周期單位為月）：下面是A的傅里葉變換圖形：下面是B的傅里葉變換圖形：下面是C的傅里葉變化圖形：從傅里葉變換的圖形中，我們可以明顯的發(fā)現(xiàn)，在頻率為15的點附近，傅里葉變換的值最高。轉化為該題中的具體數(shù)據(jù)即為：在周期為2*pi/15*28=11.7（天）為周期的數(shù)據(jù)最具有周期性。通過傅里葉變換我們可以在另一方面驗證出，A,B,C數(shù)據(jù)的缺貨（進貨）周期為12天是正確的。在接下來，我們再次通過以周為單位（源程序見附錄），做出A,B,C數(shù)據(jù)的圖形（其中橫坐標為周，縱坐標為以周為單位的出售數(shù)量）。A，B，C以周為單位的數(shù)據(jù)圖形：我們再次運用假設檢驗的方式，通過觀察相鄰極大值和極小值的時間差值，再次找出B,C數(shù)據(jù)的大致周期。通過我們對這些數(shù)據(jù)的處理，再次找到B,C數(shù)據(jù)的周期，周期約為12天。而且對圖形的觀察，我們也可以得出，A,B,C的在一段時間內，上升和下降趨勢十分接近。在A,B,C缺貨（進貨）周期為12天的基礎上，我們進一步做出以12天為周期（源程序見附錄），A,B,C數(shù)據(jù)的分布圖象（橫坐標為出售的數(shù)量，縱坐標是對應的頻數(shù)）：A以12天為單位的數(shù)據(jù)圖形：B以12天為單位的數(shù)據(jù)圖形：C以12天為單位的數(shù)據(jù)圖形：在圖形上我們可以明顯的觀察到，B,C商品若以12天為周期，它們的出售數(shù)量都集中在一起，而且集中的非常明顯。圖形很明顯的闡述了，當B,C以12天為周期缺貨（進貨），出售數(shù)量是高度集中的，即12天是它的主要周期。通過以上方法，我們再經過幾次驗證，得出B,C的缺貨（進貨）周期就是12天。在問題（一）中：對于A,B,C商品，我們通過上述的模型的建立與周期的確立，再結合實際數(shù)據(jù)。我們可以得出，A,B,C商品的進貨周期為12天，在某些時刻（暢銷的時候），還會縮短進貨周期，并且允許缺貨。在825天內，進貨次數(shù)為：825/12=68.75（次），取整后，即大約進貨69次左右。在問題（二）中，對于A商品，我們認為它的出售曲線是一個泊松分布曲線，所以我們通過方差分析，得出方差為3.07，即A的日需求量大約是3.07。對于B,C商品，我們通過對正態(tài)分布模型的建立，得出B商品的出售數(shù)量平均值為4.5，C商品的出售數(shù)量平均值為7.那么我們就可以得出，B商品的日需求量為4.5，C商品的日需求量為7。在問題（三）中，對于A,B,C商品，我們通過對圖形的擬合對比，找出缺貨的的時間和總的缺貨量。計算方法為：總的時間：t=ΔP0*T+t1;總的缺貨量：Q=Σ(NI*ΔPI-Ni*Pi)+ΔP0*T*對于A商品我們計算出斷貨時間為31天，缺貨時間（不斷貨）62天，缺貨總時間為：93天故A商品的缺貨量：31*3.07（時間*方差）+206（缺貨（不斷貨）時的缺貨量）=301對于B商品，我們計算出斷貨時間為29天，缺貨時間（不斷貨）33天，缺貨總時間為：62（天）故B商品的缺貨量為：29*4.5（斷貨量=時間*平均值）+156（缺貨（不斷貨）時的缺貨量）=286（總的缺貨量）對于C商品，我們計算出出斷貨時間為17天，缺貨（不斷貨）31天，總的缺貨時間為：48天故C商品的缺貨量為：17*7（斷貨量=時間*平均值）+220（缺貨（不斷貨）時的的缺貨量）=339（總的缺貨量）在問題（四）中，對于A商品，周期為12，共進貨69次，總的缺貨量為301件，所以在每個周期內缺貨4.36（件），結合方差為3.07，我們可以得出當進貨周期為11天的時候，A的商品損失率就已經減半了。對于B商品，周期為12，共進貨69次，總的缺貨量為286件，所以在每個周期內缺貨量為：286/69=4.14（件），結合平均值為4.5，我們可以得出當進貨周期為11天的時候，B商品的損失率就接近零了，符合題意。對于C商品，周期為12天，共進貨69次，總的缺貨量為339件，所以在每個周期內缺貨量為：339/69=4.91（件），結合平均值為7，我們可以得出當進貨周期為11天的時候，C商品的損失率就接近零了，符合題意?？偨Y以上，我們可以得出，當進貨周期改為11天的時候，能夠將A,B,C的商品損失率減半。六模型的檢驗七模型的優(yōu)缺點分析模型的優(yōu)點：我們的模型對于實際數(shù)據(jù)具有非常高的擬合度，所以在處理問題的